«Вітчизняна наука: сучасний стан, актуальні проблеми та перспективи розвитку»

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
283 
 
 
 
 
 
 (3) 
 
Здесь 
J
S
 
–
 
спектральная плотность интенсивности ВКР в среде, Р
0
 
–
 
спектральная плотность мощности, 
выделяемой  в  единице  объема  на  частоте 
, 
  - 
коэффициент  усиления  ВКР  на  частоте 
, 
рассчитанный на единичную интенсивность накачки и единичную плотность частиц на уровень 2, 
, 
где 
 - 
телесный угол, в котором распространяется излучение ВКР, 
 - 
вероятность ОС перехода 1
-2.  
Пусть среда длиной 
l 
располагается между плоскостями 
z
=0 и 
z=l.  
Сделаем замену переменной 
 
и обозначим 
.  
Аналогично введем функции
 
 
 
и 
 . (4) 
 
Тогда система уравнений (89
-
91) примет вид:
 
 (5) 
 (6) 
 (7)  
 
Подставляя 
 
из (95) в (92) и решая получающееся
 
дифференциальное уравнение, найдем:
 
 (8) 
 (10) 
 
].
)
,
,
(
)[
,
(
)
,
,
(
A
z
t
J
z
t
I
z
t
P
S
S
L
S
S
OS






S

 
S


S

2
2
S
S
A








12


z
z
t
t



1
1


z
t
J
z
z
z
t
J
S
S
S
S
,
,
~
)
,
,
(
1
1
1






);
,
,
(
~
1
z
t
P
S
OS

);
,
(
~
1
2
z
t
N
)
,
(
1
z
t
I
L
 
z
t ,
1
12

);
,
,
(
)
,
,
(
~
1
1
z
t
P
z
z
t
J
S
OS
S
S





;
)
,
,
(
~
1
)
,
(
~
)
,
(
~
1
1
12
1
1
1
2
S
S
OS
S
d
z
t
P
z
t
N
t
z
t
N










 
].
)
,
,
(
~
)[
,
(
~
)
,
(
~
)
,
,
(
~
1
1
2
1
1
A
z
t
J
z
t
N
z
t
I
z
t
P
S
S
L
S
S
OS







OS
P
~
];
1
))
,
,
(
[exp(
)
,
,
(
~
1
1


z
t
G
A
z
t
J
S
S
S


     
.
,
~
,
~
)
,
,
(
0
1
1
2
1


z
L
S
S
dz
z
t
I
z
t
N
z
t
G



1 
2
 
4 
Рисунок 1 –
 
Схема возбуждения вынужденного ВКР излучения
 
3 

284 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
 
В  дальнейшем  будем  полагать  истощение  накачки  малым,  тогда 
I 
 
не  зависит  от 
z 
и  можно 
заменить 
 
 
Концентрацию  атомов  на  уровне  1  будем  считать  приблизительно  постоянной, 
. 
Интегрируя уравнение (10) по координате от 0 до 
z 
и с учетом (1), получим:
 
 (11)  
где 
  - 
число  атомов  на  уровне  2  в  объеме  среды  от  входного  окна  кюветы 
z
=0  до  плоскости 
z=const 
с  единичной  площадью  поперечного  сечения.  В  соответствии  с  (11)  величина 
G
T
 
оказывается пропорциональной 
N
2
:  
 
 (12) 
Принимая, что форма линии комбинационного перехода имеет лоренцевский вид, запишем: 
 
 (13) 
где 
  - 
центральная  частота  перехода, 
  - 
ширина  перехода.  Используя  (100)  из  (96)  получим 
приближенное выражение для интегральной интенсивности ВКР 
 
в
 
виде 
 
 (14) 
где 
 
при 
G
T
>>  1  и 
при 
G
<<1  (область 
СКР) обычно требуются значения инкремента 
G
T
~25-
30. При таких 
G
T
 
даже небольшое относительное изменение 
приводит к резкому изменению е
GT 
. что касается множителя 
, то его изменение при небольших вариациях 
G
T 
вносит лишь очень малый вклад в изменение интенсивности ВКР. Поэтому даже в достаточно широкой области 
изменения 
I
S
 
на (2
-
3 порядка) можно приближенно пренебречь зависимостью 
от 
G
T 
и положить в (101)
 
 
где 
G
T
 
–
 
некоторое  фиксированное  значение  инкремента,  выбранное  в 
соответствует с условиями эксперимента. Поскольку ширина 
 
линии ВКР 
 
то 
.  
Используя (101) с учетом (99) из (98) получим дифференциальное уравнение для 
 
 (15)  
Имея в виду сказанное выше, мы будем полагать (68) 
. 
Это оправдано, поскольку в области малых значений 
N
2
, когда 
G
T
 
может быть значительно  меньше 
G
T 
ЭКСП
 I
S
 
крайне мала и роль второго члена правой части (102) становится несущественной.
 
Решение (98) может быть найдено в аналитическом виде если при
 
 
,  а  при 
, 
.  С  помощью  замены 
,  где 
 
уравнение  (102)  переходит  в  уравнение  для 
, которое  легко 
решается.  По  функции 
 
находится  как 
,  так  и,  в  соответствии  с  (101),  интенсивность  ВКР 
.  Сделаем  обратный  переход  от  функции 
 
к  функции 
 
для  чего  положим 
z=z
1
 
и 
учтем,  что 
.  Вместо 
t
1
,  z
1
 
в  дальнейшем  будем  писать 
t,  z
.  Для  интенсивности  получим 
следующие соотношения 
 
 (16) 
Где 
  
 
z
t
I
L
,
~
1
 
),
(
,
~
1
1
t
I
z
t
I
L
L

)
(
~
1
12
12
t



const
N
N


1
,
)
,
,
(
~
1
)
'
,
(
)
,
(
1
1
12
1
1
1
2





S
S
S
S
d
z
t
J
z
z
t
N
t
z
t
N







dz
z
t
N
z
t
N
я
'
,
~
)
,
(
1
0
2
1
2


).
,
(
)
,
(
)
(
)
,
,
(
1
2
1
1
z
t
N
z
t
I
z
t
G
L
S
S




   
,
)
2
(
)
/(
2
2




S
S
S
S






S


S
S
S
S
d
z
t
J
z
t
I




)
,
,
(
~
)
,
(
~
1
1
,
)]
1
)
,
,
(
[exp(
)
,
(
~
1
1




z
t
G
A
z
t
I
S
S
)
,
,
(
4
/
1
z
t
G
S





)
,
,
(
1
z
t
S

2
/



)
,
,
(
1
z
t
S



TЭЭКС
G
4




ЭКСП
G
/
2
ln







06
,
1

)
,
(
1
2
z
t
N
).
1
(
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
1
12
1
1
1
2
1
2
1





z
t
N
z
t
I
S
L
S
e
A
z
z
t
N
t
z
t
N






const
G
ЭКСП



4


)
(
1
0
1
z
t
t

const
I
z
t
I
L
L


)
,
(
1
1
)
(
1
0
1
z
t
t

0
)
,
(
1
1

z
t
I
L
)
,
(
)]
,
(
exp[
1
1
2
z
t
z
t
N
I
L



)
(
S






)
,
(
1
2
z
t
N
 
)
1
(
,
~
1





A
z
t
I
S
S
I
~
S
I
 
 
z
t
I
z
t
I
S
S
,
,
~
1
1

,
)
(
1
)
,
(
1
)
,
(
1
0
z
I
z
t
I
z
t
I
ПР
S
S
S


)];
1
)
,
(
[exp(
)
,
(
0
0


z
t
G
A
z
t
I
S


«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
285 
 
 
 
 (17) 
 - 
«неистощенная населенность» уровня 2 т.е. населенность, которая имела 
бы место при отсутствии ВКР. Предельная интенсивность ВКР определяемая скоростью ОС перехода атомов 1
-2 
 (18) 
Отметим, что величина 
в выражении для 
 
та же, что и в правой части (102), она определяется не 
величиной 
, а величиной 
G
ЭКСП
 
и связана с реально наблюдающейся шириной линии ВКР 
. Энергия ВКР 
 
прошедшая к моменту времени 
t 
через сечение 
z
, равна
 
 (19) 
где  предельная  энергия  единицы  времени 
, 
  - 
площадь 
поперечного сечения пучка ВКР, а 
 
определяется из соотношения 
 
. 
Предельная энергия с учетом (105) 
, где вероятность для перехода атома из 
уровня 1
-
2 в чистых парах
.  
Результаты теоретического расчета 
 
Для расчета мощности ВКР излучения, параметры примем близкими к экспериментальным данным [2], 
частота ВКР излучения 
4,75
.
10
14
 
Гц, длительность лазерного импульса 
=15 нс, 
=0,0314 см
2
, 
=20 см, 
постоянные величины 
m=0,2 
,
10
-16
 
см
5
/Дж , 
= 0.006 (Втсм)
-1
, 
 
=28
,
10
-14
 
см
3
/Дж. Рассмотрим в двух случаях: в 
чистых парах рубидия и в присутствие буферного газа. 
 
Из уравнения (1) мощность ВКР излучения 
 
 
 
При малых расстройках 
 
и населенности уровня 2 сильно истощается и мощность ВКР 
 
,
)
,
(
)
,
(
0
2
0
z
I
z
t
N
z
t
G
L


)]
(
[
)
,
(
0
12
1
0
2
t
t
t
w
N
z
t
N


.
)
(
12
1
z
w
N
z
I
S
ПР
S




0
S
I
0
G


)
,
(
1
z
t
W
S
)],
1
[ln(
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
0
0
ПР
G
G
пр
S
S
e
z
t
G
z
t
W
z
t
W



))
(
(
)
(
)
,
(
0
z
t
t
z
I
z
t
W
ПР
S
пр
S




)
(z
G
ПР
)].
1
)
(
[exp(
)
(


z
G
A
z
I
ПР
ПР
S



l
w
N
W
S
ПР
S
12
1


L
I
mN
w
1
12


S

L


l
0


)].
exp(
1
ln[
1
0
0
2
пр
L
Р
Р
G
I
lmN
Р




пр
P
P

0

286 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
 
.  
 
 
Зависимость инкремента усиления при расстройках, значительно превышающих ширину 
комбинационного перехода, 
, 
)
(
1
)
exp(
)
exp(
ln
1
)
ln(
1
0
0
2
0
2
0
0
2
пр
L
S
пр
пр
L
S
пр
L
G
G
G
I
lmN
G
G
G
I
lmN
P
P
G
I
lmN
Р


















2
23
1
~

G
Рисунок  2 
- 
Теоретическая  зависимость  мощности  ВКР  от  относительной 
частотной расстройки (при малых  (1) и больших (2) значениях 
 
 
0 
0.5 
 1 
3
0 
6
0 
9
0 
150 
12
0 
 2 
 3 
2 
1 
I
L
, МВт/ см
2
 
2 
4 
6 
8 
10 
Р
отн 
30 
60 
120 
90 
Рисунок 3 
- 
Зависимость относительной мощности ВКР
 
от интенсивности лазерного излучения при 
=2см
-1
 
150 
Р
отн 
 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
287 
 
 
 
 
(20) 
 
где 
 
определяется из соотношения 
.  
Зависимость  относительной  мощности  ВКР  от  параметра 
 
при  различных  расстройках 
показана на рис. 2. 
 
При малых расстройках мощность ВКР падает  медленнее (рис.21) чем при больших и  превращается в 
нуль при 
. В близи резонанса вероятность перехода атома из уровня 2 в 4 очень велика (все атомы 
участвуют в процессе ВКР) и значения
 
ВКР определятся только по населенности атомов уровня 2 т.е. скоростью 
ОС  перехода  атома  из  уровня  1
-
2.  При  больших  расстройках  мощность  ВКР  не  только  определяется 
населенностью уровня, но и отстройкой от уровня 2
-
3 и она уменьшается по экспоненте (рис.3).
  
 
 
 
На  рисунках  3  и  4  приведена  зависимость  относительной  мощности  ВКР  от  интенсивности  лазерного 
излучения  и  концентрации  атомов  при  малых  расстройках.  Как  видно  из  рисунков,  мощность  ВКР  линейно 
зависит 
 
от интенсивности и квадратично 
- 
от концентрации
 
атомов. Линейная зависимость указывает на то, что 
мощность  ВКР  определяется  только  значением  населенности  уровня  2,  которая  линейно  зависит  от 
интенсивности.  Квадратичная  зависимость  от  концентрации  атомов 
- 
заселение  происходит  за  счет  бинарного 
столкновения атомов. 
 
Таким образом, из полученных теоретических результатов можно сделать следующие выводы: в случае 
истощенной населенности уровня это соответствует малых расстройках частоты лазерного излучения от уровня 
2-
,  зависимость  мощности  ВКР  от  интенсивности  лазерного  излучения  является  линейной,  а  от  концентрации 
атомов 
- 
квадратичной. 
 
,
~
1
2
23
23
2




















L
S
s
I
lmN
Р



0
~
23


пр
G
G


)
~
(
23
0
2
23
23
~










пр
G
G

0
N, 10
15
 см
-3 
2 
4 
6 
8 
10 
Р
отн 
30 
60 
120 
90 
Рисунок 4 –
 
Зависимость относительной мощности
 
ВКР  от концентрации атомов  при 
=2см
-1
 . 
150 
 

288 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
 

жүктеу/скачать 9,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: