Алгебра және сандар теориясы 2-тапсырма Топ, жартылай топ ұғымына анықтама беріңіз



Дата12.02.2022
өлшемі31.22 Kb.
#25360

6В01502 – Математика-физика ДОТ 1курс студенті: Ерланқызы Айзада

Алгебра және сандар теориясы

2-тапсырма

  1. Топ, жартылай топ ұғымына анықтама беріңіз.


Топтар теориясын жасау Э. Галуаның 20 жасында үлесіне түсті. Артынан мәңгілік өшпес мұра қалдырған, Галуа теориясын ашқан математика әлемінің ең жарық жұлдыздарының бірі.
Эварист Галуа – басынан шексіз тағдырдың сан түрлі тауқыметін өткізген. Жиырма бір жаста дүние салған қыршынның лаулап жана алмай, лап етіп сөнген аз өмірі тұңғиық қайғы мен бақытсыздыққа да, ерекше даналыққа да толы еді.

Абельдің бесінші дәрежелі теңдеуді радикал арқылы түбірін таптым деп ашқан жаңалығын қате деп, бесінші дәрежелі теңдеудің жалпы шешімдері радикал түрінде шықпайтынын толық дәлелген Э. Галуа болатын. Абельдің бұл табысы математикада көп жылдар бойы дәлелденбей жүрген мәселені, оған, қайтып оралмастай етті.

Одан бірнеше жыл кейін бұл қорытындыны француз математигі Галуа да жасады, сонымен қатар ол бесінші дәрежелі теңдеу мәселесін келесі сатыға көтерді, түбірлер негізінде құрылатын «Галуа тобы» деген теория шығарды.

Мысалы, төмендегі бесінші дәрежелі теңдеуді

x5 – 4х – 2 = 0 деп алсақ, әрине, оның бес түбірі бар: үшеуі нақты сандар, ал қалған екеуі комплекс сандарға тең, бірақ бұл теңдеудің түбірлері радикал арқылы табылмайды.

Бесінші дәрежелі теңдеудің жалпы түрде радикал арқылы шешілмейтінін дәлелдеу – математика ғылымындағы орнынан қозғалмай жатқан зілді мәселені жылжытқанға пара-пар, бұл алгебрадағы тарихи есепке шешім табу болып шығады.

Галуаның фундаментальды жетістігі – математикаға топтар теориясын енгізуі, қазіргі математиканың негізі болып табылады. Топтар арқылы теңдеулерге түбірлерін қойып, Галуа алгебралық теңдеуді шешудің қажетті және жеткілікті шарттарын тұжырымдады.

Топтар теориясы өте қиын, ұзақ, қазіргі кезде математиканың барлық салаларына тарап кеткен терең тамырлы теория.

Топ деп математикада кейбір элементтердің жиынын айтады, ол элементтер үшін «топтық қосу» (немесе «көбейту») операциясы белгіленген болуы керек. Топтың екі элементін, a мен b-ні «қосса» сол топтың үшінші элементі c=a+b пайда болады (сондай-ақ көбейту түрінде c=a*b). Мұнда ұолданылып отырған «қосу» немесе «көбейту» амалдары арифметика амалдары мағынасында жұмсалмайды, тек символ есебінде жұмсалады.

Кейбір элементтер жиыны топ болу үшін төмендегі шарттар (аксиомалар) орындалуы қажет:

1º. Топ элементтері ішінде бір нольдік элемент 0 болу керек, оны қосқаннан басқа элемент a өзгермейтін болады:

a+0=a, 0+a=a.

2º. Кез келген a элементіне қарама-қарсы элемент – a болады, ол екеуінің қосындысы нольге тең:

a+(-a)=0, (-a)+a=0.

3º. Топтың кез келген үш элементі a, b, c бір-бірімен қосқанда (a+b)+c=a+(b+c) теңдікті қанағаттандырулары керек. Бұл жағдайды көбінесе, қысқаша «терімділік заңы сақталады» дейді. Сөйтіп, топ деп оның элементтері үшін жоғарыда көрсетілген 1º-3º шарттар орындалатын жиынды айтамыз.

Топта a+b=b+a теңдігінің орындалуы міндетті емес.


  1. Мультипликативтік топтың қарапайым қасиеттерін келтіріңіз.

Тең қабырғалы үшбұрыш тобы. Тең қабырғалы АВС үшбұрышын қарайық. Оны сол жатқан бетінде, орта нүктесін шүлдік деп есептеп, солған қарай айналдырайық. Тек бірінші айналдарғанда А бұрышы В бұрышына, В бұрышы С бұрышына, С бұрышы А бұрышына көшетін болсын. Ал келесі айналғанда А бұрышы В бұрышына, В бұрышы С бұрышына, С бұрышы А бұрышына, ең соңғы айналдыруда әр бұрыш өзінің бастапқы орнына қайта барады.

Сөйтіп, үшбұрышты үш рет айналдырғанда оны бастапқы орнына қайта келтіруге болады екен. Ол үшін бірінші рет 120º-қа, екінші рет 240º-қа, үшінші рет 360º-қа айналдыру керектігі бірден сезіліп тұр. Ең соңғы айналдыруды нольдік айналдыру деп атайық.

Бұл қозғалыстарда А, В, С нүктелерінің бір шеңбердің бойымен оралғанын байқаймыз, сондықтан бұлар циклдық тәртіптегі айналдырулар деп аталады.

Шаршы тобы. ABCD шаршысын алып, өзінің орта нүктесінен үйрілтіп айналдырсақ, төрт рет алналысында бастапқы қалпына келеді. Ол 90º, 180º, 270 º және 360º-ты бұрыштарға бұрып отыру арқылы жүргізіледі.

Бұларды да а0 , а1, а2, а3 деп белгілейік.

Бұл айналдыру үшін де қосу кестесін келтіруге болады немесе қосудың толық көрсетілуі түрінде жазуға болады:

Мұндағы а0 , а1, а2, а3 элементтер үшін топтық шарттардың бәрі орындалады.




Тік төртбұрыш тобы. ABCDтік төртбұрышты алайық. Оның тобы да бірнеше қозғалыстардан тұруға тиісті. Әрине, мұнда симметриялық осьтер арқылы айналдыруға тура келеді.

  1. Мәселен, х-тер осі арқылы айналдырсақ, А бұрышыD бұрышының, ал Dбұрышы А бұрышының орнына келеді, В және С бұрыштары да орын ауыстырады.

  2. Одан кейін у-тер осі арқылы айналдырсақ, А және В бұрыштары, сондай-ақDжәне C бұрыштары орын ауыстырады.


Алмастырулар тобы. Қатар отырған үш адамның әрқашанда бірі сол жақта, екіншісі ортада, үшіншісі оң жақта болады. Олардың отырыс тәртібін солдан оңға қарай есептеп, әрқайсысын А, В, С деп белгілесек және бірте-бірте орындарын алмастырсақ, онда алты түрлі алмастыру жағдайы кездеседі:

  1. АВС, 2) АСВ, 3) ВАС, 4) ВСА, 5) САВ, 6) СВА

Келесі орын ауыстыру қалайда осы келтірілген алты жағдайдың бірі болып қайталап кетеді. Егер осы үш элементтің жиынын бір топ деп атасақ, онда олардың орын ауыстыру тәртібі «алмастыру тобы» деп аталады.

Достарыңызбен бөлісу:




©emirsaba.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет