Қалыпты үлестіру заңы
жүктеу/скачать 88,15 Kb.
|
|
Қалыпты үлестіру заңы. Қалыпты үлестіру заңына сәйкес бөлінген үздіксіз кездейсоқ шама бойынша тығыздық функциясына болады және және параметрлер көмегімен анықталады. Бұл функция математиканың тақсыз патшасы К.Ф. Гаусстың атағын алған. Гаусс функциясы үшін жалпы тығыздық қасиеттері қанағаттандырылады, егер және болса, осыдан қалыпты таралған кездейсоқ шама нақты мәндердің бірін қабылдайды. Сондай-ақ келесі тамаша фактілерді келтірейік: - яғни қалыпты үлестірудің кездейсоқ шамасының математикалық күтімі «а» болсын, ал орташа квадраттық ауытқу дәл "сигма" болсын: Мысалы Қалыпты үлестірудің кездейсоқ шама параметрлері арқылы берілсін. Оның тығыздық функциясын жазып, графигін салу керек. Математикалық күтім әріпімен, ал стандартты ауытқу әріпімен белгілейік. Шешімі: Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың түрі бар. Бұл жағдайда болса, онда . Енді графигін салайық: Ең алдымен функцияның максимумын табу керек: Графиктің жоғарғы жағын қызыл нүкте белгілейміз. Әрі қарай, функцияның мәндерін есептейміз, дәлірек айтсақ, олардың біреуі ғана - графиктің симметриясына байланысты тең болады: Көк түспен белгіленген нүктелер және қалыпты үлестірудің нүктелері болып табылады. интервалда график жоғары қарай дөңес, ал шеткі интервалдарда төмен ойыс болады. Содан кейін біз орталықтан солға және оңға тағы бір стандартты ауытқуға ауытқып, биіктіктігін есептейміз: Сызбадағы нүктелерді жасыл түспен белгілейік. Соңғы кезеңде біз графикті сызамыз және оның дөңестігін дәл көрсетеміз. Абсцисса осінің көлденең асимптот екенін және одан әрі «көтерілу» мүлдем мүмкін емес екенін көреміз. Қалыпты үлестіру және мәндеріне байланысты қалай өзгеретінін көрейік. «a» артқанда немесе азайған кезде («сигма» тұрақты), график өз пішінін сақтайды және сәйкесінше оңға немесе солға жылжиды. Сонымен, "a" 3-ке азайтылған болса, функция пішінді қабылдайды және біздің график 3 бірлік солға - дәл бастапқы нүктеге "жылжытады": Қалыпты үлестірілген шаманың нөлдік математикалық күтімі центрленген десек; оның тығыздық функциясы жұп, ал график у осіне қатысты симметриялы. «Сигма» өзгерген жағдайда («а» тұрақты) график «орнында қалады», бірақ пішіні өзгереді. ұлғайған кезде сегізаяқтың шатырын созып тұрғандай төменірек және ұзартылған болады. Керісінше, азайған кезде график кішірейтілген және ұзын болады. Сонымен, «сигма» екі есе азайған кезде: алдыңғы график екі есе тарылып, ұзарады: Бірлік мәні «сигма» болатын қалыпты үлестіру нормаланған деп аталады, егер ол да біздің жағдайымызда центрленген болса, онда мұндай бөлу стандартты деп аталады. Оның бұдан да қарапайым тығыздық функциясы бар, ол жергілікті Лапластың локальдық теоремасында кездескен: . Кездейсоқ шаманың тығыздығының анықтамасын еске түсірейік: - кездейсоқ шаманың мән қабылдау ықтималдығы. Мысалы, стандартты тарату функциясының графигі келесідей болады: Сызбада үлестіру функциясының барлық қасиеттерінің орындалуы анық көрсетілген және мұндағы көлденең асимптоталар мен иілу нүктесіне назар аудару керек. Енді тақырыптың негізгі тапсырмаларының бірін еске түсірейік, атап айтқанда, болғанда - қалыпты кездейсоқ шаманың интервалдан алатын мәнінің ықтималдығын қалай табуға болатынын білейік. Геометриялық тұрғыдан бұл ықтималдық қалыпты қисық пен x осінің арасындағы ауданға тең: бірақ әрқашан жуық мәнін есептеу дұрыс емес, сондықтан бұл жерде "жеңіл" формуланы пайдалану ұтымдырақ: және Мұнда сіз Excel бағдарламасын қайтадан пайдалана аласыз, бірақ ол әрқашан жүзеге аса бермейді. Сол үшін оның мәні шешімді стандартты түрге дейін азайту болып табылады: , мұндағы Бұл не үшін қажет? Шындығында, ғалымдар бұрын мұқият есептеп, көптеген кітаптарда бар арнайы кестеде жинақтаған. Бірақ Лаплас функциясының мәндер кестесі одан да кең таралған: осы функция біз қазірдің өзінде Лапластың интегралдық теоремасында қолданамыз. Сонымен, параметрлері бар қалыпты кездейсоқ шаманың және интервалдан мән алу ықтималдығын мына формула бойынша есептеуге болады: мұнда – Лаплас функциясы. жүктеу/скачать 88,15 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|