Кеңістігі.., Метрикалық кеңістік
жүктеу/скачать 208,99 Kb.
|
Лекция 1
- Бұл бет үшін навигация:
- Нормаланған кеңістік
- - кеңістігі
- Анықтама 2.1.
- Лемма 2.1.
- Жаттығулар
|
кеңістігі . . , . . . Метрикалық кеңістік Табиғаты кез-келген элементтердіңжиынын және функционалын алайық. Егер келесі үш шарт орындалса 1. және 2. 3. , онда түрлендіруін метрика деп атаймыз. -тің қарапайым мысалы ретінде сан осіндегі екіжәненүктелері арасындағы қашықтықты алуға болады. метрикалық кеңістік деп аталады. Келесі функционалдар метриканың мысалдары бола алады: 1. . 2.,, . 3. ,. 4. Нормаланған кеңістік кез- келген жиын болсын. Егер функционалы келесі шарттарды қанағаттандырса: 1. 2. 3. . онда - ті норма деп атаймыз, Норма анықталған жиыны нормаланған кеңістік деп аталады. Нормаланған кеңістігінде теңдігімен метрика енгізуге болады. - кеңістігі деп белгілейік. Басқаша айтқанда -аралығында Лебег мағынасында интегралданатын функциялар класы. норма болғандықтан, - нормаланған кеңістік. - ге тиісті функциялар мысалдары келесідей: а) егер болса, онда; б) егер функциясының кесіндісінде тек 1-ші текті үзіліс нүктелері бар болса, онда ; в) () функциясы болғанда ғана - гетиісті. Жаттығулар: 4. () функциясы - ның қандай мәндерінде - ге тиісті? 5. () функциясы - тің қандай мәндерінде - ге тиісті? болсын. Сонда жиыны нормаланған кеңістік құрайды. Алоның нормасы болады. Мысалдар: a) Егер кесіндісінде үзіліссіз функция болса, онда . б)() функциясы болғанда ғана - ге тиісті болады. Анықтама 2.1. Егер , екі нормаланған кеңістіктер үшін келесі қатыстар орындалса: 1. ; 2. (мұндағы - -тен тәуелсіз оң тұрақты), онда кеңістігі У-ке енеді делінеді де ол былайша белгіленеді: . Лемма 2.1.Егер болса, онда кеңістігі -ге енеді. Дәлелдеу. Шынында да, егер функциясы кеңістігіне тиісті болса, онда Гельдер теңсіздігі бойынша . Ендеше . Лемма дәлелденді. Енді шексіз аралықта анықталған функциялар жағдайын қарастырамыз. болсын. Анықтама бойынша . Мысалдар: 1. () функциясы -ге тиісті болуы үшін шарты орындалуы қажетті және жеткілікті. 2. және функциялары кеңістігіне тиісті емес. нормаланған кеңістігін қарастырайық: , . Мысалдар: а) Айталық сандары шартын қанағаттандырсын. Онда кеңістігіне келесі функциясы тиісті болады: б) () кеңістігіне тиісті функцияның тағы бір мысалы: Жаттығулар: 1. Келесі функциясы кеңістігіне тиісті болады ма? 2. - ның қандай мәндерінде функциясы кеңістігіне тиісті болады? 3. Толық сан осінде анықталған функциялардың келесі кеңістігін қарастырайық: . функциясы кеңістігіне тиісті ме? 4. функциясы кеңістігіне тиісті болады ма? 5. функциясы кеңістігіне тиісті ме? жүктеу/скачать 208,99 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|