Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі павлодар қаласының №24 жалпы білім беретін орта мектебі Павлодар қаласының

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ 

МИНИСТРЛІГІ

 

 

Павлодар қаласының № 24 жалпы білім беретін орта мектебі 

Павлодар қаласының «Жас дарын» мамандандырылған мектебі 

 

 

 

 

 

 

 

Математика  пәнінен

 

Нақты сандар

 

тақырыбына оқу материалдары

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Авторы: Аубакирова Г. Б., 

Жунусова Ж. Ж. 

 

 

 

Павлодар  2012 жыл 

 

Бүтін оң және теріс сандар

 

Егер 

a

 және 

b

натурал  сандар  және 

a

< 

b

 болса,  онда 

a

+

x

=

b

 

өрнегіне  сәйкес  келетін  жалғыз  натурал 

x

 саны  болады  .  Мына  оқиғада 

бойынша,    натурал  сандардардың  жиынында 

a

+

x

=

b

 теңдеуінің  жалғыз 

шешімі 

x

 =

b

- 

a

 болады. 

Егер 

a 

b

, онда 

a

+

x

=

b

 болатын  

x

  натурал саны болмайды . Мысалы , 

5+

x

=4  теңдеуін  немесе  7+

x

=7  теңдеуін  қанағаттандыратын 

x

 натурал 

саны  жоқ  .  Мына  натурал  сандардың  жиынының  «  жетіспеушілігі  »  ,  егер 

натуралды  сандардылардың  жиыны  шеттесе  ,  егер натурал  сандарлардың 

жиыны басқа табиғаттың сандарымен толықтырылса жоғалады . 

    

a

+

x

=

a

теңдеуін қанағаттандыратын 

x

 саны  нөл деп аталады . 

Нөл саны - 0 символымен белгіленетін және әрбір 

a

саны үшін  

a

+ 0=

a

  

қасиетіне ие сан.  

                                                          Нөлдің касиеттері 

 Нөлдің  өте маңызды қасиеті: нөлге және әрбір санның көбейтіндісі 

нөлге тең: 



a

 0=0 

Нөлдің  осы  өте  маңызды  қасиеті  теңдеулердің  шешу    жолдарында  жиі 

қолданылады  :  егер 

a

 және 

b

   сандарының  туындысы  нөлге  тең  болса  , 

онда 

a

 немесе 

b

 сандарының бірі нөлге тең: 

















.

0

,

0

0

b

a

b

a

 

0

2

2



 b

a

 теңдеуі  тек  қана   

0



 b

a

 болғанда  ғана  мүмкін  бола  алады.                  

















.

0

,

0

0

2

2

b

a

b

a

 

Нөлдің тағы да бір қасиеті: нөлге бөлу мүмкін емес . 

Мұның  неге  мұмкін  еместігін  қарастыралық  .Нөлге  тең  емес 

a

 санын 

қарап  шығамыз. 

Мейлі, 

b

a



 0

 -  бөлінді. 

Сонда 

б

өліндінің  осы 

анықтамасынан 

a

b



 0

   шығады.  Бірақ  нөлдің  касиеті  бойынша   

0



a

 . 

Осылайша,  біз,  егер 

0



a

,  онда  бөлу 

0



 a

b

   болмайды  ,  яғни 

b

санды  

 Натурал сандарды  

бүтін оң сандар

  деп атайды . 

 

таңдауға  болмайды,  сонда 

0

0







a

b

 болғанын  қабылдаймыз  .  Сонымен  , 

нөлге тең емес  санды , нөлге бөлуге болмайды. 

0:0 бөлуні қарап шығып, 0:0=

b

-ны жазайық. Осыдан шығарамыз,

0

0



 b

. 

Мынау  теңдік  дұрыс,  бірақ 

b

саны  кез  келген  сан бола  алады  .  Бірақ   бола 

алмайды,  яғни  арифметикалық  операцияның  мағынасы  бойынша  екі 

санның бөлуі бір мағыналы. 

Сөйтіп,  нөл  санын    н

өлге  бөлуге  болмайды,  яғни 

0

0 



b

 болатын  

жалғыз  

b

 саны жоқ . 

Мысалы, мына сандар :  -1 , 1; ?  , -1/2 -  қарама – қарсы сандар. 

a

 санына    қарама-қарсы  сан  -    -

a

 саны  .  0+0=0  болғандықтан  ,  нөлге   

қарама-қарсы  сан  нөлдің  өзіне  тең  , яғни  -0=0.Нөл  өзінің  қарама  –  қарсы 

санынана тең бірден – бір сан ,  егер 

a

=-

a

, сонда 

a

=0. 

 -

a

 санына  қарама  -  қарсы  сан 

a

 саны  болады,  сондықтан,  -(

a

)=

a

.  

Берілген  санға  қарама  –  қарсы  санды  табу үшін,  сол  санды -1  көбейтуге 

керек: 

 (-1)

a

a







.  

Сондықтан,  ,  нөл  санға  тең  болмайтын  қарама  –  қарсы  сандардың 

бөліндісі -1 санға тең. 

Мысалы:

.

1

,

1





















a

b

c

c

b

a

a

b

b

a

 

Сандық түзуде қарама -қарсы сандар нүктелермен бейнелінеді , 0 санына 

симметриялық түрде.( 2 сур.). 

2 сур. 

 

  Бүтін  теріс  сандар 

деп  натурал  сандар

ға 

қарама – қарсы сандарды атайды. 

  

   Екі 

a

 және 

b

 сандарының    қосындысы  нөл 

болса, олар қарама-қарсы сандар деп аталады. 

 

 

Сан туралы алғашқы ұғым

 

Біздің  сан  туралы  алғаш  қалыптасқан  ұғымымыз  , 

ертедегі тас ғасыры - палеолит заманына жатады.  

Сапалы сандық ұғымдардың ертедегі сапалы түсінігі 

кейбір-  тілдерде  қазір  тағы  анықталады  ,  мысалы  грек 

және  кельттшлуерінде  сан ұғымдарының  кеңейтуімен 

сәйкес  .  Үлкен  сандар  алдымен   қосу  амалы      арқылы 

құралған  : үш  -  екі  және  бір   қосуынан  ,  төрт-  екі  және 

екінің  қосуыдан , бес- екі, екі және бірдің қосуынан  . 

Мынау,  кейбір  австралиялық тайпалардың санау үлгісі.  Муррей өзеніндегі 

тайпада:1= энэа ,2= петчевал ,3= петчевал - энэа ,4= петчевал - петчевал.  

Камиларои , 1= мал, 2= булан ,3= гулиба ,4= булан - булан .  

 

Сауда 

мен 

к

әсіптің  дамуы 

сан  ұғымының  кристаллдануына 

көмектесті.  Сандарды  үлкен  бірліктерге  топтады  және  біріктірді  ,  бір 

қолдың  саусақтарымен  немесе  екі  қолдың  саусақтарымен  санау  – 

саудадағы  әдетті  тәсіл.  Бұл,  алдымен  5  негізімен  ,  сонан  соң  10 негізімен 

санауға  жол  ашты.  Кейде  негіздеме  ет

іп  20-ны  алды  –  акі  аяқ  пен  екі 

қолдағы 

саусақтардың  саны. 

Сандарды 

жазу 

тая

қ  шоқтарының, 

түйіндерінің., 

арқандағы 

т

үйіндердің 

,  тастар 

немесе  ұлу 

қабыршақтарының  ,   бес-бестен    бір  шоққа  қосылуы  арқылы  жазылды. 

Саусақ санау , яғни бестіктер және ондықтармен санау. 

Ең  мінездемелі  түрде  жиырма  саныны

ң  негізімен  санау  ж

үйесі  

Мексикада майя және Европада кельт тайпаларында болған . 

  Математиканың туған заманынан келген бұл қысқаша мәліметтер , ғылым 

өз  дамуында  қазіргі  ұғындырудың  барлық  этаптарын  өтпейді,.  Жақында 

ғана  ғалымдар  адамзатқа  танымал  түйіндер  немесе  оюлар  сияқты  ең  көне 

геометриялық  пішіндердге  тиісті  ықылас  назарымен  көз  салды  .  Алайда 

математикалық  графикктерді  құру,  элементардық  статистика  тағы  солар 

сияқты  матиматика  ғылымының  элементардық  салаларытек  қана  қазір 

дамып  келеді.  Басқа  жағынан  ,  біздің  математиканың  графиктарды  құру 

немесе элементарлық статистика сияқты аса элементар бағыттары, тек қана  

қазір жақсылап дамып келеді. 

 

 

Тарихи 

мәліметтер