Численные решения нелинейных уравнений и систем уравнений методом Ньютона
жүктеу/скачать 79,5 Kb.
|
1 2
|
ОТЧЕТ ПО практической работе №1 по дисциплине «Численные методы» на тему «Численные решения нелинейных уравнений и систем уравнений методом Ньютона» Выполнили: студенты 4 курса очной формы обучения группы Проверила: ст. преп. ._________ «___» ___________ 20__г. СОДЕРЖАНИЕ
ЦЕЛЬ РАБОТЫСоставить программу для численного решения методом Ньютона с точностью до заданного ε: уравнения f(x) = 0; системы уравнений f(x,y)=o и g(x,y)=0; Предусмотреть ввод данных с клавиатуры. Оценить погрешности. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Решение уравнения f(x)=0 и системы уравнений F(x)=0 состоит из двух этапов: отделение корней, то есть отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен ровно один корень уравнения или системы уравнений; вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью. Отделение корней можно произвести графически с сопутствующим анализом на монотонность, смену знака, выпуклость функции. В частности, полезны следующие сведения из математического анализа: если f : [a,b] → R - непрерывная строго монотонная функция и f(a)· f(b)<0, то на отрезке [a,b] существует единственный корень уравнения f(x)=0; признак строго монотонного убывания (возрастания) дифференцируемой функции y=f(x) на отрезке [a,b]: f '(x) < 0 (> 0) на [a,b]; признак строгой выпуклости вверх (вниз) дважды дифференцируемой функции y=f(x) на отрезке [a,b]: f "(x) < 0 (> 0) на [a,b]. Укажем следующие три способа отделения корня для случая x R1: составляется таблица значений функции y=f(x) на промежутке изменения аргумента x, и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения f(x)=0 находится между ними; строится график функции f(x)=0 на промежутке изменения аргумента x; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью OX; уравнение f(x)=0 заменяется равносильным φ(x)=ψ(x). Строятся графики функций y=φ(x) и y=ψ(x); тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось OX точек пересечения этих графиков. В дальнейшем будем полагать, что корни уже отделены. Для вычисления отделенного корня существует множество методов. Из них мы рассмотрим следующие: метод деления пополам, метод простой итерации, метод Ньютона и его модификации. Простейшим методом является метод деления пополам, называемый также методом бисекций или методом дихотомии. Он состоит в следующем. Допустим, что удалось найти отрезок [a,b], на котором расположен один корень X. В качестве начального приближения к корню принимаем середину этого отрезка: x(0)=(a+b)/2. Далее исследуем значение функции f(x) на концах отрезков [a,x(0)] и [x(0),b], то есть в точках a, x(0), b. Тот из отрезков, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового исследуемого отрезка. Вторую половину отрезка [a,b] не рассматриваем (так как корня там нет). В качестве первого приближения к корню принимаем середину нового отрезка и т.д. После каждого приближения (итерации) отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, то есть после k-ой итераций он сокращается в 2k раз. Математически формулы метода деления пополам представляются следующим образом: Итерационный процесс следует продолжать до тех пор, пока значение функции f после некоторой итерации с номером k+1 не станет по модулю меньше либо равно некоторого заданного малого числа ε, то есть | f(x (k+1)) | ≤ ε. После этого с погрешностью ε полагают: X ≈ x (k+1). ЗАМЕЧАНИЕ: другим вариантом условия окончания итераций может служить (b (k+1) - a (k+1) )/ 2 ≤ ε. Это условие следует из очевидного неравенства |X - x (k+1)| ≤ (b (k+1) - a (k+1) )/ 2. жүктеу/скачать 79,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2