Дипломдық ЖҰмыс 5В070400 Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету шымкент 2022 ф-19-01/02


Тұрақты коэфициенттері бар біртекті сызықтық жүйені интегралдау



бет24/30
Дата29.04.2022
өлшемі2.42 Mb.
#32830
түріДиплом
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   30
2.2.Тұрақты коэфициенттері бар біртекті сызықтық жүйені интегралдау.Біртекті сызықтық жүйенің дифференциалдық теңдеулердің тұрақты коэфициенттерімен фундаментальды жүйенің шешімдерінің құрылымы.Жүйені қарастырайық

, (1)

Мұндағы  – заттық сандар. Бұл жүйе матрицалық теңдеуге мәндес



 (2)

сонымен бірге



.

(2) теңдеудің интегралды матрицасы



 (3)

болады.


 матрицасына байланысты осы интегралды матрицаның құрылымын зерттейік. Соған байланысты біз (1) жүйенің, оның коэфициенттерімен байланысты, фундаментальді жүйенің шешімдерінің құрылымымен танысамыз. Одан әрі көретініміз, бұл құрылым сипаттамалық сандарға және  матрицасының қарапайым бөлгіштеріне тәуелді. Оларды білу  матрицасын канондық түрге әкелуге көмектеседі.

Алдымен болжайық,  матрицасында жай элементарлық бөлгіштер бар деп  …  және, сәйкесінше, ол канондық ұғымға ие



Мұндасипаттамалық сандардың арасында  матрицалары бірдей болуы мүмкін.Онда



 (4)

(4) интегралды матрицаны сол жағынан  көбейтіп, мынаны аламыз



.

.

болсын. Онда



· 


.

Енді ортақ жағдайын қарастырайық.  матрицасы элементарлық бөлгіштерге ие болсын





Мұнда сипаттамалық сандардың арасында  бірдейлері де болуы мүмкін;  әрі , және, сәйкесінше,  матрицасының канондық түсінігі

A

болады. Онда









немесе


 .

Осы интегралды матрицаны сол жағынан  көбейтіп, интегралды матрица аламыз



. (5)

 матрицасын есептеп шығарайық. Берілгені

 (6)

Одан әрі


(Мұндағы  – ретті бірлік матрица).



Бірақ

мұндағы


және  болғанда мынаны аламыз



,

мұндағы


Жалпы алғанда



Осыдан шығады,





Енді, (6) ескере отырып, аламыз





Біртекті сызықты жүйені тұрақты коэфициенттерімен канондық түрге әкелу



Алмастыру берілсін

 () (8)

ол (2) теңдеуді мына түрге алып келеді





мұндағы .  матрицасын, -ның канондық түрі болатындай таңдап аламыз 

сондықтан



Онда (8) алмастыру (2) теңдеуді мына түрге алып келеді


 (9)

Алынған (9) теңдеу (2) теңдеуге лайықты, канондық түрдің теңдеуі деп аталады. (9) теңдеудің интегралды матрицасы үшін алуға болады

немесе


Бұл  мағынасын (8) формулаға қойып, (2) теңдеудің интегралды матрицасын аламыз немесе (1) жүйенің шешімінің фундаментальді жүйесінің түрі тәрізді



яғни тағы да (5) түрде.



Дифференциалдық теңдеулердің жүйесі, (9) матрицалық теңдеуге лайықты, (1) жүйенің канондық түрі деп аталады.

(9) матрицалық теңдеуден оған сәйкес дифференциалдық теңдеулер жүйесіне көшейік. Ол үшін еске түсірейік, біз жүйеден матрицалық теңдеуге өткенде, матрицаны жүйенің коэфициенттерімен транспонерлегенбіз. Сондықтан (9) матрицалық теңдеуден сәйкес жүйеге өткенде біз,  матрицасын транспонерлеуіміз керек. Егер тағы осы матрицаның құрылымына назар аударсақ, сенуге қиын емес, біз n теңдеуінің біртекті сызықты жүйесін аламыз, және де ол s группаға бөлінеді, яғни  матрицасында әртүрлі қанша қарапайым бөлгіштер болса, сонша топ болады. Әр топта орналасқан теңдеулердің сандары, осы топқа сәйкес, қарапайым бөлгіштердің дәрежесіне тең. Әр топта теңдеулердің диагональді коэфициенттері, сәйкес сипаттамалық сандарына тең, үстіңгі диагоналға қатарлас тұрған коэфициенттер бірге тең, ал қалған коэфициенттер нөлге тең.

Сонымен, (1) жүйенің канондық түрі былай болады:



Егер,дербес жағдайда, (1) жүйенің барлық сипаттамалық сандары әртүрлі немесе араларында еселік бар болса, бірақ барлық қарапайым бөлгіштер жай, соған сәйкес (9) канондық матрицалық теңдеу мына түрге келеді



сәйкесінше, (1) жүйе таза диагональді канондық түрге өзгертілуі мүмкін.





 сандарының арасында бірдейлері де болуы мүмкін.

Ақырында, біз (1) әртүрлі біртекті сызықты жүйені (10) немесе (11) канондық түрге әкелуге болатынын дәлелдедік, яғни таза диагональдық түрге немесе квазидиагональдық түрге, матрицаның барлық қарапайым бөлгіштері жай немесе олардың арасында еселік болуына байланысты.





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   30




©emirsaba.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет