Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Жоспары:

• Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Лагранж әдісі. Бернулли әдісі.

Бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеу

у' + р(х) у = f (х), (1)

мұндағы р(х) және f(х) — үздіксіз функциялар,

Егер f (х) = 0, онда у'+р(х)у=0

біртекті сызықты д.т.

Егер f (х)≠0, онда у'+р(х)у=f (х),

біртекті емес сызықты д.т.

Сызықты біртекті д.т. шешу әдісі

у'+р(х) у = 0

у'= - р(х) у

Сызықты біртекті емес д.т. шешу әдістері

у' + р(х) у = f (х)

• Тұрақтыны вариациялау әдісі

( Лагранж әдісі)

• Бернулли әдісі

Тұрақтыны вариациялау әдісі

1. С.б.емес д.т. жалпы шешімін адымдап табу әдісі.

2. Жалпы шешімнің формуласы:

Тұрақтыны вариациялау әдісі

Бұл әдіс үш этаптан тұрады.

А)

сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімін анықтаймыз.

Тұрақтыны вариациялау әдісі

В) теңдеудің дербес шешімін табу үшін С х айнымалының функциясы болсын да, бұл жерде белгісіз функция. Яғни, С=С(х).

С) функциясының табылған мәнін теңдікке

С) функциясының табылған мәнін теңдікке

қойып, табамыз:

(*)

(*) - бірінші ретті сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі.

Бернулли әдісі

С.б. емес д.т. шешімі мына түрде ізделінеді

мұндағы және - белгісіз функциялар.

Бернулли теңдеуі

дифференциалдық теңдеуін қарастырайық.

Егер немесе болатын болса, онда сызықтық дифференциалдық

теңдеуге ие боламыз. Сондықтан және жағдайда қарастырамыз.

Бұл теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады және алмастыруы

арқылы сызықтық дифференциалдық теңдеуге келтіріледі. Ол үшін теңдеудің екі

жағын да бөліп: (1) теңдеуін аламыз.

(2) алмастыруын жасаймыз.

(2) теңдікті дифференциалдап, табамыз:

(3)

z және -тің мәндерін (1) теңдеуге қойып, төмендегі сызықтық

дифференциалдық теңдеуге ие боламыз:

(4)

Бұл теңдеудің жалпы интегралын тауып және z-ті арқылы алмастырып,

Бернулли теңдеуінің жалпы интегралын табамыз.

Мысал: