Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «-», если они образуют левую тройку.
Свойства смешанного произведения.
смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов.
или
смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения
смешанное произведение меняет свой знак на противоположный при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.
компланарны
Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.
Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.
Доказательство:
или
Некоторые приложения смешанного произведения.
компланарность векторов:
компланарны
определение взаимной ориентации векторов в пространстве:
- правая тройка
- левая тройка
определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды:
пар-да
пир
Пример 1. Доказать, что точки А(5;7;-2), В(3;1;-1), С(9;4;-4), D(1;5;0) лежат в одной плоскости.
Решение. Покажем, что векторы
лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.
А
В
С
D
Векторы компланарны, следовательно точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.
Пример 2. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если даны координаты вершин пирамиды: А(0;0;1), В(2;3;5), С(6;2;3), D(3;7;2)
