Физика және математика кафедрасы Смешанное произведение векторов

Свойства смешанного произведения.

• смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов.

• или

• смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения

• смешанное произведение меняет свой знак на противоположный при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.

• компланарны

• Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.

• Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

• Доказательство:

• или

• Некоторые приложения смешанного произведения.

• компланарность векторов:

• компланарны

• определение взаимной ориентации векторов в пространстве:

• - правая тройка

• - левая тройка

• определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды:

• пар-да

• пир

• Пример 1. Доказать, что точки А(5;7;-2), В(3;1;-1), С(9;4;-4), D(1;5;0) лежат в одной плоскости.

• Решение. Покажем, что векторы
• лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.

• А

• В

• С

• D

• Векторы компланарны, следовательно точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.

• Пример 2. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если даны координаты вершин пирамиды: А(0;0;1), В(2;3;5), С(6;2;3), D(3;7;2)

• Решение.

• А

• В

• D

• С

• Н

• Ответ. V=20 (ед3) ,