Функция y = arcsinx По определению

1. 
   Функция y = arcsinx
   

Тем самым на отрезке [−1;1] задана функция y=arcsinx,−1≤x≤1.

Функция y=arcsinx является обратной к функции y=sinx, где –π/2≤x≤π/2.

 

Поэтому свойства функции y=arcsinx можно получить из свойств функции y=sinx.

 

График функции y=arcsinx 

Основные свойства функции y=arcsinx

2. Множество значений — отрезок [−π/2;π/2].

3. Функция y=arcsinx — возрастает.

4. Функция y=arcsinx является нечётной, так как arcsin(−x)=−arcsinx.

2. 
   Функция y = arccosx
   

По определению арккосинуса числа для каждого x∈[−1;1] определено одно число y=arccosx.

Тем самым на отрезке [−1;1] определена функция y=arccosx, где−1≤x≤1.

Функция y=arccosx является обратной к функции y=cosx, где 0≤x≤π.

График функции y=arccosx симметричен графику функции y=cosx,где0≤x≤π, относительно прямой y=x.

Основные свойства функции y=arccosx

1. Область определения — отрезок [−1;1].

2. Множество значений — отрезок [0;π].

3. Функция y=arccosx убывает.

3. 
   Функция y = arctgx
   

По определению арктангенса числа для каждого действительного x определено одно число y=arctgx.

Тем самым на всей числовой прямой определена функция y=arctgx,x∈R.

Эта функция y=arctgx является обратной к функции y=tgx,где −π2≤x≤π2.

Основные свойства функции y=arctgx

1. Область определения — множество R всех действительных чисел.

2. Множество значений — интервал (−π2;π2).

3. Функция y=arctgx возрастает.

4. Функция y=arctgx является нечётной, так как arctg(−x)=−arctgx.

4. 
   Функция y = arcctgx
   

Функция y=ctgx монотонна на каждом из следующих интервалов: (−π;0),(0;π),(π;2π) и т. д.

Значит, на каждом из указанных промежутков функция y=ctgx имеет обратную функцию.

Это различные обратные функции, но обычно выбирают функцию,

Её обозначают x=arcctgy. Поменяв как обычно x и y местами, получим y=arcctgx, т. е. функцию, обратную к функции y=ctgx, где x∈(0;π).

Поэтому график функции y=arcctgx можно получить из графика функции y=ctgx, x∈(0;π), с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x.

Свойства функции y=arcctgx

 2. E(f)=(0;π).

 3. Функция не является ни чётной, ни нечётной, т. к. график функции не симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси y.

 4. Функция убывает.

5. 
   Функция непрерывна.
   

Итак, arcctga=t ⇔{ctgt=a,0

 

Для арккотангенса имеет место соотношение, аналогичное для арккосинуса