Решение уравнений 4-й степени на конкретном примере. Пример. Решите уравнение
жүктеу/скачать 273,88 Kb.
|
|
Решение уравнений четвертой степени методом Феррари (Практика) Рассмотрим решение уравнений 4-й степени на конкретном примере. Пример. Решите уравнение х4 − х3 − 3х2 + 5х − 10 = 0 . Решение. Оставим в левой части уравнения члены, содержащие х4 и х3 : х4 − х3 = 3х2 − 5х + 10 . Дополним левую часть полученного уравнения до полного квадрата: х4 − х3 + х2 = х2 + 3х2 − 5х + 10, или (1) Введем в полный квадрат левой части равенства (1) параметр r : Откуда с учетом равенства (1) получим: , (2) Подберем значение параметра r таким образом, чтобы дискриминант правой части равенства (2) обратился в нуль (т.е. чтобы в правой части равенства (2) также получился полный квадрат). D = = . Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения: 8г3 + 12r2 + 70r + 105 = 0; (2r + 5)(4r2 + 35) = 0. В частности, D = 0 , если r = −3/2 . Подставив значение r = −3/2 в равенство (2) , получим: , или . Откуда, , , х2 − х + 2 = 0 или х2 − 5 = 0 . Следовательно, . Ответ: . Задача 1. Решите уравнения: 1) х4 − 2х3 + 4х2 − 2х + 3 = 0; 2) х4 − 6х3 + 10х2 − 2х − 3 = 0 . Решение. 1) х4 − 2х3 + 4х2 − 2х + 3 = 0 . (1)* Преобразуем уравнение (1)* по методу Феррари : х4 − 2х3 = −4х2 + 2х − 3 , х4 − 2х3 + х2 = х2 − 4х2 + 2х − 3 , (х2 − х)2 = −3х2 + 2х − 3 . (2)* Введем в полный квадрат левой части равенства (2)* параметр r . Получим: ((х2 − х) + r)2 = (х2 − х)2 + 2r(х2 − х) + r2 . Используя равенство (2)*, находим : (х2 − х + r)2 = – 3х2 + 2х –3 + 2rx2 – 2rx + r2 , (х2 − х + r)2 – (2r – 3)х2 - 2(r – 1)х + (r2 – 3). (3)* Теперь подберем такое значение параметра r , чтобы дискриминант правой части равенства (3)* был равен нулю. D = (r − 1)2 − (12 − 3)(2r − 3) = −2r3 + 4r2 + 4r − 8 . Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения: 2r3 − 4r2 − 4r + 8 = 0 ; r3 − 2r2 − 2r + 4 = 0 ; (r − 2)(r2 − 2) = 0 . В частности, D = 0 , если r = 2. Подставив найденное значение параметра r в равенство (3)* получаем: (х2 − х + 2)2 = х2 − 2х + 1 ; (x2 − x + 2)2 = (х − 1)2 ; (х2 − х + 2)2 − (х − 1)2 = 0 ; (х2 − 2х + 3) (х2 + 1) = 0; x2 − 2x + 3 = 0 или x2 + l = 0; . 2) х4 − 6х3 + 10х2 − 2х − 3 = 0 . (4)* Преобразуем уравнение (4)* по методу Феррари: х4 − 6х3 = −10х2 + 2х + 3; х4 − 6х3 + 9х2 = 9х2 − 10 х 2 + 2 х + 3 ; (х − 3 х)2 = − х 2 + 2 х + 3 . (5)* Введем в полный квадрат левой части равенства (5)* параметр r . Получим: ((х 2 − 3 х) + r)2 = (х 2 − 3 х)2 + 2r (х 2 − 3 х) + r2 . Откуда с учетом равенства (5)* находим: (х 2 − 3 х + r)2 = (2r − 1) х 2 − 2(3r − 1) х + (r2 + 3). (6)* Подберем такое значение параметра r , чтобы дискриминант квадратного трехчлена в правой части равенства (6)* обратился в нуль: D = (3r − 1)2 − (r2 + 3)(3 r − 1) = 0; − 2 r 3 + 10 r 2 − 12 r + 4 = 0 ; r 3 − 5 r 2 + 6 r − 2 = 0; r 3 − r 2 − 4 r 2 + 4 r + 2 r − 2 = 0; r 2(r − 1) − 4 r (r − 1) + 2(r − 1) = 0 ; (r − 1)( r 2 − 4r + 2) = 0. В частности, дискриминант равен нулю, если r = 1. Следовательно, подставив значение r = 1 в равенство (6)* получим: (х2 − 3 х + 1)2 = х 2 − 4 х + 4 ; (х 2 − 3 х + 1)2 − (х − 2)2 = 0; (х 2 − 2 х − 1) (х 2 − 4 х + 3) = 0 ; х 2 − 2 х − 1 = 0 или х 2 − 4 х + 3 = 0 ; х 1, 2 = ; х 3 = 3; х 4 = 1. Ответ: a) б) ; 3; 1. жүктеу/скачать 273,88 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|