, то у точки r две первые координаты равны между собой. Тогда вследствие того, что r € (аба 1), находим я
жүктеу/скачать 329,94 Kb.
|
ГЛАВА ПРОСТЕЙШИЕ ФАКТЫ ГЕОМЕТРИИ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ S 6. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА Л и т е р а т у р а : Назвать фигуры, двойственные следующим: а) трехвершинннк, б) две различные прямые, в) три коллинеарные точки, г) четырехвершинник. Даны две прямые I и [1. Точки А,В,С принадлежат прямой l, точки А 1, В, , Ci принадлежат прямой Л. Докажите коллинеарность точек [1, Р = (АР) П (АД), R (ВС), если прямые АА 1, ВВ1, СС1 принадлежат одному пучку. Сформулируйте двойственное утверждение. У к а з а н и е . Примените обратную теорему Дезарга к трехвершинникам ААР и CC{R. Докажите, что утверждение, сформулированное в условии задачи 59, является частным случаем теоремы Дезарга. Сформулируйте задачу, двойственную задаче 59. Покажите, что утверждение, содержащееся в двойственной задаче, есть частный случай обратной теоремы Дезарга. Даны прямая а, неколлинеарные точки А, В, С, причем эти точки не инцидентны а. Достройте конфигурацию Дезарга так, чтобы а была дезарговой осью, а трехвершинник АВС дезарговым трехвершинником. Сформулируйте двойственную задачу. Рассмотрите частные случаи конфигурации Дезарга на расширенной плоскости, когда: а) дезаргова ось — несобственная прямая; б) дезаргов центр — несобственная точка. Сформулируйте соответствующие частные случаи прямой и обратной теорем Дезарга в терминах евклидовой геометрии. Даны четыре точки А, В, С, S, из которых никакие три не коллинеарны, и прямая s, не инцидентная ни одной из них. Постройте конфигурацию Дезарга с центром S , осью s и трехвершинником АВС.
В конфигурации Дезарга на расширенной евклидовой плоскости две вершины одного из дезарговых треугольников — несобственные точки. Сделайте чертеж конфигурации Дезарга и сформулируйте соответствующие частные случаи прямой и обратной теорем Дезарга в терминах евклидовой геометрии. Докажите полученные теоремы средствами евклидовой геометрии. У к а з а н и е . Приводим формулировку прямой теоремы. Пусть АВС — произвольный трехвершинник, S — точка, не принадлежащая его сторонам, и С, — произвольная точка прямой SC, отличная от S и С. Если точки Р и Q, лежащие соответственно на сторонах ВС и АС, таковы, что (СЮ) l l (AS) и (CiP) И (BS), то прямые АВ и PQ параллельны (рис. 7). Рис. 7 Для доказательства теооемы средствами евклидовой геометрии рассмотрите гомотетию с центром в точке С, при которой точка S отображается на С,. Покажите, что образом прямой АВ при этой гомотетии будет прямая QP. Сделайте чертеж конфигурации Дезарга в случае, когда одна из вершин одного из дезарговых трехвершинников несобственная. Сделайте чертеж конфигурации Дезарга в случае, когда пара несоответствующих вершин трехвершинников — несобственные точки. Проверьте, что для любой прямой из конфигурации Дезар- г а можно подобрать такие два трехвершинника этой же конфигурации, для которых данная прямая будет дезарговой осью. На евклидовой плоскости трапеция вписана в четырехугольник так, что ее параллельные стороны параллельны одной из его диагоналей. Докажите, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали (рис. 8). Р е ш е н и е .Трапеция EFQH вписана в четырехугольник ABCD так, что (FQ) (ЕН) П Прямые FQ и М, ЕВ и DE,BQ и D Н пересекаются на прямо АС. Следовательно, трехвершинники и FBQ и EDH удовлетворяют обратной теореме Дезарга и прямые FE, QH и BD пересекаются в одной точке. На евклидовой плоскости вершины параллелограмма ABCD лежат на сторонах параллелограмма A'B'C'D' так, что А е (А'В'), В (ВС), С (СТ), D (ТТ). Докажите, используя теорему Дезарга, что центр симметрии параллелограмма ABCD совпадает с центром симметрии параллелограмма A'B'C'D'. Используя теорему Дезарга, докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые и т и точка Р, им не принадлежащая. Пользуясь одной линейкой, через точку Р проведите прямую, параллельную прямым Р е ш е н и е . Анализ. Пусть задача решена и прямая п — ис комая (рис. 9). Рассмотрим конфигурацию Дезарга, центром которой является несобственная точка, принадлежащая прямым Е, т, п. Ось s и точки R € l, Q (- т и R ' I могут быть выбраны произвольно, но так, чтобы R , Q и Р не были коллинеарными. Если Х— (RQ) П s, У (PQ) n s, Z = (RP) П то — (R'x)n т, Р! (R'Z) П СУ). Построение. 1) Произвольно выберем точки R , Q14 R ' так, чтобы Р, Q и R не принадлежали одной прямой и (RR ) Рис. 9 жүктеу/скачать 329,94 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
| |||||||