1. Қарапайым рационал бөлшектер және оларды интегралдау
жүктеу/скачать 471,5 Kb.
|
| 2 Рационал бөлшектерді қарапайым бөлшектерге жіктеу
Кез келген дұрыс рационал бөлшекті қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеуге болатынын көрсетелік. Бізге дұрыс рационал бөлшек берілсін Бұл көпмүшеліктердегі коэффициенттер нақты сандар және берілген бөлшек қысқармайтын бөлшек деп алайық. Теорема 1. саны бөлімінің еселі түбірі болсын, яғни, мұндағы онда берілген дұрыс бөлшек -ті басқа екі дұрыс бөлшектердің қосындысы ретінде былай жаза аламыз: (1) мұндағы - нөлге тең емес тұрақты сан, - дәрежесі бөлімінің дәрежесінен кіші болатын көпмүшелік. Ары қарай, бөлімінің түбірлері комплекс сандар болатын жағдайды қарастырамыз. Коэффиценттері нақты сандар болатын көпмүшеліктің комплекс түбірлері әрқашанда қос-қостан түйіндес. Көпмүшелікті нақты коэфицентті көбейткіштерге жіктегенде комплекс түбірлердің әрбір жұбына түріндегі өрнек сәйкес келеді. Егер де комплекс түбірлердің еселігі -ға тең болса, онда оған түріндегі өрнек сәйкес келеді. Теорема 2. Егер мұндағы көпмүшелігі көпмүшелігіне бөлінбейтін болса, онда дұрыс рационал бөлшегін басқа екі дұрыс бөлшектердің қосындысына жіктеуге болады: (3) мұндағы - дәрежесі көпмүшелігінің дәрежесінен кіші көпмүшелік. Теорема 1 мен 2-нің нәтижелерін дұрыс бөлшегіне қолданып, бөлімі -тің барлық түбірлеріне сәйкес барлық қарапайым бөлшектерді бөліп аламыз. Сонымен, алдыңғы айтқандардан мынадай нәтижелер шығады. Егер болса, онда бөлшегін былай жаза аламыз: (5) коэффиценттерін табу үшін: жоғарыдағы теңдік тепе-теңдік болғандықтан, теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіре отырып, оң жағы мен сол жағы өзара тең бөлшектер аламыз. Оның бөлімдері тең болғандықтан, алымдарын теңестіреміз. -тің бірдей дәрежелі коэффиценттерін теңестіріп, белгісіз коэффициенттері бар теңдеулер жүйесін аламыз. Бұл әдіс белгісіз коэффиценттер әдісі деп аталады. Коэффициенттерді анықтауда мынадай ескертуді ескерген жөн: оң жағын ортақ бөлімге келтіргеннен кейінгі оң жағы мен сол жағының алымдары тепе-тең болғандықтан, олар -тің кез келген мәнінде де тепе-тең болуы керек. -ке дербес мәндер беру арқылы коэффициенттерді анықтайтын теңдеулер аламыз. Сонымен, кез келген рационал дұрыс бөлшекті қарапайым рационал бөлшектердің қосындысы түрінде жаза аламыз. Мысал 2. бөлшегін қарапайым бөлшектерге жіктейік. (5) негізінде: аламыз. Ортақ бөлімге келтіріп, алымдарын теңестірсек: (6) немесе (бос мүше) коэффиценттерін теңестіре отырып, мынадай теңдеулер жүйесін аламыз: Жүйені шешсек: . Мысал 3. -тың коэффиценттерін теңестірсек: Жоғарыдағы айтылғандардан, біз кез келген рационал функцияның элементар функциялар арқылы интегралданатынын анықтадық. жүктеу/скачать 471,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|