Айталық қандайда бір Е жиын берілсін. Осы жиынның элементтерінің метрикасы (арақашықтығы немесе өлшем) деп - төмендегідей шарттарды қанағаттандыратын функциясын айтамыз:
1°. - оң сан болады, сонда тек сонда, егер тепе-теңдік шарты ;
2°. симметриялық шарты;
3°. үшбұрыштар теңсіздігінің шарты.
Осы Е - жиында метрика енгізілген болса, онда ол метрикалық кеңістік деп аталады.
Сонымен қатар, метрикалық кеңістік деп бос емес Е жиынынан және метрикасынан құралған жұбын айтады. 1°-3° шарттар метрикалық кеңістіктің аксиомалары деп аталады. - теріс емес санымыз элементтерінің арасындағы метрика (немесе арақашықтық) деп аталады.
Мысалдар: 1)
1°.
2°.
3°. Метрика болады
2) .
Шешуі:
1°.
2°. Метрика болмайды.
Метрикалық кеңістік және топология туралы ұғымға сипаттама беріңіз. Мысал келтіріңіз.
Айталық қандайда бір Е жиын берілсін. Осы жиынның элементтерінің метрикасы (арақашықтығы немесе өлшем) деп - төмендегідей шарттарды қанағаттандыратын функциясын айтамыз:
1°. - оң сан болады, сонда тек сонда, егер тепе-теңдік шарты ;
2°. симметриялық шарты;
3°. үшбұрыштар теңсіздігінің шарты.
Осы Е - жиында метрика енгізілген болса, онда ол метрикалық кеңістік деп аталады.
Сонымен қатар, метрикалық кеңістік деп бос емес Е жиынынан және метрикасынан құралған жұбын айтады. 1°-3° шарттар метрикалық кеңістіктің аксиомалары деп аталады. - теріс емес санымыз элементтерінің арасындағы метрика (немесе арақашықтық) деп аталады.
жиыны берілсін
Келесі аксиомалар орындалған жағдайда жүйесі жиында анықталған топология деп аталады.
1°. ,
()
2°. жүйесі жиындарының кез келген бірігуі қайтадан жүйесінде жатады.
3°. жүйесі жиындарының ақырлы сандардағы қиылысуы қайтадан жүйесінде жатады.
Мысалдар: 1)
1°.
2°.
3°. Метрика болады
2) .
Шешуі:
1°.
2°. Метрика болмайды.
Анықтама'>Шар, нүкте аймағы, ішкі, сыртқы және шекаралық нүктелер жиынына анықтамалар беріңіз.
Анықтама Кез- келген элемент нүктесі жиынының шектік нүктесі деп аталады, егер - тің әрбір аймағында болатын кемінде бір элементін қамтитын болса.
Анықтама Кез-келген элемент оңашаланған нүкте деп аталады, егер осы элементті қамтитын қандай да бір аймағы үшін шарты орындалса.
Анықтама Кез- келген элемент ішкі нүкте деп аталады, егер осы элементті қамтитын қандай да бір аймағы үшін толығымен жиынына жататын болса.