№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы
жүктеу/скачать 1,12 Mb. Pdf көрінісі
|
|
2. Шын мәнісінде, бөлшектер бүтін сандарды бөлудің нәтижесінде келіп шыққан жоқ, сондай-ақ олар көбейтуге кері – бөлу амалы әрдайым орындалатындай болу үшін ойлап табылған жоқ. Егер де бөлшектер бүтін сандарды бөлудің нәтижесінде пайда болған болса, онда алғашқыдан бастап-ақ барлық бөлшектер логикалық тұрғыдан біртекті болар еді және бұл олардың түсіндірмелері мен белгіленулерінен байқалар еді. Бірақ тарихи тұрғыдан алғанда олай емес. Қай халықта да болмасын бөлшек ұғымы адам баласының өлшеу жұмысымен байланысты тәжірибелік әрекеттерінен келіп шыққан. Адамзат санау сияқты, ерте замандардан бастап, өлшеу жұмыстарымен де айналысқан. Көпшілік жағдайларда неғұрлым дәлірек өлшеу үшін оған алдын ала таңдап алынған өлшем бірлікті екі, үш және одан да көп бөліктерге бөліп, ұсақтауға тура келген. Кейінірек осы ұсақ өлшеуіштерге арнайы атаулар беріліп, шамаларды осы ұсақ өлшеуіштермен өлшейтін болған. Бөлшек ұғымы осыдан барып, пайда болған. Әрине, алғашқыда «бөлшек» ұғымы қазіргідей дерексіз ұғым ретінде қалыптаса қоймағаны түсінікті. Жалпы алғанда, ежелгі замандарда адамдар бөлшектердің мына сияқты үш түрімен таныс болған: 1)Үлестер; 2)Алпыстық бөлшектер; 3)Жалпы түрдегі, яғни 𝑚 𝑛 түріндегі бөлшектер. Бөлшек ұғымы туралы түсініктер мысырлықтардың, вавилондықтардың, гректердің, қытайлықтардың, үндістандықтардың ежелгі және ортағасырлық жазбаларында кездеседі. 3. Бастапқыда пифагоршылар кез келген физикалық немесе геометриялық шамалардың қатынастарын натурал сандардың қатынастарымен өрнектеуге болады деп ойлады. Анығырақ айтқанда, олар барлық кесінділер өлшемдес болады, яғни екі AB және CD кесінділері қандай болса да AD-ның бойына да CD- ның бойына да бүтін сан рет салуға болатындай е кесіндісі бар болады деп есептеді. Өз кезегінде бұл бұл геометрияны арифметикаға келтіруге мүмкіндік береді деген түсінік қалыптасуына мүмкіндік туғызды. Алайда, пифагоршылар өздерінің бұрынғы көзқарастарын өзгертуге себеп болған үлкен жаңалық ашты. ABCD квадраты берілсін. A B C D Квадраттың диагоналі CB оның қабырғасы CD-мен өлшемдес болады, яғни олардың қатынасы екі натурал m және n сандарының қатынасына тең болады деп ойлайық: CB ∶ CD = 𝑚 ∶ 𝑛 Бұл жағдайда m және n сандарының екеуі де жұп сан бола алмайды, олай болғанда бөлшекті 2-ге қысқартуға болар еді. Теңдіктің екі жағын да квадраттасақ: 𝐶𝐵 2 : 𝐶𝐷 2 = 𝑚 2 : 𝑛 2 Пифагор теоремасы бойынша, 𝐶𝐵 2 = 2𝐶𝐷 2 , 𝐶𝐵 2 : 𝐶𝐷 2 = 2 , демек, 𝑚 2 = 2𝑛 2 . Ендеше, 𝑚 2 – жұп сан, бұдан 𝑚 де жұп сан екендігі шығады, яғни 𝑚 = 2𝑡 . Осыны алдыңғыға қойсақ: 4𝑡 2 = 2𝑛 2 немесе 𝑛 2 = 2𝑡 2 . Бұдан 𝑛 2 , сондықтан 𝑛 жұп сан екендігі келіп шығады. Сонымен, m және n сандарының екеуі де жұп сан болып шықты, бұл қарама- қайшылық . Ендеше, CB мен CD-өлшемдес емес кесінділер. Өлшемсіздіктің ашылуы бүтін сандар мен олардың қатынастары кез келген екі кесіндінің қатынастарын өрнектеуге жеткіліксіз болатындығын, сол себепті метрикалық геометрияны тек рационал сандардың көмегімен құруға болмайтындығын көрсетті. Бұл идеяны дамытқандар: Феодор, Теэтет, т.б. Осылайша, математиканың дамуында ең алғашқы дағдарыс туындады. Одан шығу үшін жаңа сандарды енгізу арқылы сан ұғымын кеңейту керек болды. Алайда, айқын түрде жаңа - иррационал сан ұғымын енгізу оңай болған жоқ. Алғашқыда иррационал сан ұғымы болған жоқ, ол негізінен алғанда, өлшемдес емес кесінділердің қатынасы ретінде қарастырылды да қатынастар теориясын дамытуға баса мән берілді (Евдокс,т.б.). Алайда,Евдокстың қатынастар теориясы айқын түрде иррационал сан ұғымын енгізу мәселесін шеше алған жоқ. Сан ұғымының айқын түрде кеңеюі XI-XII ғасырларды ғана мұсылман елдері математикасында жүзеге асырылды. жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|