§1 Классикалық теориялық физика
§ 11 Спектрі дискретті оператордың меншікті функцияларының қасиеттері
жүктеу/скачать 1,76 Mb.
|
Кванттық механика (лекция)
| § 11 Спектрі дискретті оператордың меншікті функцияларының қасиеттері
1-қасиет. Эрмитті оператордың әр түрлі меншікті мәндеріне сәйкес келетін меншікті функциялар бір-біріне ортогональды болады, яғни мынадай теңдік орындалады: мұндағы m≠n. Енді осы (3.23) теңдігінің орындалуының дәлелін келтірелік. Ол үшін алдымен қандай да бір операторының меншікті мәндері және оларға сәйкес келетін меншікті фугкцияларының жиыны қарастырылады. Меншікті мәндер спектрі дискретті, әрі айнымаған болсын. Онда олардың әр түрлі екі мәндеріне, әртүрлі екі және меншікті функциялар сәкес келеді де, ол фунуциялар мынадай теңдеулерді қанағаттандырады: (3.24) Енді сол жағынан бірінші теңдеуді ал екіншісін функцияларына көбейтіп, біріншісінен екіншісін мүшелеп алып тастай отырып, бүкіл кеңістік бойынша интегралдап, келесі теңдікті алуға болады: Бұдан әрі операторының эрмитті екенін ескере отырып, бұд өрнектің нөлге тең екеніне оңай көз жеткізуге болады. Шындығында, =0. Онда Бастапқы ұйғарым бойынша болғандықтан, соңғы теңдіктен екені шығады. Бұл - біз іздестіріп отырған шарт. Сонымен, эрмитті операторлардың әр түрлі меншікті мәндеріне сәйкес келетін меншікті функциялар бір-біріне ортогональ екен. Олардың ортогональ болуының физикалық мағынасы мынада: егер F шамасы әр түрлі меншікті мәндерге сәйкес келетін және күйлерінде өлшенсе, онда оларға сәйкес тек және мәндері ғана алынады. Ал күйінде шамасын алудың немесе керісінше, күйінде шамасын алудың ықтималдықтары нөлге тең. Кванттық механикада өрнегін толқындық функцияның қабаттасу интегралдары деп атайды. Бір-біріне ортогональ емес күйлер үшін бұл интегралдың мәні нөлден өзгеше болады. 2-қасиет. Меншікті мәндерінің спектрі дискретті болатын операторлардың меншікті функцияларының аргументі шексіздікке ұмтылғанда функцияның өзі нөлге ұмтылады. Мысал ретінде энергия операторын қарастырайық. Энергия спектрі дискретті болатын байланысқан күйдегі кванттық жүйелер (мысалы, молекула, атом, ядро т.с.с.) кеңістіктің шектелген аймағында ғана бола алады, ал бұл аймақтың шекарасынан тысқары жерде толқындық функция нөлге дейін тез кеміп кетеді. Бұлай болмаған күнде, аймақтан сырт жерде болып, бөлшек кеңістіктің кез келген алыс жерлеріне кетіп қалуы керек еді. Бұл біздің ұйғарымымызға қайшы. Олай болса, дикретті спектрдің меншікті функцияларының квадратынан бүкіл кеңістік бойынша алынған интегралы шекті мәнге ие болады. Ал мұндай шектелген функцияларды, суперпозиция принципін ескере отырып, әрқашанда 1-ге нормалауға болады. Бұдан әрі толқындық функция үшін нормалау және ортогональдық шарттарын біріктіре отырып, мына түрде ортонормалау шартын алады: (3.25) 3-қасиет. Спектрі дискретті болатын оператордың меншікті функцияларының жиыны толық (тұйық) жүйе құрайды, яғни осы меншікті функциялар тәуелді айнымалыға тәуелді болатын және сол функциялар қанағаттандыратын шекаралық шартты қанағаттандыратын кез келген Ф( ) функциясын меншікті функциялар жиыны арқылы мына түрде жіктеуге болады: Ф( )= (3.26) Енді жіктеу коэффициентін анықталық. Ол үшін бұл өрнекті -ға көбейтіп, бүкіл кеңістік бойынша интегралдау қажет. Одан әрі бұл интегралда толқындық функцияның ортонормалану шартын пайдалана отырып, мынадай өрнеті алуға болады: ⨜Ф( Яғни, кез келген жіктеу коэффициенті мынадай өрнекпен анықталады екен: an=⨜Ф( (3.27) 4-қасиет. Спектрі дискретті болатын оператордың меншікті функциялары мынадай толықтық шартын қанағаттандырады: (3.28) Бұл теңдікті дәлелдеу үшін Дирактың δ-функциясына(4-қосымшаны қараңыз) (3.26)-ға сәйкес мынадай ортонормаланған жүйе бойынша жіктелік: (3.29) Бұл жердегі a (ξ`) жіктеу коэфиценттері (3.27)-ға сәйкес мына өрнекпен анықталады: (ξ)dξ = (3.30) Жіктеу коэффицентінің осы мәнін (3.29) өрнегіне алып барып қойса,онда іздестіріліп отырған толықтық шартының өрнегі алынады. Бұған дейін айнымаған спектр жағдайы қарастырылды.Алайда алынған нәтижелерді айныған спектр жағдайына оңай жалпылауға болады.Мысалы,спектр дискретті операторының меншікті мәніне бірнеше меншікті функциялары сәйкес келсін делік.Жоғарыдағы келтірілген дәлелдерді қайталай отырып, m≠n болғанда, =0 (3.31) екеніне оңай көз жеткізуге болады.Яғни меншікті функциялар айныған жағдайда әр түрлі меншікті мәндерге қатысты меншікті функциялар бір-біріне ортогональ.Ал енді,жалпы жағдайда,бір меншікті мәнге сәйкес келетін меншікті функцияларды да болған жағдайда бір-біріне ортогональ болатындай етіп таңдап алуға болады.Мұны екі еселі айну мысалының негізінде көрсетуге болады. Оператордың меншікті мәнәне нормаланған,бір-біріне ортогональ емес екі және меншікті функциялары сәйкес келсін делік.Енді мынадай екі = және =С( + ) функцияларын анықталық.Суперпозиция принципіне сәйкес функциясы да операторының меншікті мәнәне тиесілі меншікті фунциясы болады.Ал λ тұрақтысын ортогональдық шарты орындалатындай етіп таңдап алуға болады. Онда (3.32) екенін оңай табуға болады. Ал тұрақтысы нормалау шартынан анықталады.Сонымен бір ғана меншікті мәнге тиесілі нормаланған және бір-біріне ортогональ меншікті функциялары табылды.Бұл әдісті кез келген еселі айну жағдайына жалпылау қиын емес.Алынған шарттарды біріктіре отырып,айныған спектр жағдайы үшін ортонормалау шартын мына түрде жазуға болады: (3.33) Меншікті мәндерінің спектрі айныған оператордың меншікті функцияларының жүйесі де толық болады,яғни (3.26) тәрізді кез келген Ф(ξ) функциясын бұл меншікті функциялар арқылы былай жіктеуге болады: Ф(ξ) = . (3.34) Жіктеу коэффиценттері мына өрнекпен анықталады: (ξ)dξ (3.35) Ал толықтық шарты мына түрде жазылады: = (3.36) Кез келген функцияны эрмитті оператордың меншікті функцияларының толық жүйесі арқылы жіктеудің коэфиценттерінің белгілі физикалық мағынасы бар.Жоғарыда айтқанымыздай,егер жүйенің күйі операторының меншікті функциясы болып табылатын толқындық функциясымен сипатталса,онда осы күйде өлшенген F шамасының мәні нақтылы сәйкес келмейтін толқындық функциясымен сипатталатын болса,онда бұл күйде F шамасы нақтылы мәнге ие бола алмайды,яғни әрбір жекелеген өлшеу кезінде бір-біріне сәйкес келмейтін,бірақ әйтеуір меншікті мәндерінің біріне тең болатын әр түрлі нәтижелер аламыз.Өлшеуді көп рет қайталай отырып,төмендегі өрнекпен анықталған -орташа мәнін табуға болады. Бұл өрнекке Ф(ξ)функциясының операторының меншікті функциялары арқылы (3.26) жіктелу өрнегін қоя отырып,мынаны аламыз: (3.37) Бұдан әрі Ф(ξ) функциясының нормалық шартынан (3.38) екені шығады. Бұл өрнекті,сонымен қатар,толықтықтың қажетті шарты деп те атайды.Ал дәл осы (3.37) және (3.38) өрнектері шамасының физикалық мағынасын анықтайды.Оның мәнісі мынада: бұл коэффиценттердің квадраты F шамасын Ф (ξ) күйінде өлшеудің нәтижесінде -ді алудың ықтималдылығын береді. жүктеу/скачать 1,76 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|