10 дәрістің тақырыбы. Z сақинасындағы салыстырулар. Эйлер және Ферма теоремалары. Мақсаты

Салдарлар.

1. 
   a m  a ≡ 0 (mod m)
   

2. 
   a =mg + r  a ≡ r (mod)
   

Кез келген бүтін сан m –ге бөлгендегі r қалдықпен, m модулі бойынша салыстырымды.

Салыстырудың қасиеттері.

1⁰. рефлексивті: а ≡ а (mod m) а Є Z

a – a = 0 m

2⁰. симметриялы: а ≡ b (mod m) => b ≡ а (mod m)

a – b m => b – a m

3⁰. транзитивті: а ≡ b (mod m) Λ b ≡ c (mod m) => a ≡ c (mod m)

a – b m Λ b – c m => (a – c) + (b – c) =a – c m

Қорытынды. Z жиынындағы m модулі бойынша салыстыру қатынасы – эквивалентті қатынас болады => Z жиыны өзара қиылыспайтын эквивалентті кластарға бөлшектенеді.

Бұл кластар – m модулі бойынша қалындыла кластары деп аталады.

4⁰.Модульдері бірдей екі немесе бірнеше салыстыруларды қосуға не азайтуға болады.

а₁ ≡ b₁ (mod m)

а₂ ≡ b₂ (mod m)

______________

a₁ ± a₂ ≡ b₁ ± b₂ (mod m)

a₁ – b₁ m

=> (a₁ ± a₂) - (b₁ ± b₂) =(a₁ – b₁) ± (a₂ – b₂) m a₁ ± a₂ ≡ b₁ ± b₂(mod m)

a₂ – b₂ m

Салдарлар.

1. Салыстырудың кез келген мүшесін бір жағынан екінші жағына кері таңбамен көшіруге болады.

а + b ≡ с (mod m) => а ≡ с – b (mod m)

- b ≡ - b (mod m)

_______________

а ≡ с – b (mod m)

2. Салыстырудың екі жағына да модульге еселі санды қосуға не азайтуға болады.

а ≡ b (mod m) => а ≡ b – mk (… m)

0 ≡ mk (… m)

5⁰ Бірдей модульді салыстыруларды мүшелеп көбейтуге болады.

а₁ ≡ b₁ (mod m)

а₂ ≡ b₂ (… m)

_________________

a₁a₂ ≡ b₁b₂ (… m)

a₁a₂ – b₁b₂ = a₁a₂ – b₁b₂ + a₁b₂ – b₁b₂ = a₁ (a₂ – b₂) + b₂ (a₁ – b₁) m

Салдарлар.

1) Салыстырудың екі жағын да бірдей бүтін санға көбейтуге болады.

a ≡ b (… m) => ac ≡ bc (mod m) => a – b =mg => ac – bc ≡ m (gc)

2) Салыстырудың екі жағын да бірдей дәрежеге шығаруға болады.

a ≡ b (mod m) => aⁿ ≡ bⁿ (mod m)

6⁰ Салыстырудың екі жағын да модульмен өзара жай сан болып табылатын олардың ортақ бөлгішіне бөлуге болады.

aс ≡ bс (mod m) Λ (c, m) = 1 => a ≡ b (mod m) => ac – bc m => c (a – b) m Λ (c, m) = 1 =>a – b m

7⁰ Салыстырудың екі жағын да және модульды бірдей оң бүтін санға көбейтуге болады.

a ≡ b (mod m), r (mod m) Є Z => ak ≡ bk (mod mr)

a – b = mg => ak – bk = (mr)g k Є Z

8⁰ Егер ak ≡ bk (mod mk) => a ≡ b (mod m) мұндағы r, m – кез келген натурал сандар.

9⁰ a ≡ b (mod m) Λ m d => a ≡ b (mod m) => a – b m и m d => a – b d

10⁰ a ≡ b (mod m) => a мен m-нің барлық ортақ бөлгіштер жиыны, b мен m-нің барлықортақ бөлгіштер жиынымен бірдей болады, (a, m) = (b, m).

11⁰ a ≡ b (mod m1)

a ≡ b (mod m2)

-------------------

a ≡ b (mod m_k) где m ≡ [m₁, …, m_k]

12⁰ f(x) – бүтін коэффициентті көпмүшелік болсын, a ≡ b (mod m) =>

f(a) ≡ f(b) (mod m)