§13. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі



бет3/3
Дата27.09.2023
өлшемі47,49 Kb.
#110702
1   2   3
Теорема. Егер және векторларының тік бұрышты
декарттық координаталар жүйесіндегі координаталары:
, болса, онда ол векторлардың скаляр
көбейтіндісі: сол векторлардың сәйкес координаталарының
көбейтінділерінің косындысына тең болады, яғни
(13.3)
болады.
Дәлелі. Координаталары белгілі болғандықтан бершген
векторлар базистік векторларға | былайша жіктелер еді:
, және . Мұның екі жағын бір-
біріне мүшелеп көбейтсек:


(13.4)
Мұндағы бірлік векторларының скалярлык көбейтiндiлерi скалярлык көбейтіндінің анықтамасы бойынша мынаған тең :

Бірлік векторларынын осы скалярлык көбейтінділерінің мәндерін
( 13.4 ) теңдеуге койып , мынаны табамыз :

1 - салдар . Координаталары арқылы берілген а = ( x , y , z ) вектордын ұзындығы мына формула бойынша аныкталады.
. ( 13.5 )
Шынында дa , . Бұдан , теңдік шығады .
2 - салдар . Екi және векторлар арасындагы бурыш мына формуламен анықталады :
( 13.6 )
Мұны дэлелдеу ушiн ( 13.1 ) формуласына ( 13.3 ) мен ( 13.5 ) теңдіктерден ab , a ъ мәндерін қою жеткілікті .
3 - салдар . Нелдiк емес а = ( x1 , y1 , ²1 ) және b = ( x2 , y2 , ²2 ) векторлар перпендикуляр болуы үшін
60 ( 13.7 ) X1X2 + y + у2 + Z122 = 0
тендiгiнiң орындалуы кажеттi және жеткілікті .
Аныктама . Кез - келген а = ( x , y , 2 ) вектордын i , j , k базистік векторлармен жасайтын а , в , у бұрыштарынын косинустарын : cosa , cos B , cosy сол вектордың бағыттаушы косинустары деп атайды .
4 - салдар . Нөлдiк емес a = ( x , y , z ) векторының багыттаушы косинустары мына формулалар аркылы аныкталады :
cos B cosa = 2 √x² + x + z 1 cos Y == cos p = cos ( a , j ) = √x + y
Шынында да ( 13.6 ) формула бойынша
A cos a = cos ( a , i ) = 2 2 + 22 2 x = √√x + y 2 2 √x² + y² + ₂² z x.1 + y.0 + z.0 Vx2 + y2 + z² / 1 + 0 + 0 .2 2 cosy = cos ( a , k ) = x.0 + y.1 + z.0 √√x² + y² + z² √0 + 1 + 0 2 x.0 + y.0 + z.1 2 + 1² +2 √0 + 0 + 1 √x² 2 z = √√x² . + y² + 2² cos Y = 2 2 X 27 cos 2 a + cos2 B + cos2 y = 1 ( 13.9
Буларды квадраттап коссак :

болып шығады . Егер а вектор бiрлiк вектор болса , а = 1 болады да ( 13.3 ) формуладан :
( 13.8 ) cosa = x , cos B = y , cos y = z
болады , яғни бiрлiк вектордын координаталары бағыттаушы косинустарына тең болады . ( 13.8 ) формуладан :
+22 cosC = acos ( a , i ) = np za , y = √x2 + y2 + 2² cos B = | acos ( a , j ) = np za , = a cos ( a , k ) = np z a 61 +2
болып шығады . Бұл вектор координатасыные , геометриялык мәнін ашады : вектордың координаталары ол вектордын Ох , Oy , Oz осьтерiне тускен проекциясын білдіреді

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет