39. Бірінші ретті туындысы бойынша шешілген сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема
жүктеу/скачать 87,26 Kb.
|
Дифференциалдық теңдеулер
|
Дифференциалдық теңдеулер 39. Бірінші ретті туындысы бойынша шешілген сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема. Теорема. Дифференциалдық теңдеу (1) және бастапқы мәндер берілсін. Егер функциясы мына тұйық облыста екі шартты қанағаттандырса: 1)қос айнымалы бойынша үзіліссіз;демек 2) айнымалысы бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады, яғни саны бар болып, облысының кез келген екі және нүктелері үщін теңсіздігі орындалады, саны нүктелердің алынуына тәуелді емес: онда (1) теңдеудің (2) шартын қанағаттандыратын кесіндісінде анықталған, үзіліссіз дифференциалданатын жалғыз ғана шешімі бар болады және Дәлелдеуі: Теореманың дәлелдеуін бес кезеңге бөлеміз. 1) Коши есебінің интегралдық теңдеумен эквиваленттілігі. Айталық (1) теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын кесіндісіндегі шешімі болсын. Яғни Алынған тепе-теңдікті -ден -ға дейін интегралдасақ, шешімнің интегралдық тепе-теңдікті қанағаттандыратынын көреміз. Сондықтан (1),(2) Коши есебін (3) интегралдық теңдеуімен алмастыралық. Берілген теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын шешімі (3) теңдеудің шешімі болатыны көрсетіледі. Енді (3) теңдеудің шешімі (1),(2) есептің шешімі болатынын көрсетелік. (3) теңдеудің шешімі болсын. Онда болады да тепе-теңдігі орындалады. Тепе-теңдіктің оң жағы үзіліссіз дифференциалданатын ф-я. Онда сол жағы да үзіліссіз дифференциалданады. Егер тепе-теңдікті дифференциалдасақ, яғни (3) теңдеудің шешімі (1) теңдеудің (2) шартты қанағаттандыратын шешімі болады. Шешімдердің осы көрсетілген ортақтығы мағынасында (1),(2) Коши есебі мен (3) интегралдық теңдеу эквивалентті деп аталады. 2. Дәйекті жуықтау тізбегін құру. Интегралдық (3) теңдеудің шешімін табу үшін Пикардың дәйекті жуықтау әдісін пайдаланамыз. Бастапқы жуықтау ретінде ізделінетін шешімнің алғашқы мәніне тепе-тең болатын функцияны аламыз: Келесі жуықтауларды мына формулалар …………………………………….. (4) арқылы анықтаймыз. Мұнда .Алынған тізбегінің әрбір мүшесі кесіндісінде анықталған, үзіліссіз болады және D облысынан шығып кетпейді. Мұндағы функциясы обл-да анықталған. болғ-н, ол үз-з. Ал онда жоғары шегінің үз-з. Ал онда жоғары шегінің үз-з ф-сы болып табылатын интеграл- үз-з. Сондықтан үз-з және . Ал -ден болғанда теңсіздігін аламыз. Яғни ( Енді тізбектің үшінші мүшесін , қарастыралық. Интеграл астындағы ф-сы обл-да анықталған. Сондықтан ол үз-з. Ендеше интеграл үз-з, ал онда үз-з. Ал -ден болғанда теңсіздігін аламыз. Яғни . Сонымен бірге Әрбір жуықтау оның алдында тұрған жуықтау арқ анықталғандықтан, матем-қ индукция әдісін пайдаланып үшін дәлелденгендерді тізбектің жалпы мүшесі үшін де дәлелдеуге болады. Шынында да саны үшін деп есептесек, -де , болады да, шығады. Яғни 3. Дәйекті жуықтау тізбегінің жинақтылығы. Құрылған тізбектің кес-де жинақты болатынын көрсетелік.Ол үшін бөлікке қосындысы -мүшесі -ге тең болатын функциялық қатар (6) қарастырамыз. Бұл (6) қатардың бірқалыпты жинақтылығынан (5) тіз-ң бірқалыпты жинақты-ғы шығады себебі Қатар әрбір мүшесін екіншісінен бастап кес-де абсолют шамасы бой-ша бағалайық Енді функция Липшиц шартын қанағаттандыратынын пайдаланалық. Онда қатардың екінші мүшесі үшін алынған бағаны ескеріп мына теңсіздікті Қатардың кез келген n мүшесі үшін де осындай теңсіздік орындалады. Оны мат-қ индукция әдісімен көрсетуге болады. Сонымен (6) қатардың мүшелерінің абсолют шамасынан құрылған қатар кес-де мына теңсіздікті қанағаттандырады: Теңсіздіктің оң жағындағы сандық қатар жинақты. Оны Даламбер белгісіне сүйеніп дәлелдейміз. Онда Вейерштрасс белгісі бой-ша функ-қ қатар кес-де бірқалыпты жинақты. Егер қатардың қосындысын деп белгілесек, онда (5) тізбектің шегі осы функ-ға тең болады: және Кез келген үшін болғанда шекке көшіп теңдігін, яғни шектік функ-ң да (2) бастапқы шартты қанағаттандыратынын аламыз.Егер теңсіздігінде шекке көшсек теңсіздігін аламыз,яғни 4) Шектік ф-я-(3) теңдеудің шешімі Липшиц шартын пайдаланып теңдігін аламыз.Бұдан теңдігі алынады. Оны пайдаланып (4) жүйедегі -ы анықтайтын теңдеуіне көшсек тепе-теңдігін аламыз.Яғни функ-сы - кесіндісінгі (3) интегралдық теңд-ң шешімі. Олай болса функ-сы - кесіндісінде анықталған (1),(2) Коши есебінің шешімі. 5) Шешімнің жалғыздығы Коши есебінің шешімінің жалғыздығын дәлелдемес бұрын Гронуолл леммасын дәлелдейік. жүктеу/скачать 87,26 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|