43.Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің іргелі шешімдер жүйесін құру. Сипаттаушы теңдеудің әртүрлі түбірлері болатын жағдай.
Коэффициенттері нақты сандар болатын сызықтық біртекті дифференциалдық жүйе берілсін: (1)
Мұнда
Эйлер нұсқауы бойынша жүйенің шешімін (2)
түрінде іздейміз. мұндағы 0-ге тең болмайтын белгісіз тұрақты вектор, белгісіз параметр. Жүйеге (2) ауыстыруды апарып қойсақ, теңдігі алынады. Олай болса, векторы ( ) (3) алгебралық теңдеуінің шешімі болу керек. Ал ол шешім 0-дік болмауы үшін det( ) (4) теңдігі орындалуы қажет. (4) теңдеу (1) жүйенің сипаттаушы теңдеуі деп, ал оның түбірлері сипаттағыш сандар деп аталады.
Барлық сипаттағыш сандар әр түрлі болатын жағдайды қарастыралық. Әрбір
санына (3) теңдеуден,оған -ның орнына -ді қойғанда алынатын матрицасының меншікті векторы сәйкес келеді.
Әр түрлі меншікті сандарға сәйкес табылатын меншікті векторлар да өзара сызықтық тәуелсіз болады. Түбірлер әр түрлі болған жағдайда .
Сондықтан меншікті векторлар (3) теңдеуден тұрақты көбейткіштерге дейінгі дәлдікпен табылады. Табылған меншікті сандар мен меншікті векторларды кезегімен (2) формулаға қойып, (1) жүйенің мынадай шешімдерін аламыз:
(5)
Мұнда ,
, ,
Алынған шешімдер -де (1) жүйенің шешімдердің іргелік жүйесін құрады.
Бұны дәлелдеу үшін (5) шешімдердің вронскианын нүктесінде қарастыралық:
Ол 0-ге тең емес, себебі анықтауыштың тік жолдары өзара сызықтық тәуелсіз. Енді коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті жүйенің кез келген шешімі -де анықталатынын ескерсек вронскианы да -де 0-ге тең болмайды. Шынында да,
Сонымен (5) шешімдер базис құрағандықтан, (1) жүйенің жалпы шешімі олардың кез келген тұрақты коэффициенттер арқылы өрнектелетін сызықтық комбинациясына тең болады:
Енді сипаттаушы теңдеу түбірлерінің комплекс мәнділерін қарастырайық.
Комплекс мәнді меншікті сандарға сәйкес келетін нақты шешімдерді құру жолын көрсетелік. сипаттаушы теңдеудің жай комплекс түбірі болсын және оған сәйкес табылған меншікті вектор болсын.Онда (5) формула бойынша жүйенің мына комплекс шешімін аламыз
) ) )
аламыз. Жүйенің коэффиценттері, яғни А матрицасы нақты болғандықтан бұл комплекс шешімнің нақты ж/е жорамал бөліктері өз алдына нақты шешім болады. Сондықтан (1) жүйенің
(6)
Достарыңызбен бөлісу: |
