(1),(2)-n-ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу.
(a,b) алығында (m-1)ге дейін дифференциялданатын теңдеудің іргелі шешімдер жүйесі болсын. Осы функциялар мен олардың туындылыры арқылы құрылған m- ретті анықтауыш
Вронскийдің анықтауышы деп аталады.W(t) деп белгіленеді.
Коэффициенттері (a,b) аралығында үзіліссіз кез келген сызықты біртекті теңдеудің базисы бар болса онда (1),(2) –теңдеулердің жалпы шешімі мына түрде
тепе теңдігін қанағаттандырады. Енді нің орнына ті қойып теңдеуді оң жағындағы анықтауыштың ең соңғы тік жолы бойынша жіктесек, онда
шешімдері болатын n-ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу аламыз. Ең үлкен реті туындысының коэффициенті ге тең.алынған теңдеудің екі жағын да ге бөліп (2)түрге келтірейік:
Бұл теңдеуді
түрінде жазуға болады. Бұдан біз
екенін көреміз. Бөлшектің алымында тұрған анықтауыш вронскианның туындысы.
теңдігі алынады.
Егер анықталмаған интегралдың орнына төменгі шегі тиянақты жоғарғы шегі айнымалы анықталған интеграл алатын болсақ, бұл тепе-теңдік былайша жазылады:
, .
Алынған формула Остроградский-Лиувилль формуласы деп аталады.
47.Сызықты дифференциалдық жүйе үшін Вронскиан және Остроградский-Лиувилль формуласы.
= (1)
(1)-сызықтық біртекті дифференциалдық жүйе. n-ретті квадраттық комплекс(не нақты) матрица.Егер (1) жүйенің кез келген n шешімдер базисін деп алсақ, онда олардан құрылған мына анықтауыш
.
Вронскиан анықтауышы деп аталады.
Жүйенің n шешімдерінің вронскианы болғанда үзіліссіз дифференциалданатын функция болады. Вронскианның туындысы
болады.
болғандықтан, анықтауыштың белгілі қасиеттеріне сүйеніп,
.
сонымен
