39. Бірінші ретті туындысы бойынша шешілген сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема
Біртекті емес сызықты жоғары ретті дифференциалдық теңдеудің шешімін табудағы Лагранждық тұрақтыларды варияциялау әдісі
жүктеу/скачать 87,26 Kb.
|
Дифференциалдық теңдеулер
| 44. Біртекті емес сызықты жоғары ретті дифференциалдық теңдеудің шешімін табудағы Лагранждық тұрақтыларды варияциялау әдісі.
Сызықты біртекті емес теңдеу: (1) және ( ) Егер біртекті емес теңдеудің дара шешімін табу қиын болып, ал сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімін табуға мүмкіндік бар болса, онда біртекті емес теңдеуді интегралдау үшін Лагранждың тұрақтыларды вариациялау әдісі қолданылады. Бұл әдістің мәнісі мынада: біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін біртекті теңдеудің жалпы шешімі түрінде іздейді. Бірақ ондағы шамаларын айнымалысының үзіліссіз дифференциалданатын функциялары деп есептейді: (2) Белгісіз функцияларын (2) функция (1) теңдеудің шешімі болатындай етіп таңдайды. Сонымен белгісіз функциялар енгізіледі. Бұл функцияларды анықтау үшін теңдеу керек. Біреуі (2) функция (1) теңдеуді қанағаттандыру керектігінен шығады. Қалған )-теңдеуді өз қалауымызша таңдаймыз. Біз оларды (2) функцияның туындылары ондағы функциялары тұрақты болған кездегі түрде болатындай етіп аламыз. Бірінші рет функцияларын мына теңдіктің оң жағындағы екінші қосынды 0-ге тең болатындай етіп таңдаймыз: Сондықтан яғни (2) функцияның туындысының түрі функциялары тұрақты болған кездегідей. Екінші рет функцияларын мына теңдіктің оң жағындағы екінші қосынды 0-ге тең болатындай етіп аламыз: Дәл осылайша (2) функцияның )-ретке дейінгі туындыларын тауып, яғни әр қадам сайын функцияларының туындылары кіретін қосындыны 0-ге теңестіріп, мына теңдіктерді (3) және ) сызықтық теңдеулерден тұратын мына жүйені аламыз. Егер (3) теңдікті болғанда дифференциалдайтын болсақ, (4) теңдігі алынады. Сонда (2),(3),(4) функцияларды (1) теңдеуге қойсақ ,белгісіз функцияларын анықтауға қажетті теңдеуді аламыз. себебі . Сонымен белгісіз функцияларын анықтау үшін мына жүйені аламыз: ................................... (5) бұл жүйе- функциялары б-ша сызықтық біртекті емес алгебралық жүйе. Оның анықтауышы тең, ал ол аралығында 0-ге тең емес. Сондықтан аламыз. Мұндағы -вронскиан -ның -жатық жолы мен -тік жолының қиылысуында тұрған элементтің алгебралық толықтауышы. Демек Мұндағы еркін тұрақтылар. Табылған функцияларының мәндерін (2) формулаға қойып, (6) функциясын аламыз. Өзінің құрылуы бойынша бұл функция (1) теңдеудің шешімі. болғанда (1) теңдеудің дара шешімі алынады. Ал (9) формуладағы екінші қосынды-сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі.Олай болса (9) шешім-жалпы шешім. жүктеу/скачать 87,26 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|