Гронуолл леммасы. Егер үз-з функциялары және тұрақтысы үшін
(7)
теңсіздігі орындалатын болса, онда
, (8) теңсіздігі орындалды.
Дәлелдеуі:
Лемманың әуелі болатын кезде дәлелдейік.Берілген (7) теңсіздікті оң жағындағы қосындыға бөліп
теңсіздігін аламыз.Бұдан екі жағында функ-на көбейту арқылы
алынады.Бөлшектің бөлімінің туындысы алымына тең. Осыны ескеріп соңғы теңсіздікті дейін интегралдасақ
теңсіздігін аламыз.Потенциалдап,онан соң (7) теңсіздікті пайдалансақ
Лемма болған кезде дәлелденді. Лемманы болған кезде дәлелдеу үшін келтірілген дәлелдеудегі -ны орындарымен ауыстырса болғаны. Егер (7) және (8) формулаларда кезде шекке көшсек лемманың болғанда да дұрыс болатынын көреміз. Бұл жағдайда
Енді шешімнің жалғыздығын дәлелдейміз. Коши есебінің кес-де анықталған шешімінен басқа шешімі болсын.Оның
анықталу кесіндісін арқылы белгілейік.Онда олар үшін мына тепе-теңдіктер
орындалады.Бұл теңдіктерден кес-де
теңсіздігі алынады. Бұған Гронуолл леммасын қолданып
яғни
тепе-теңдігін аламыз.Теорема дәлелденді.
40. -ші ретті сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы.
коэффиценттері, бос мүше.
болған жағдайда теңдеудің екі жағын соған бөлсек
(1),(2)-n-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу.
(2) ге сәйкес мына теңдеу
(3)
n-ретті сызықтық біртекті дифференциялдық теңдеу.
Егер 𝜓(t) біртекті емес теңдеудің дербес шешімі,ал біртекті (3) теңдеудің жалпы шешімі болса онда сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
болады. Коэффициенттері (a,b) аралығында үзіліссіз кез келген сызықты біртекті теңдеудің базисы бар болса, онда – теңдеулердің жалпы шешімі мына түрде
болады. Мұндағы еркін тұрақтылар.
Достарыңызбен бөлісу: |
