45.Біртекті емес сызықты дифференциалдық жүйенің шешімін табудағы Лагранждық тұрақтыларды вариациялау әдісі.
Сызықтық біртекті емес дифферециялдық жүйе қарастырайық :
(1)
Мұнда n-ретті квадраттық комплекс(не нақты) матрица, .
Егер - (1)жүйенің шешімі,ал сәйкес біртекті жүйенің
= (2)
шешімі болса, онда
+ (3)
вектор-функциясы (1) жүйенің шешімі болады.
Егер сәйкес біртекті жүйенің іргелі шешімдер жүйесі белгілі болса, онда біртекті емес жүйенің жалпы шешімін Лагранждың тұрақтыны вариациялау әдісімен табуға болады.
(2) жүйенің іргелі шешімдер жүйесі болсын,онда (2) жүйенің жалпы шешімі
түрінде болады, еркін тұрақтылар. Енді (1) жүйенің жалпы шешімін де осы түрде іздейміз, бірақ лерді t айнымалысының үзіліссіз дифференциялданатын белгісіз функциялары деп есептейміз:
(4)
ол белгісіз функцияларды (5) вектор функция (1) жүйенің шешімі болатындай етіп таңдаймыз. Егер (5) функцияны (1) жүйеге қойсақ, белгісіз мен лар бойынша мына
Векторлық теңдеуі алынады.Ал екенін ескерсек бұл теңдеу мына түрде
болады. Ол n скалярлық теңдеулер жүйесіне
(5)
эквивалентті. Алынған (6) жүйе сызықтық біртекті емес алгебралық жүйе.
Оның негізгі анықтауышы вронскианға тең. Ал базис құратын шешімдердің вронскиканы (a,b) аралығында нөлден өзгеше. Олай болса (5) теңдеулер жүйесінен
(6)
анықталады. Мұндағы вронскианның j-тік жолын (5) жүйенің оң жағында тұратын функциялардан құралған тік жолмен ауыстырғаннан шыққан анықтауыш. Бұл (6) теңдеулердің шешімі
болады. -еркін тұрақтылар. Енді табылған функцияларды (4) формулаға қойып, (1) жүйенің
(7)
шешімін аламыз. Оның шешім болатыны табылу жолынан шығады.
болғанда бұл шешімнен (1) жүйенің
дара шешімі алынады. Ал, (7) формуладағы екінші қосылғыш сәйкес біртекті (2) жүйенің жалпы шешімі. Бұдан (7) функция -(1) жүйенің жалпы шешімі.
