39. Бірінші ретті туындысы бойынша шешілген сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема
Сызықты дифференциалдық жүйенің жалпы шешімінің құрылымы
жүктеу/скачать 87,26 Kb.
|
Дифференциалдық теңдеулер
- Бұл бет үшін навигация:
- 42.Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің шешімі.
| 41. Сызықты дифференциалдық жүйенің жалпы шешімінің құрылымы.
Сызықтық біртекті = (1) Жүйеде n-ретті квадраттық комплекс(не нақты) матрица . жүйенің шешімінің базисы болсын,онда жүйенің жалпы шешімі түрде анықталады. Мұндағы кез келген еркін түрақты векторлар. Сызықтық біртекті емес дифференциалдық жүйе қарастырайық : (2) Мұнда n-ретті квадраттық комплекс(не нақты) матрица, . Егер - (1)жүйенің шешімі,ал сәйкес біртекті жүйенің = Шешімі болса, онда + (3) вектор-функциясы (1) жүйенің жалпы шешімі болады. 42.Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің шешімі. Егер
сызықтық теңдеуінің коэффиценттері тұрақтыға тепе-тең болса,онда ол коэффиценттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Біз коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті + +…+ + теңдеуін қарастырамыз және коэффициенттері нақты сандар деп есептейміз. Теңдеудің реті болса, Әрбір -ретке дейін дифференциалданатын функциясына оның туындыларын сәйкес қоятын дифференциалдық оператор енгізу арқылы (1) теңдеуді былайша жазуға болады: + +…+ + . Ал (2) белгілеуін енгізу аркылы (1) теңдеуді ықшам түрге келтіруге болады. Әдетте (2) формула бойынша анықталған өрнегін стационар (коэффиценттері тұрақты) дифференциалдық оператор немесе операторлық көпмүшелік деп атайды. Төменде (1) теңдеудің базисін құру үшін - дәрежелі алгебралық теңдеудің түбірлерін табу жеткілікті екені көрсетіледі. Әрбір операторына немесе (1) теңдеуге белгісіз параметр λ бойынша жазылган ( ) көпмүшелігін сәйкес қоямыз. Бұл көпмүшелікті құру үшін операторындағы -ретті туындыны параметр -ның дәрежесімен ауыстыру жеткілікті. Әдетте бұл көпмүшелігі сипаттаушы көпмүшелік деп аталады. Егер болса (1) теңдеу бірінші ретті сызықтық теңдеуге айналатын еді де, оның жалпы шешімі функциясы болар еді. Шешімнің бұл түрі (1) теңдеудің шешімдерін болған жағдайда да көрсеткіштік функция көмегімен іздеуге нұсқайды. Эйлер көрсетуі бойынша (1) теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз: (3) Мұндағы -ретке дейін дифференциалданатын жаңа функция, - жоғарыда аталған белгісіз нақты не комплекс сан. (4) теңдеуінің түбірі болғанда ғана функциясы (1) теңдеудің шешімі болатыны алынады. (4) теңдеу сипаттаушы теңдеу, ал оның түбірлері сипаттағыш сандар деп аталады. Сипаттаушы теңдеу түбірлерінің әр түрлі не еселі болуына байланысты екі жағдай қарастырылады. 1-жағдай. Сипаттағыш сандар әр түрлі, яғни болсын. Онда Бұл жағдайда әрбір үшін: (*) Бұл теңдеудің кез келген үшін функциясы шешімі болатыны көрініп тұр. Табылған және мәндерін әрбір үшін (3) формулаға қойып, (1) теңдеудің шешімін аламыз: (5) Бұл шешімдер -де нақты не комплекс сандар өрісіне қатысты сызықтық тәуелсіз. Егер нақты сандар болса, онда (5) шешімдер нақты шешімдер болады. Олар -де сызықтық тәуелсіз болғандықтан, базис құрайды. Сондықтан (1) теңдеудің жалпы шешімі бұл жағдайда болады. -нақты еркін тұрақтылар. Енді түбірлер ішінде комплекс мәнділері бар болсын. осындай комплекс түбірлердің бірі болсын. Оның түйіндес мәні де (4) теңдеудің түбірі болады. Себебі (4) теңдеудің коэффициенттері нақты сандар. Шешімдерінің (5) формуласы бойынша түбіріне комплекс шешімі сәйкес келеді.Коэффициенттері нақты сандар болатын сызықтық біртекті теңдеудің комплекс шешімінің нақты ж/е жорамал бөліктері өз алдарына шешім болатыны белгілі. Сондықтан (6) функциялары- (1) теңдеудің нақты шешімдері. Сонымен барлық сипаттағыш сандар әр түрлі болған жағдайда оларға мына түрдегі сызықтық тәуелсіз нақты шешімдер сәйкес келеді. Олардың кез келген тұрақты нақты коэффициенттер арқылы құрылған сызықтық комбинациясы (1) теңдеудің нақты жалпы шешімін береді. 2-жағдай.Сипаттағыш сандардың арасында өзара теңдері бар. сипаттаушы теңдеудің еселі нақты не комплекс түбірі болсын. Онда Бірақ Сондықтан үшін жазылатын теңдеудің түрі мынадай болады: (**) Бұл теңдеудің шешімдері бар екені көрініп тұр. -де сызықтық тәуелсіз. Шешімдердің (3) формуласына λ мәнін ж/е табылған -тің мәндерін кезегімен қойып (1) теңдеудің дара шешімін аламыз: (7) Егер саны сипаттаушы теңдеудің еселі түбірі болса, шешімдердің (7) формуласы бойынша шешімдері сәйкес келеді. Олардың нақты ж/е жорамал бөліктерін ажыратып мынадай нақты шешімдер аламыз: ; (8) жүктеу/скачать 87,26 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|