7. Қарсы мысалдарды пайдалану әдістемесі
жүктеу/скачать 0,83 Mb.
|
Баян апай
| Дәлелдеуі: Түбірлер астындағы өрнектерді теріс емес деп қабылдап, және векторларын енгіземіз.
Сонда және болып, берілген теңсіздік келесі ақиқат векторлық теңсіздік түріне келді. Ендеше берілген теңсіздік ақиқат. 75. Тетраэдрдің қарама қарсы қырларының ұзындықтарының квадраттарының қосындысы өзара тең екендігі берілген. Қарама қарсы қырларының өзара перпендикуляр екендігін дәлелдеңіз(3-сурет). Шешуі. Айталық - берілген тетраэдр. . Белгілеу енгізелік: . Онда: . Бірінші теңдіктен шығатыны: немесе . Сондықтан және қырлары өзара перпендикуляр. Осы сияқты қалған қарама қарсы жақтар жұбының перпендикулярлығы дәлелденеді. 76. ABCD параллелепипедтің диагоналы A BD үшбұрыш жазықтығын оның медианаларының қиылысу нүктесінде қиятынын дәлелдеңіз(1-сурет). Шешуі. , , сәйкес төбелерінің радиус векторлары. Онда + . Айталық М - үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесі болсын. М нүктесінің радиус векторын табамыз. Егер ол векторына коллинеар болса, онда ұйғарым дәлелденеді. Айталық N-BD диагоналының ортасы болсын.Онда , + + , + + Сонымен , Ұйғарым дәлелденді. 88. ( мұндағы a,b және c нақты сандар)теңсіздігін дәлелдеңдер. Алдымен, берілген теңсіздікті дәстүрлі тәсілмен дәлелдеу мәселесіне тоқталайық. 1-жолы Кез келген a,b және c нақты сандары үшін. 2-жолы өрнегіндегі әріптердің біреуін ғана айнымалы деп қабылдап, ал қалғандарын тұрақтылар деп есептеп, мысалы, берілген өрнекті а айнымалысына тәуелді (онда b және c тұрақтылар болады) квадрат үшмүшелік деп қарастырамыз: Бұл квадрат үшмүшеліктің бірінші коэффициенті 2-ге тең болғандықтан оның графигі параболаның тармақтары төмен қарай бағытталған. Енді оның дискриминантын табамыз: Демек кез келген b, c нақты сандар үшін болады. Ендеше кез келген a,b және c нақты сандары үшін теңсіздігі орындалады. Сонымен, ең соңында теңсіздігінің орынды болатындығы тағайындалды. Осыдан келіп берілген теңсіздіктің де кез келген a,b және c оң нақты сандары үшін ақиқат екендігіне көз жеткізуге болады. Онан соң берілген теңсіздікті дәстүрлі емес тәсілмен, атап айтқанда векторлық тәсілмен дәлелдеуді іске асыруды қарастырайық. Бұдан әрі кез келген және векторларының скаляр көбейтіндісі үшін қандай векторлық теңсіздіктің орындалатындығын ескереміз: теңсіздіктің кез келген және векторлары үшін ақиқат екендігі белгілі. Бұдан әрі біз теңсіздікті және векторларының координаталары бойынша жазсақ, онда оның мына түрге келеді және біздің жағдайымызда , болғандықтан, болуы себепті , соңғы теңсіздіктен дәлелдеуге берілген теңсіздігінің ақиқат екендігіне көз жеткіземіз. Көріп отырғанымыздай, берілген теңсіздікті стандарт тәсілмен дәлелдеуге қарағанда оны векторлық тәсілді пайдаланып дәлелдеу әрі қысқа әрі жеңіл жүктеу/скачать 0,83 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|