9-дәріс Бір айнымалыға байланысты функцияның дифференциалдық есептеуі. Бір айнымалыға байланысты функцияның туындысының геометриялық және механикалық мағынасы. Туындының кестесі. Дифференциалдау ережелері. Бір айнымалы функцияның туындысы
Бір айнымалыға байланысты функцияның дифференциалдық есептеуі. Бір айнымалыға байланысты функцияның туындысының геометриялық және механикалық мағынасы. Туындының кестесі. Дифференциалдау ережелері.
Бір айнымалы функцияның туындысы. маңайында, нүктесін қоса алғанда, функциясы берілсін. нүктесінде аргументіне өсімшесін береміз (оң немесе теріс). Онда .
Анықтама. Егер шегі табылса, онда оны нүктесіндегі функциясының туындысы деп айтамыз, немесе функциясы нүктесінде дифференциалданады деп айтамыз және былай белгілейміз: яғни,
(1)
Егер (1)-де және болса, онда (1)-ді нүктесіндегі оң жақ туындысы [ сол жақ туындысы] деп атаймыз. Егер және болса, онда .
Анықтама.функциясын кесіндісінде дифференциалданады деп айтамыз, егер оның аралығындағы әрбір нүктеде туындысы бар болса, ал және ұштарында сәйкесінше және табылса.
облысында дифференциалданатын функциялардың класын деп белгілейміз.
Туындының механикалық және геометриялық мағынасы
а) Механикалық. - нүктесінің қозғалу заңы болсын. нүктесінің -дан -ға дейінгі аралығындағы қозғалысын қарастыралық. Онда ал - орташа жылдамдық . Егер
шегі табылса, онда жолдың уақыт бойынша туындысы нүктесінің уақыт аралығындағы қозғалысының жылдамдығына тең.
б) Геометриялық. қисығында және нүктелерін қарастыралық. және екендігі анық. нүктесін қисықтың бойымен нүктесіне қарай жылжытамыз. нүктесінің орналасу аралығын белгілей отырып, қимасын аламыз. Онда болған жағдайда болатыны анық.
Анықтама. нүктесі қисықтың бойымен нүктесіне кез келген жағынан шексіз жақындағанда қимасының шектелген орны табылса, онда қисығына нүктесінде жүргізілген жанама деп аталады.
Е гер қисықтың жанамасы бар болса, онда
.
Бұдан, нүктесінде дифференциалданатын функцияның осы нүктеде бұрыштық коэффиценті болатын жанамасы бар болады.
Мысал 1. функциясының нүктесіндегі жанамасының теңдеуін жаз.
а) . болғандықтан, жанаманың теңдеуі . -ті табалық:
б) . болғандықтан, және жанаманың теңдеуі .
в)
б)
в)
Оң жақ жанамасы болады, яғни , ал сол жағынан жанамасы , яғни . Бұдан, х= нүктесінде берілген функцияның туындысы табылмайды, бұл функция х= нүктесінде үзіліссіз болғанның өзінде.
болатын нүктелер бұрыштық деп аталады.
