Абай атындағы

 
 
85
∫
∫∫ ∑
∫
Ω
=
Ω
=
∂
∂
∂
∂
+
−
T
t
n
j
i
j
i
j
i
dxdt
x
t
x
t
z
x
a
dxdt
t
t
z
0
0
1
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ϑ
ϑ
&
∫∫
∫
Ω
Ω
+
T
dxdt
t
t
u
dx
z
0
)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
ϑ
ϑ
, (3) 
при любом 
)
],
,
0
([
)
(
1
1
H
T
C
∈
⋅
ϑ
 с условием 
0
)
,
(
=
T
x
ϑ
. 
Доказательство.  Так  как 
),
(
),
(
2
0
Ω
∈ L
z
t
u
  то  их  можно  представить  в  виде  ряда 
Фурье 
∑
∞
=
=
1
)
(
)
(
k
k
k
t
u
t
u
ϕ
,   
∑
∞
=
=
1
0
0
k
k
k
z
z
ϕ
,    (4) 
с условием 
∞
<
⋅
∑
∞
=1
2
)
(
k
k
u
,     
∞
<
∑
∞
=
2
0
1
k
k
k
z
λ
    (5) 
Искомую функцию (решению) задачи (1), (2) представим виде 
∑
∞
=
=
1
)
(
)
(
k
k
k
t
z
t
z
ϕ
  
 
 
 
 
 
(6) 
Поставляя  эти  разложения  в (1), (2) и  приравнивая  коэффициенты  при 
k
ϕ
  с 
одинаковыми номерами, получаем бесконечную систему линейных дифференциальных 
уравнений 
)
(
)
(
t
u
z
t
z
k
k
k
k
=
+
λ
&
,    
T
t
≤
<
0
,   
 
 
 
(7) 
0
)
0
(
k
k
z
z
=
,  
 
 
 
 
 
 
(8) 
где 
...
,
2
,
1
=
k
 .  
Из (7), (8) имеем 
∫
−
−
−
+
=
t
k
x
t
k
t
k
d
u
e
z
e
t
z
k
k
0
)
(
0
)
(
)
(
τ
τ
λ
λ
,   
...
,
2
,
1
=
k
 
. 
  (9) 
Теперь,  проверим,  что  построенная  функция (6), по  коэффициентам (9) 
действительно является решением задачи (1), (2). 
Из (9) имеем 
=
⋅
+
≤
∫
∫
−
−
−
t
k
t
t
k
t
k
d
u
d
e
z
e
t
z
k
k
0
2
0
)
(
2
0
)
(
)
(
τ
τ
τ
τ
λ
λ
∫
⋅
+
−
t
k
k
k
t
d
u
z
e
k
0
2
0
2
)
(
1
τ
τ
λ
λ
,   
T
t
≤
≤
0
, 
откуда  
)
)
(
1
2
)
(
0
2
0
2
∫
+
≤
t
k
k
k
k
d
u
z
t
z
τ
τ
λ
,    
T
t
≤
≤
0
,  
...
,
2
,
1
=
k
 
. 
  (10) 
Домножая соотношение (10) на 
k
λ  и суммируя по 
k
, получаем 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
≤
∑
∑∫
∑
∞
=
∞
=
∞
=
1
1
0
2
2
0
1
2
)
(
2
)
(
k
k
t
k
k
k
k
k
k
d
u
z
t
z
τ
τ
λ
λ
,  
T
t
≤
≤
0
 
отсюда имеем 
(
)
2
)
],
1
,
0
([
2
0
2
0
2
1
1
)
(
2
)
(
H
L
H
H
u
z
t
z
⋅
+
≤
 
Последнее неравенство означает, что 
1
)
(
H
t
z
∈
 для каждого 
]
,
0
[ T
t
∈
. 
Теперь  проверим  ее  непрерывность  по 
t
  в  норме  пространства 
1
H
.  Для  этого 
рассмотрим выражение
 

 
 
86
=
−
+
=
−
+
∑
∞
=
2
1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
1
t
z
h
t
z
t
z
h
t
z
k
k
k
H
k
λ
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
t
z
h
t
z
t
z
h
t
z
k
k
N
k
k
k
k
N
k
k
−
+
+
−
+
=
∑
∑
∞
+
=
=
λ
λ
, 
где числа 
0
>
h
 и 
N
 выбираются далее по заданному 
0
>
ε
. 
В силу (9) имеем 
+
−
+
−
=
−
+
−
−
−
−
−
∫
τ
τ
λ
τ
λ
λ
λ
d
e
e
u
e
e
z
t
z
h
t
z
h
t
t
k
h
h
k
k
k
k
k
k
k
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
0
0
τ
τ
τ
λ
d
e
u
h
t
h
t
t
k
k
)
(
)
(
−
+
−
+
∫
 
так как 
1
≤
− t
k
e
λ
, то 
 
2
1
)
(
)
(
H
t
z
h
t
z
−
+
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
≤
∫
∑
−
−
−
=
2
0
)
(
2
0
2
1
)
(
1
3
t
t
k
k
h
N
k
k
d
e
u
z
e
k
k
τ
τ
λ
τ
λ
λ
 
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
∫
∑
−
−
∞
+
=
2
0
)
(
2
0
1
)
(
3
t
t
k
k
k
N
k
d
e
u
z
k
τ
τ
λ
τ
λ
2
)
(
1
)
(
3
τ
τ
λ
τ
λ
d
e
u
h
t
t
h
t
k
k
k
k
∫
∑
+
−
+
−
∞
=
  
(11) 
Пусть 
ε -произвольное положительное число. Так как 
∞
<
∑
∞
=
2
0
1
k
k
k
z
λ
  
и  
≤
∫
∑
−
−
∞
=
t
t
k
k
k
d
e
u
k
0
)
(
1
)
(
τ
τ
λ
τ
λ
=
⋅
∫
∫
∑
−
−
∞
=
τ
τ
τ
λ
τ
λ
d
e
d
u
t
t
t
k
k
k
k
0
)
(
2
2
0
1
)
(
 
2
)
],
,
0
([
2
0
1
2
0
2
)
(
)
(
)
1
(
2
1
H
t
L
t
k
k
t
u
d
u
e
k
⋅
≤
−
=
∫
∑
∞
=
−
τ
τ
λ
, 
поэтому  выбором  число 
N
  можно  сделать  среднего  слагаемого (11) меньше  чем 
3
2
ε
. 
Значит  первого  слагаемога  также  можно  сделать  меньше  чем 
3
2
ε
  выбором 
положительного числа 
h
.  
Для третьего слагаемого получим следующую оценку 
≤
∫
∑
+
−
+
−
∞
=
2
)
(
1
)
(
h
t
t
h
t
k
k
k
d
e
u
k
τ
τ
λ
τ
λ
=
⋅
∫
∫
∑
+
−
+
−
+
∞
=
τ
τ
τ
λ
τ
λ
d
e
d
u
h
t
t
h
t
h
t
t
k
k
k
k
)
(
2
2
1
)
(
 
=
≤
−
=
∑∫
∫
∑
∞
=
+
+
−
∞
=
τ
τ
τ
τ
λ
λ
λ
d
u
d
u
e
k
h
t
t
k
h
t
t
k
k
h
k
k
k
)
(
2
1
)
(
2
1
1
2
2
2
1
2
)
],
,
([
0
2
)
(
2
1
H
h
t
t
L
u
+
⋅
. 
Отсюда  следует,  что  выбором  числа 
h
,  третьего  слагаемого  суммы (11), также 
можно  сделать  меньше  чем 
3
2
ε
.  Из  этих  оценок  получим 
ε
<
−
+
1
)
(
)
(
H
t
z
h
t
z
,  которое 
означает непрерывность функции 
)
(t
z
, 
T
t
≤
≤
0
. 
Непосредственной  подстановкой  можно  убедиться  в  том,  что  функция, 
определяемая  рядом (6) удовлетворяет  интегральному  равенству (3) для  любых 
функций 
)
(
⋅
v
 из пространства 
(
)
1
1
],
,
0
[
H
T
C
 с условием 
0
)
,
(
=
T
x
v
. 

 
 
87
Задачу (1), (2) рассмотрим с точки зрения управления, т.е. функции 
)
(
⋅
u
 примем в 
качестве  управляющих  функции.  Они  удовлетворяют  условиям: 
(
)
1
2
],
,
0
[
)
(
H
T
L
u
∈
⋅
,  
ρ
≤
⋅)
(
u
, где 
ρ
- некоторое положительное число. исходя из этого введем следующее 
обозначение 
(
)
{
}
ρ
≤
⋅
∈
⋅
=
)
(
;
],
,
0
[
)
(
1
2
u
H
T
L
u
V
,  
элементы которого называются допустимыми управлениями. 
Определение  1.  Множество 
1
R
W
⊂
    называется  сильно  инвариантным  на  отрезке 
]
,
0
[ T
  времени  относительно  системы (1), если  для  любых 
W
z
∈
||
||
0
  и 
V
u
∈
⋅)
(
 
выполняется включение 
W
z
∈
⋅ ||
)
(
||
. 
Определение 2. Множество 
1
R
W
⊂
 называется слабо инвариантным на отрезке 
]
,
0
[ T
 
времени  относительно  системы (1), если  для  любого 
W
z
∈
||
||
0
  существует 
V
u
∈
⋅)
(
, 
такое что выполняется включение 
W
z
∈
⋅ ||
)
(
||
.  
Здесь  и  далее  нормы  элементов  соответствует  нормам  соответствующих 
пространств.  Рассматривается  сильно  и  слабо  инвариантность  множества  вида 
]
,
0
[ b
W
=
,  где 
b
-  некоторое  положительно  число.  Наша  дальнейшая  цель  является 
нахождение соотношения между параметрами 
ρ
,
,b
T
 таким образом, чтобы обеспечить 
данного  множества 
W
  сильно  или  слабо  инвариантность  на  отрезке 
]
,
0
[ T
  времени 
относительно системы (1).  
Пусть 
1
0
H
z
∈
 любой элемент, удовлетворяющий условию 
W
z
∈
0
, т.е.. 
)
(
⋅
u
 любое 
допустимое  управление  из  множества 
V
.  Тогда  соответствующее  решение  уравнения 
(1) имеет вид 
T
t
d
u
e
e
z
t
z
k
k
t
k
t
t
k
k
k
≤
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
∑
∫
∞
=
−
−
−
0
,
)
(
)
(
1
0
)
(
0
ϕ
τ
τ
τ
λ
λ
 
отсюда имеем 
τ
τ
τ
λ
τ
λ
λ
d
d
u
e
e
z
z
T
t
k
t
t
k
k
k
k
k
2
0
0
)
(
0
1
2
)
(
)
(
∫
∫
∑
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⋅
−
−
−
∞
=
, 
где 
||
||
⋅
 - норма пространства 
1
H
.  
Сначала рассмотрим подинтегральную выражению с суммой, т.е. 
2
0
)
(
0
1
)
(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∫
∑
−
−
−
∞
=
t
k
t
t
k
k
k
d
u
e
e
z
k
k
τ
τ
λ
τ
λ
λ
. 
Имеем 
∑
∫
∞
=
−
−
−
≤
+
1
2
0
)
(
0
)
)
(
(
k
t
k
t
t
k
k
d
u
e
e
z
k
k
τ
τ
λ
τ
λ
λ
 
(
+
+
≤
∫
∑
−
−
−
−
∞
=
τ
τ
λ
λ
τ
λ
λ
λ
d
u
e
e
z
e
z
k
t
t
t
k
k
t
k
k
k
k
k
k
)
(
2
0
)
(
0
2
2
0
1
≤
⋅
∫
∫
−
−
τ
τ
τ
λ
τ
λ
d
u
d
e
t
k
t
t
k
k
)
(
0
2
0
)
(
2
 
∑
∞
=
−
≤
1
2
2
0
1
(
k
t
k
k
e
z
λ
λ
≤
−
+
⋅
+
∫
∫
∫
−
−
−
−
)
)
(
2
1
)
(
2
0
2
2
0
2
0
)
(
2
0
t
k
t
t
k
t
t
t
k
k
d
u
e
d
u
d
e
e
z
k
k
k
τ
τ
τ
τ
τ
λ
λ
τ
λ
λ
 

 
 
88
∫
∑
∫
+
−
+
≤
∞
=
−
−
−
t
k
k
k
k
t
t
T
t
d
u
z
e
e
z
e
k
0
2
0
1
2
2
0
0
2
)
(
2
1
2
(
1
1
τ
τ
λ
λ
λ
λ
≤
−
∑
∫
∞
=
−
τ
τ
τ
λ
d
d
u
e
k
t
k
t
k
)
)
(
)
1
(
1
0
2
 
≤
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
≤
∫
∑∫
−
∞
=
−
−
−
dt
p
e
d
u
e
e
z
e
T
t
k
t
k
t
t
t
0
2
1
0
2
2
2
0
2
)
1
(
)
(
2
1
2
1
1
1
1
λ
λ
λ
λ
τ
τ
 
(
)
=
−
+
−
+
≤
∫
−
−
−
−
dt
e
e
b
e
b
e
T
t
t
t
t
k
k
0
2
2
2
)
1
(
1
2
1
1
ρ
ρ
λ
λ
λ
λ
(
)
dt
e
b
e
T
t
t
2
0
2
1
1
1
∫
−
+
−
ρ
λ
λ
. (12) 
Для исследования подинтегральной выражения введем следующее обозначение 
0
,
1
)
(
1
1
2
≥
−
+
=
−
−
t
e
b
e
t
t
t
ρ
ϕ
λ
λ
. 
Заметим, что 
b
=
)
0
(
ϕ
. С помощью дифференциального исчисления легко показать, 
что  
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
+
≥
=
≥
b
если
b
b
b
если
t
t
2
,
4
,
2
,
)
(
sup
2
0
ρ
ρ
ρ
ρ
ϕ
   (13) 
Отсюда и из (12) имеем следующую теорему. 
Теорема  2.  Если 
1
2
1
λ
≤
,  то  множество 
W
  слабо  инвариантно  на  любом  отрезке 
]
,
0
[ T
 относительно системы (1). 
Доказательство.  Пусть 
−
0
z
произвольный  элемент  пространства 
1
H
  с  условием 
b
z
≤
0
,  положим 
0
,
0
)
(
≥
=
t
t
u
.  Тогда  соответствующее  решение  уравнения (1) с 
учетом (6) имеет вид 
k
k
k
t
z
e
t
z
k
ϕ
λ
0
1
)
(
∑
∞
=
−
=
. 
Значит 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
≤=
⋅
−
∞
=
−
∞
=
∑
∫
∑
k
T
k
k
k
k
T
t
k
k
k
k
e
z
dt
z
e
z
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
)
(
)
(
2
2
1
0
2
0
0
1
2
.  
(14) 
Допустим, что выполнено условие теоремы. Тогда из (14) имеем 
2
1
2
1
2
0
1
2
2
2
1
)
(
b
b
z
z
k
k
k
≤
≤
⋅
≤
⋅
∑
∞
=
λ
λ
λ
, 
Отсюда 
W
z
∈
⋅)
(
т.е. 
W
слабо инвариантно. Теорема доказана. 
Выводы.  В  статье  рассматривается  инвариантные  множества  в  управляемых 
системах  с  интегральными.  После  установление  существования  оптимального 
управления,  определяется  непустое  множества,  слабо  инвариантное  относительно 
рассматриваемой  управляемой  системы.  Из  доказанной  теоремы,  вытекает 
необходимое 
и 
достаточное 
условия 
слабой 
инвариантности 
линейного 
подпространства. 
 
 
1.  Гусейнов  Х.Г.,  Ушаков  В.Н.  Сильно  и  слабо  инвариантные  множества 
относительно  дифференциального  включения. //Докл.АНСССС.1988.  Т.303.№4. 
С.794-796. 
2.  Aubin J.-P. A survey of viability theory. //STAMJ. Confr and Optim. 1990. vol. 28.№4. 
P.749-788. 

 
 
89
3.  Feuer A., Heymann J. – invariance in control systems with bounded controls// J.Math. 
Anl. and Appl. 1976. vol. 53. №2. P. 266-276. 
4.  Ибрагимов  У.М.  К  инвариантным  множествам  линейных  управляемых  систем // 
Поиск. Науч. журн. МОН РК, 2008. №1. Серия естест. и техн. наук. с. 211-213. 
5.  Ибрагимов  У.М.  Выяснение  слабой  инвариантности  области  выживания 
управляемой  системы // Труды VII Всероссийской  науч.конф.  с  межд.  участием  
«Матем. моделир. и краевые задачи». Ч.2. –Самара, СГТУ, 2010. с.105-109. 
6.  Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional differential 
inclusions with memory. // Israel J. Math 1981. vol. 39. №1-2, P.38-100. 
 
 
 
УДК 378.016.026:517.972.4 

жүктеу/скачать 5,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: