Абай атындағы
жүктеу/скачать 5,32 Mb. Pdf көрінісі
|
А.Ж. Сейтмуратов ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ НА ПОВЕРХНОСТЬ УПРУГОЙ СЛОИСТОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ (г.Кызылорда, Кызылординский государственный университет им.Коркыт Ата) Бұл мақалада қозғалмалы күштің қатпарлы серпімді, жартылай кеңістік бетіне əсер ететін жазықтық есептерінің тобы қарастырылады. Бұл мағанадағы есептер қолданбалы жағдайларда үлкен қызығушылық көрсетуде. Əдіс динамикалық есептерді шешудегі сандық алгоритмдердің тимімдісі болаып табылады. Деформацияланатын əртүрлі периодты жəне периодты емес ортада жай гормоникалық жазық толқындардың үлкен мəні бар, сондықтан Реле толқындардың таратылу есебін қоса қарастырамыз. This article is considered about influence of rolling loads on surface flaky springy half- space. The Problems given class present the big applied interest and can serve the standard for development that or other numerical algorithm for decision of the dynamic problems. At study of the wave processes flat and circular element in deformed body is entered notion to phase velocity, as velocities of the change the phase ambience. Decisions concerned problems are received with use the integral transformations on coordinate or on time. Исследуем класс плоских задач о воздействии подвижных нагрузок на поверхность слоистой упругой полуплоскости. Задачи данного класса представляют большой прикладной интерес и, кроме того, могут служить эталоном для разработки тех или иных численных алгоритмов для решения динамических задач. Среди различных периодических и непериодических движений деформируемых сред важное значение имеют плоские волны простого гармонического типа, распространяющиеся по поверхности тела или полуплоскости, влияние которых ограничивается окрестностью этой поверхности. Поэтому рассмотрим задачу о распространении волны Релея. Пусть имеется упругая полуплоскость 0 ≤ z . Уравнение движения материала полуплоскости в потенциалах ϕ , ψ описывается волновыми уравнениями ; 1 2 2 2 2 2 2 2 t a z x ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕ ϕ ϕ , 1 2 2 2 2 2 2 2 t b z x ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ψ ψ ψ (1) где а и b скорости распространения продольной и поперечной волны, соответственно. Будем считать, что граница полуплоскости 0 = z свободна от напряжений, т.е. 0 = = xz zz σ σ ( ) 0 = z (2) Предположим, что в среде распространяется плоская гармоническая волна, т.е. потенциалы ϕ и ψ предоставим в виде ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] , exp , , ; exp , , 0 0 qx pt i z t z x qx pt i z t z x − Ψ = − Φ = ψ ϕ (3) а 0 Φ и 0 Ψ удовлетворяет уравнениям 167 . 0 ; 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 = Ψ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − Ψ ′′ = Φ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − Φ ′′ b p q a p q (4) Рассматривая колебания, затухающие с глубиной −∞ → z , должно выполняться условие ; 0 2 2 2 > − a p q ; 0 2 2 2 > − b p q (5) Но так как скорости a и b удовлетворяют неравенству b a > , то достаточно выполнения вместо условий (5) одного условия b q p < (6) Следовательно, решения уравнений (4), затухающие на бесконечности −∞ → z , имеют вид ( ) ( ) , exp ; exp 2 2 2 0 2 2 2 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − = Ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − = Φ z b p q B z z a p q A z (7) а для потенциалов ϕ и ψ получаем выражения ( ) ( ) , exp ; exp 2 2 2 2 2 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = z b p q qx pt i B z a p q qx pt i A ψ ϕ (8) где А и В произвольные постоянные интегрирования. Подставляя решения (7) в граничные условия (2), получим . 0 2 1 2 ; 0 1 2 2 2 2 2 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − qb p B qa p iA qb p iB qb p A (9) Для того, чтобы решение задачи было не нулевое, необходимо, чтобы определитель системы (9) был отличен от нуля, т.е. чтобы выполнялось соотношение . 0 1 1 4 2 2 2 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − qa p qb p qb p (10) Отношение ( ) q p / называется скоростью распространения поверхностной волны Релея. Обозначив 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = qb p ξ и введя коэффициент Пуассона ν , из соотношения (10) получим уравнение для безразмерной скорости поверхностной волны Релея ξ : 168 . 0 1 1 8 1 2 8 8 2 3 = − − − − + − ν ν ν ξ ξ ξ (11) Уравнение (11) имеет единственный действительный положительный корень [ 3]. Если через 1 z и 2 z обозначить глубину проникновения, на которой амплитуда напряжений падает в e раз за счет продольной и поперечной волны, соответственно, то для них получим выражения ; 1 2 2 2 1 ξ π b a l z − − − = , 1 2 2 ξ π − − = l z при этом q l 1 = - длина волны. Например, при 5 , 0 = ν имеем ; 2 1 π l z − = . 2 10 2 π l z − ≅ Пусть по поверхности 0 = z распространяется с постоянной скоростью D нормальная и касательная нагрузка интенсивности ( ) Dt x F + − 1 и ( ) Dt x F + − 2 , т.е. при 0 = z имеем граничные условия ( ) ; 1 Dt x F zz + − = σ ( ) . 2 Dt x F xz + − = σ (12) Начальные условия на такой задаче отсутствуют. Введем подвижные координаты ; Dt x x + = ′ , y y = ′ причем штрихи в дальнейшем для простоты будем опускать. Тогда для потенциалов ϕ и ψ получаем уравнения ; 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ z x ϕ ϕ α ; 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ z x ψ ψ β ( ) ; 1 / 2 2 − = a D α ( ) . 1 / 2 2 − = b D β (13) Общие решения уравнений (13) находятся методом Даламбера и имеют вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . , ; , 2 1 2 1 z x z x z x z x z x z x β ψ β ψ ψ α ϕ α ϕ ϕ − + + = − + + = (14) В силу отсутствия отраженных волн от нижней бесконечно удаленной границы функции 2 ϕ и 2 ψ должны обращаться в нуль, а для 1 ϕ и 1 ψ из граничных условий (12) получаем функциональные соотношения ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 ; 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 x H D x F x x x H D x F x x + − = ′′ − + ′′ + − = ′′ − ′′ − β ρ ψ β ϕ α β ρ ψ β ϕ β (15) Из соотношений (15) получим ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ; 1 2 1 ; 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 − − Δ − − + = ′′ Δ + − + = ′′ x H x F x F D x x H x F x F D x β α ρ β ψ β β ρ β ϕ ( ) . 1 4 2 2 − + = Δ β αβ (16) С использованием зависимостей (16) для величин напряжений получаем выражения 169 ( )( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ; 1 2 1 2 1 2 ; 1 2 2 2 1 1 ; 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 z x H z x F z x F z x H z x F z x F z x H z x F z x F z x H z x F z x F z x H z x F z x F z x H z x F z x F xz zz xx β β β β α β α α β α β α σ β β β β α β α α β α β β σ β β β β α β α α β α β α β σ + + − − + − + + + + + + − − = ⋅ Δ + + − − + − − + + + + − − − = ⋅ Δ + + − − + + + × × + + + − + − − = ⋅ Δ (17) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = , 0 , 1 ς H , 0 0 ⎭ ⎬ ⎫ < ≥ ς ς а для перемещений u и w , соответственно ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ; 1 2 1 2 1 1 4 2 3 2 2 4 3 2 2 2 z x H z x F z x F D z x H z x F z x F D u β β β β α ρ β β α α β α β ρ β + + − − + Δ + + + + + + + − Δ + − = ( ) ( ) [ ( ) ] × + + + − Δ + − = z x F z x F D w α β α β ρ β α 4 3 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) , 1 2 1 4 2 3 2 2 z x H z x F z x F D z x H β β β β α ρ β α + + − − − + Δ + − + × (18) где ( ) ( ) ∫ = x d F x F 0 1 3 ; ξ ξ ( ) ( ) ∫ = x d F x F 0 2 4 . ξ ξ Пусть 0 2 = F и рассмотрим напряжение xx σ на границе 0 = z . Получим ( ) ( ) ; , 1 0 x F D v F xx = σ , / 0 a D D = где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] . 2 1 1 1 ; 2 1 1 ; 2 1 1 1 2 1 ; , , , , , , 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 / 3 1 0 2 0 1 0 0 2 0 1 0 v D v D B v v D A v v D v A D v A D v A D v B D v A D v A D v F − − − − = − − − = − − − − − = − − = Пусть на полупространстве h z − ≤ лежит упругий слой h z − > ≥ 0 ∞ < x , по поверхности которого распространяется нормальная нагрузка, т.е. при 0 = z имеем граничные условия ( ) ( ) ; 0 Dt x F zz + − = σ ( ) . 0 0 = xz σ (19) Величины и параметры слоя будем обозначать индексом ''0'', а полпространства – индексом ''1''. На границе контакта h z − = можно задать условия: жесткий контакт ( ) ( ) ; 1 0 zz zz σ σ = ( ) ( ) ; 1 0 xz xz σ σ = ; 1 0 u u = ; 1 0 w w = (20) идеальный контакт 170 ( ) ( ) ; 1 0 zz zz σ σ = ( ) ( ) ; 0 1 0 = = xz xz σ σ ; 1 0 w w = (21) Можно задавать и другие условия при h z − = . В подвижных координатах решения уравнений для потенциалов в слое и полуплоскости имеет вид ; 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ z x j j j ϕ ϕ α ; 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ z x j j j ψ ψ β ; ⎜ ⎝ ⎛ + = ′ h Dt x x ; h y y = ′ ; 2 0 0 h ϕ ϕ = . 2 0 0 ⎟ ⎠ ⎞ = h ψ ψ (22) Подставляя (22) в граничные условия (20), получим систему функциональных уравнений, которую, используя в выражениях для перемещений j j w u , и напряжений ij σ получим решение задачи. 1. Дубошин Г.Н. «Основы теории устойчивости движения» М., МГУ 2. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. – М.: Наука, 1971, 807с. 3. Филиппов И.Г. Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев: Штиинца, 1988,-190с. ƏОЖ 378.016.02 жүктеу/скачать 5,32 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|