Теорема   2. (Необходимые условие для равномерной сходимости)

 
6 
Uravnen, 20, No. 1, (1984), pp.46  56. 
14.  Nikolskii,  S.M.  Priblizhenie  funktsii-mnogikh  peremennykh  i  teoremy  viozheniya 
(Approximation of functions of several variables and embedding theorems), Nauka, Moscow 1969. 
 
 
 
ӘОК  373.146.013 
Б.Е. Акитай, С.М. Нуржанова, С. Қҧрманғали 
 
ДЕҢГЕЙЛЕП ОҚЫТУДА ИНТЕРАКТИВТІ ТАҚТАНЫ ҚОЛДАНУ 
 
(Алматы қ., Абай атындағы  ҚазҰПУ) 
 
Бұл  мақалада  деңгейлеп  оқыту  технологиясы  қарастырылған.  Физика  пәнін 
деңгейлеп  оқыту  технологиясы  бойынша  әдістемелік  нұсқаулар  келтірілген.  9- 
сыныптың «Денелердің еркін түсу үдеуі» тақырыбына әртүрлі деңгейдегі тапсырмалар 
дайындалған.  Оқытудың  жаңа  технологиясының  талаптарына  сай  интерактивті 
тақтаны  тиімді  пайдаланудың    жолдары  қарастырылған.  Сонымен  қатар  деңгейлеік 
тапсырмаларға қойылатын талаптар кеңінен қарастырылған. 
В  этой  статье  рассмотрена  разноуровневая  технология  обучения.  Приведены 
методические  руководства  разноуровневого  обучения  по  физике.  Составлены 
разноуровневые  задания  для  девятого  класса  по  теме  «Свободное  падение  тел». 
Согласно  требованиям  новых  технологий  обучения  рассматриваются  пути 
эффективного  использования  интерактивной  доски.  Также  широко  рассмотрены 
требования к задачам разных уровней. 
This  article  describes  differentiated  level  of  education  technology.    It  depicts 
methodological guidance of differentiated level of education on physics and composed tasks 
of  differentiated  level  on  subject  ―Free  collapse  of  body‖.  In  correspondence  with  new 
technology  education  this  article  describes  the  ways  of  effective  usage  of  interactive 
blackboard. Also it describes requirements to the tasks of different level. 
 
 
Оқушыға  терең,  сапалы  білім  беру  әрбір  мұғалімнің  мақсаты.  Оқу  үдерісінде 
оқушылардың  іс-әрекеттерін  активтендіру,  сабаққа  қызығушылығын  ояту  үшін 
дидактикалық 
материалдарды 
құрастыру, 
алдыңғы 
қатарлы 
инновациялық  
технологияларды  оқу  үдерісіне  енгізу  үлкен  маңызға  ие.  Еліміздегі  барлық  мектептер 
компьютер және интерактивті тақтамен жабдықталуда. Физика пәнін оқыту үдерісінде 
интерактивті  тақтаны  пайдалану  мұғалім  мен  оқушы  қарым-қатынасы  жүйесін, 
олардың  білімге  деген  қызығушылығының,  ізденушілікке  деген  ынтасының  ӛсуіне 
ықпал етеді.  
Интерактивті  технология  –  сабақ  барысында  оқушылардың  ұжымдасып  жұмыс 
жасауына  ықпал  ететін  технология.  Бұл  құрылғы  компьютер,  мультимедиялық 
проектор және ақпараттарды енгізуге арналған активті қаламнан тұрады. Интерактивті 
тақта  арқылы  сабақта  қажетті  кез  келген  суреттер,  сызбалар,  кесте,  диаграммаларды 
қолдануға болады. Сабақты қызықты әрі кӛрнекі қылуға мүмкіндік тудырады. Мұғалім 
сабақтың кӛрнекілігін арттырады. Мұғалім сабақты толымды әрі қызықты етумен қатар 
оқушыларды  тақтамен  белсенді  жұмыс  істеуге  жұмылдырып,  интерактивті 
материалдарын  кӛрсете  алады.  Интернет  желісіне  қосылып  ақпарат  алуға,  оқу 
материалдарында  берілетін  тәжірибелерді  қозғалмалы  күйге  келтіруге,  обьектілер 
арасында  байланыс  орнатуға  болады.  Қазіргі  кезде  осы  мақсатта  кӛптеген  жаңа 
педагогикалық, инновациялық технологиялар зерттеліп, қолданылып та жүр. Солардың 
бірі – деңгейлеп оқыту технологиясы.  

 
7 
Деңгейлеп оқыту технологиясы 1998 ж. бастап мектептерде барлық пәндерге еніп, 
оқу үдерісін жандандыруға үлес қосып келеді.  
Ж.  Қараевтың  бұл  технологиясы  әрбір  оқушыға  білім  алуында  ӛзінің 
мүмкіндіктерін  толығымен  қолдануға  мүмкіндік  береді[1].  Яғни  әр  оқушы  оқу 
материалын ӛзінің қабілеті мен тұлғалық ерекшеліктеріне байланысты әртүрлі деңгейде 
меңгере  алады.    Деңгейлеп  оқыту  –  әрбір  оқушыға  ӛзінің  потенциалдық  қабілеттерін 
дамытуға мүмкіндік беру үшін қажет. 
Деңгейлік тапсырмалар жүйесі оқушының ойлауын, шығармашылық қабілеттерін 
дамытады,  елестету  мен  есте  сақтау  қабілеттерін  белсенділендіреді,  пәнге  деген 
қызығушылығын арттырады.   
Физика  пәнінен  есеп  шығару  –  оқу  үрдісінен  бӛліп  алуға  болмайтын  бір  бӛлігі 
болып  табылады.  Себебі,  ол  физикалық  ұғымдарды  қалыптастыруға,  оқушылардың 
физикалық  құбылыстарды  оқып  үйренуіне,  білімдерін  нақтылауға,  оны  практикада 
қолдана білуге үйретеді, логикалық ойлау қабілетінің дамуына, ӛзіндік жұмыс істеуіне 
ықпал етеді. Ал, ол есептерді деңгейлік технология бойынша шығару, жеңіл есептерден 
күрделі  есептерге  қарай  біртіндеп  кӛшіп,  оқу  материалын  жүйелі  меңгеруге 
негізделген  [2].  Осылайша  оқу  үдерісі  жарыс  түрінде  ұйымдастырылады.  Осыған 
байланысты  физиканы  оқытуда  кӛбіне  деңгейлік  технологияны  қолдану  тиімді  деп 
есептейміз.  Ӛйткені  мұнда  оқушылардың  шығармашылық  білім  дағдылары 
қалыптасады.  Ал  оқушыларға  деңгейлік  тапсырмаларды  интерактивті  тақта  арқылы 
беру  ыңғайлы,  әрі  уақыттан  ұтыс  береді.  Себебі,  мұғалім  тапсырмаларды  жазуға 
уақытын  шығындамайды,  сонымен  қатар  тапсырмалар  әр  уақытта  оқушылардың  кӛз 
алдында болады  [3]. 
Сабақ барысында интерактивті тақтаны қолданудың артықшылықтары: 
-
 
видеокӛрсетілімдер, роликтер, электрондық оқулықтарды қолдану мүмкіндігі; 
-
 
кескін, графиктерді  түрлі түсті, айқын, ұқыпты түрде ұсынуға мүмкіндік береді; 
-
 
сабақта кӛрнекіліктерді қолдану деңгейі ӛседі; 
-
 
сабақтың ӛнімділігі артады; 
-
 
оқушылардың білім деңгейіне оң әсер етеді; 
-
 
оқуға жаңа құлшыныстың алғышарты; 
-
 
сыныппен тығыз жұмыс жасалады. 
Сонымен  қатар,  интернеттен  алынған  ақпаратты  тікелей  оқушылармен  бірге 
іздеуге, конференция ӛткізу үшін басқа мектептермен байланыс орнатуға, қолданылған 
материалдарды  кейін  тағы  пайдалану  үшін  файл  түрінде  сақтауға,  немесе  оны  
оқушыларға  электронды  материал  ретінде    ұсынуға  мүмкіндік  береді,  әрі  мұғалім 
уақытын үнемдейді. 
Тақырып бойынша деңгейлік тапсырмаларды тӛрт деңгейде құрастыруға болады 
және әр деңгейге 1-сұлбада кӛрсетілгендей талаптар қойылады (1-сұлба). 
Деңгейлеп  оқыту  технологиясының  басты  мақсаты  –  сынып  оқушыларын 
«қабілетті-қабілетсіз» деген жіктеуге бӛлуді болдырмау. Әрбір оқушы бірінші деңгейді 
орындауға міндетті  және одан жоғары деңгейдегі  тапсырмаларды ӛз қалауы бойынша 
орындай алады.  
Деңгейлеп  оқыту  технологиясы  тиімді  және  нәтижелі  болуы  үшін  оқушының 
тұлғалық  ерекшеліктерін,  қабілетінің  дамуын,  психологиялық  ерекшеліктерін,  оқуға 
деген шығарамашылық қабілетін, білім, білік деңгейін ескеру қажет. 
Деңгейлеп оқытудың негізгі ережелері:  
-
 
деңгейлерді меңгеру мен тапсырудағы бірізділік; 
-
 
барлық  оқушыларды  бір  деңгейге  жеткізу,  әр  оқушыға  оның  қабілеті  мен 
қажеттіліктеріне қарай жағдай жасау; 
-
 
бір сабақты тек бір ғана тақырыпқа байланысты тапсыру; 

 
8 
-
 
практикалық  сабаққа  дайындалғанда  кез  келген  деңгейді  таңдап  алу  және  ӛз 
күнделікті бағасын кӛтеру мүмкін болу керек; 
-
 
«3»  деген  баға  алу  үшін  берілген  материалдың  кем  дегенде  50%-ын,  «4»  алу 
үшін 70-80 %-ын, «5» алу үшін 90-100 %-ын білу керек. 
 
1-сұлба 
 
 
 
 
Деңгейлік тапсырмалардың тиімділігі: 
-  оқушылар  деңгейлік  тапсырмаларды  ӛздері  таңдайды.  Егер  жоғары  деңгейдегі 
тапсырманы орындай алмаса, онда ол тапсырмадан жеңілірдеуін алады; 
- әрбір оқушы тапсырмамен қамтамасыз етіледі; 
-  оқушылардың  бір  –  бірінен  кӛшіру  әдеті  жоғалады,  тапсырмаларды  ӛз  бетімен 
орындауға дағдыландырады; 
-  оқушылардың  пәнге  қызығушылығы  артады,  ақыл  -  ойын,  ойлау  қабілетін 
дамытады; 
Деңгей  
І деңгей 
ІІ деңгей 
ІІІ деңгей 
ІV деңгей 
Бастапқы 
деңгей 
Орташа 
 деңгей 
Жеткілікті  
деңгей 
Жоғары 
деңгей 
-алдыңғы сабақта 
меңгерілген 
білімін ӛзгертпей 
пысықтайды; 
-жаттап алуға 
лайықталған; 
- репродуктивтік 
сипаттағы 1-2 
логикалық қадам 
арқылы мұғалім 
кӛмегімен 
шешілетін 
есептер; 
- оқушы 
қарапайым 
математикалық 
амалдарды 
орындай алады. 
-ӛткен материалды 
реттеуге жүйелеуге 
арналған; 
-ойлау қабілетін 
жетілдіруге 
берілетін 
тапсырмалар; 
-мұғалім кӛмегімен 
үлгі бойынша 2-4 
логикалық қадам 
арқылы 
шығарылатын 
есептер; 
- оқушы ӛз бетімен 
заңдар, теория, 
ұғымдар, 
формулаларды 
білетінін және 
түсінетінін кӛрсете 
алады. 
-танымдық-
эвристикалық 
түрдегі 
тапсырмалар; 
-әртүрлі әдіс-
тәсілдермен 
шешілетін есептер; 
-мұғалімнің 
кӛмегінсіз кем 
дегенде 4-6 
логикалық қадам 
арқылы 
орындалатын 
есептер; 
-оқушы оқу 
материалын еркін 
қолдана алады, 
және дәстүрлі 
жағайда оны 
практикада қолдана 
алады. 
-берілген 
тақырыпқа ӛз 
бетімен реферат, 
баяндама 
дайындайды ; 
-олимпиадалық 
есептер; 
-қиын есептерді 
дәстүрлі әдіспен 
немесе ерекше 
ӛзіндік 
тәсілдермен, 
сонымен қатар 
дәстүрлі емес 
есептерді де 
шығара алады; 
-оқушы 
шығармашылық 
қабілетін кӛрсете 
алады.   
 

 
9 
-  оқушының  шығармашылық  жеке  тұлғасын  қалыптастыруға  және  ынтасын 
дамытудағы рӛлі үлкен; 
-  жеке  тапсырмалардың  әртүрлі  болуы  жеке  тұлғаның  ӛзін  -  ӛзі  дамытуға,  оның 
ізденіп, оқуға және ӛз бетімен білім алуға дағдылануына себеп болады; 
- деңгейлік тапсырмалардың орындалуына қарап бағалау жеңіл болады. 
«Деңгейлеп  оқыту»  технологиясы  ӛткен  тақырыптарды  жүйелеп  бекітуде  жиі 
қолданады. 
Енді,  мысал  ретінде  9-сыныптағы  «Денелердің  еркін  түсуі»  тақырыбына  сай 
құрастырылған  тапсырмаларды  қарастырайық.  Тапсырмалар  әрқайсысы  8  есептен 
тұратын  тӛрт  деңгейге  (бастапқы,  орташа,  жеткілікті,  жоғары  деңгейлер)  бӛлінген[4]. 
Әрі  бұл  тапсырмаларды  сабақ  барысында  оқушыларға  интерактивті  тақта  арқылы 
ұсынуға  болады.  Интерактивті  тақта  арқылы  ұсынылған  бұл  деңгейлік  тапсырмалар 
мұғалімге  уақытты  үнемдеуге  және  әр  оқушыға  ӛз  деңгейіне  сай  тапсырмаларды 
таңдауға мүмкіндік береді. 
Бастапқы деңгей 
1.
 
Дене еркін түскенде қалай қозғалады? 
2.
 
Әртүрлі денелердің еркін түсу үдеуі туралы не айтуға болады? 
3.
 
Денелердің  еркін  түсуін  зерттеу  барысында  италия  ғалымы  Г.Галилей  қандай 
тұжырымға келді? 
4.
 
Кедергі  күші  әсер  етпеген  жағдайда  Жер  бетіндегі  барлық  денелердің  тұрақты 
үдеумен қозғалатынын қандай тәжірибелер дәлелдейді? 
5.
 
Еркін түсу кезінде үдеу векторы қалай бағытталған? 
6.
 
Бастапқы жылдамдық берілсе, түсіп келе жатқан дененің үдеуі ӛзгере ме? 
7.
 
Жердің  берілген  орнында  еркін  түсу  үдеуін  есептеу  үшін  тәжірибеде  қандай 
физикалық шамаларды ӛлшеу қажет? 
8.
 
Біріншісі  –  бастапқы  жылдамдықсыз  тӛмен,  екіншісі  –  тӛмен  қарай  бастапқы 
жылдамдықпен,  үшіншісі-  жоғары  қарай  бағытталып  үш  дене  тасталған.  Осы 
денелердің үдеулері бірдей бола ма? 
Орташа деңгей 
1.
 
Бастапқы  жылдамдықсыз  құлаған  тас  шатқал  түбіне  6  с  жетті.  Шатқалдың 
тереңдігін анықта. 
2.
 
Бастапқы жылдамдықсыз түсе бастаған доп 20 м жолды қанша уақытта ӛтеді? 
3.
 
Дене  бастапқы  жылдамдықсыз  түсе  бастайды.  2  с  кейін  оның  жылдамдығы 
қандай болады? 
4.
 
Дене бастапқы жылдамдықсыз 20 м биіктіктен түседі. Оның жер бетіне жеткен 
кездегі жылдамдығын анықта. 
5.
 
Егер су тамшысы тӛбеден түскенше 5 секунд ӛтсе, ғимарат биіктігін анықта. 
6.
 
Дене 45 м биіктіктен құлады. Түсу уақытын анықта. 
7.
 
Доп  5  м/с  бастапқы  жылдамдықпен  түседі.  Түсе  бастағанынан  кейін  3  с  ӛткен 
соң оның жылдамдығы қандай болады? 
8.
 
Тасты  5  м/с  бастапқы  жылдамдықпен  вертикаль  тӛмен  тастады.  Егер  оның 
түсуіне 2 с уақыт кетсе, тасты тастаған биіктікті анықта. 
Жеткілікті деңгей 
1.
 
Еркін  түскен  дене  соңғы  30  м  жолын  0,5  с  ішінде  ӛтті.  Түсу  биіктігін 
анықтаңдар. 
2.
 
Дене  80  м  биіктіктен  бастапқы  жылдамдықсыз  түсе  бастайды.  Түсуінің  соңғы 
секундында оның орын ауыстыруы қандай? 
3.
 
Дене  соңғы  2  секундта  60  м  жол  жүрді.  Дене  бастапқы  жылдамдықсыз  қанша 
уақыт түсті? 

 
10 
4.
 
Дене  бастапқы  жыдамдықсыз  45  м  биіктіктен  түседі.  Жолдың  екінші 
жартысындағы орташа жылдамдығын анықта. 
5.
 
Бастапқы жылдамдықсыз еркін түскен дене түсу уақытының соңғы секундында 
ӛз жолының 2/3 бӛлігін ӛтеді. Дененің жүріп ӛткен толық жолын тап. 
6.
 
Дене  бастапқы  жылдамдықсыз  100  м  биіктіктен  түседі.  Қозғалысының  бірінші 
және соңғы секундтарында дене қандай жол жүреді? 
7.
 
Дене бастапқы жылдамдықсыз 100 м биіктіктен түседі. Дене ӛзінің бірінші және 
соңғы метр жолын қанша уақытта ӛтеді? 
8.
 
Дене 27 м биіктіктен еркін түседі. Әр бӛлікті ӛту үшін бірдей уақыт кететіндей 
осы биіктікті һ
1
, һ
2
, һ
3
 үш бӛлікке бӛліңдер. 
Жоғары деңгей 
1.
 
Тікұшақтан  екіншісі  біріншісінен  1  секунд  кейін  бастапқы  жылдамдықсыз  екі 
жүк тасталды. Бірінші жүк түсе бастағаннан 2 секунд және 4 секундтан кейінгі 
жүктердің арақашықтығын тап. 
2.
 
Дене  10  м  биіктіктен  еркін  түседі.  Сол  мезетте  екінші  дене  20  м  биіктіктен 
вертикаль тӛмен тасталады. Екі дене де жерге бір мезетте түсті. Екінші дененің 
бастапқы жылдамдығын анықта.  
3.
 
Екі тамшы тӛбеден қандай уақыт аралығында үзіліп түсті, егер де екінші тамшы 
түсе  бастағанынан  2  секунд  ӛткенде  екі  тамшының  арақашықтығы  25  м  тең 
болса? 
4.
 
Бастапқы  жылдамдықсыз  түскен  дене  түсу  уақытының  соңғы  τ  секундтарында 
ӛз  жолының  1/n  бӛлігін  жүріп  ӛтеді.  Толық  t  уақытты  және  Н  толық  түсу 
биіктігін тап. 
5.
 
Биіктігі 8 м үй тӛбесінен бірдей уақыт аралығында су тамшылары үзіліп түседі. 
Бесінші  тамшы  тӛбеден  үзілгенде  бірінші  тамшы  жерге  жетеді.  Бірінші  тамшы 
жерге жеткен сәттегі тамшылардың арасындағы арақашықтықты анықта.  
6.
 
Аэростат  аэродромнан  2  м/с
2
  үдеумен  вертикаль  жоғары  кӛтеріледі.  Қозғала 
бастағаннан  5  с  кейін  одан  зат  түсті.  Аэростат  қозғала  бастағаннан  қанша 
уақыттан кейін зат жерге түседі? 
7.
 
Бірдей  биіктіктен  бірінен  кейін  бірі  τ  секунд  аралығында  2  дене  түсе  бастады. 
Бірінші дене түсе бастағаннан кейін қанша уақытта денелер арақашықтығы L-ге 
тең болады? 
8.
 
 Вертикаль  сантиметрлік  шкаланы  бойлай  бастапқы  жылдамдықсыз  нӛлдік 
белгіден  құлаған  шарды  суретке  түсіргенде  негативте  шкаланың  n
1
  –ден  n
2
 
дейінгі  бӛлікеріне дейін жайылған жолақ алынды. Фотографиялық затвордың  τ 
ашық тұрған уақытын анықта. 
 
 
1. Ж.А. Қараев, С.М. Кенесбаев, Ұ.Қ. Ергебенова. Білім беру саласындағы деңгейлік 
саралап  оқыту  технологиясы  //  Материалы  ІІІ  Международной  конференции 
математического моделирования и информационной технологии в образовании и 
науке. Алматы, КазНПУ им.Абая, 2005. ІІІ том, -с. 192-194. 
2.  Б.Е.  Акитай.  Физиканы  оқыту  теориясы  және  әдістемелік  негіздері.  Алматы.: 
Қазақ университеті, 2006. – 280 б. 
3.  Б.Қ.Садықов.  Интерактивті  тақта  –  ғажайып  құрал.  Алтын  ұя  газеті.-2008  ж. 
№2(178) – 24 қаңтар. 
4. Л.А. Кирик. Физика-9. Самостоятельные и контрольные работы. М.: Илекса, 2010. 
– с.192. 
5.  А.В.  Перышкин,  Е.М.  Гутник,  Б.Е.  Акитай.  Физика  9  сынып.  Алматы.:  Дрофа- 
Кітап 2004. – 294 б. 

 
11 
УДК 539. 17. 01 
К. Алпамышева, Г.А. Баимбетова, А.А. Кабулов,  
А.Б. Кабулов, В.О. Курмангалиева 
 
АНАЛИЗ РОТАЦИОННОГО ПРЕДЕЛА КЛАСТЕРНОЙ БОЗОННОЙ 
МОДЕЛИ 
 
( г. Алматы, КазНПУ им. Абая ) 
 
Мақалада  кластерлік  бозон  моделінің  U(4) 

  U(3) 

  SU(3) 

  O(3)  симметриясы 
зерттелінеді.  Бұл  симметрия  U(4)  тобының  ротациялық  шегіне  сәйкес  келеді.  Атомдық 
ядроның кластерлік күйлерін сипаттайтын кванттық сандар: N бозондардың толық саны, 
p
N
 дипольдық бозондар саны, SU(3) тобының  

 және 

 кӛріністері, I күйдің толық спині 
анықталды.  Модельдік  кванттық  сандар  негізінде  кластерлік  күйлердің  ротациялық 
жолақтар  бойынша  классификациясы  жасалды.  Атом  ядросының  кластерлік  күйлерінің 
энергия  спектрлерінің  құрылымы    ,  электрлік  Е2  –  және  магниттік  М1  –  ауысулары 
талданады. 
В  работе  изучается  U(4) 

  U(3) 

  SU(3) 

  O(3)  симметрия  кластерной  бозонной 
модели.  Эта  симметрия  соответствует  ротационному  пределу  U(4)  группы.  Определены 
квантовые  числа,  характеризующие  кластерные  состояния  атомного  ядра: полное  число 
бозонов  N,  число  дипольных  бозонов 
p
N
,  представления  SU(3)  группы 

  и 

,  полный 
спин  состояния  I.  На  основе  модельных  квантовых  чисел  произведена  классификация 
кластерных  состояний  по  ротационным  полосам.  Анализируются  структура 
энергетического  спектра  кластерных  состояний  атомного  ядра,  свойства  электрических 
Е2 – и магнитных М1 – переходов. 
It is investigated U(4) 

 U(3) 

 SU(3) 

 O(3) symmetry of the clustering boson model. This 
symmetry is rotational limit of U(4). They are determined quantum number of  clastering states: 
totally  bosons  numbers  N,  dipole  bosons
p
N
,  representations  of  SU(3) 

,

,  the  total  angular 
momentum  I.  It  is  produced  in  the  trame  of  model  quantum  numbers  a  classification  of 
clastering  states  in  rotational  bands.  They  are  analysed  the  structure  of  energycal  spectrum  of 
clustering states in atomic nuclei, propertys of electrical Е2 – and magnetic М1 – transitins.  
 
Кластерное  движение  атомного  ядра  является  особой  формой.  Группа  нуклонов 
образует  кластер и движется относительно оставшейся части ядра. Кластерная форма 
движения осуществляется в области как легких ядер, так и тяжелых 

1

. 
При  кластеризации  нуклонов  в  ядре  коллективная  переменная  имеет  дипольный 
характер. Дипольной переменной здесь является вектор    между центрами кластера и 
ядра остатка. Кластерные состояния могут быть генерированы системой бозонов из 
скалярного  с 


0

j
  и  векторного  с 


1

j
  типов.  Соответственно  эти  бозоны 
обозначаются  s  и 


1
,
0


m
p
m
.  Из  операторов    рождения  и  уничтожения  бозонов  
монопольного (s) и дипольного (p) видов можно сформировать шестнадцать бинарных 
операторов 
ij
B
,  генерирующих  U(4)  группу.  В  таком  случае  соответствующий  U(4) 
симметричный гамильтониан запишется 

 2 

 
  
   




 




 
 
 




 


 
 


)
0
(
)
0
(
)
0
(
0
)
0
(
)
1
(
)
1
(
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
2
1
2
,
0
0
1
2
2
1
pp
s
s
u
ps
s
p
u
pp
s
s
ss
p
p
V
pp
p
p
C
L
p
p
s
s
E
H
L
L
L
L
p
s

























           (1) 
Гамильтониан (1) диагонализуется в пространстве фиксированных бозонов N.  

 
12 
Вследствие  этого  ограничения  число  независимых  параметров  в  уравнении  (1) 
сведется  к  четырем   
p

, 
0
C ,   
2
C   и  V,  так  как  другие  (
s

, 
1
U   и 
0
U )  могут  быть 
включены в постоянную  
0
E .  
Используя  динамические  симметрии  U(4)  группы,  можно  анализировать 
различные  типы  энергетических  спектров  кластерных  возбуждений.  В  данном  случае 
возможны три динамические симметрии, определяемыми групповыми цепочками 

2,3

 
                                            U(4) 

 U(3) 

 SU(3) 

 O(3),                                                      (2) 
                                               U(4) 

 U(3) 

 O(3),                                                                  (3) 
                                               U(4) 

 O(4) 

 O(3).                                                                  (4) 
Редукция (2) соответствует ротационному пределу кластерной бозонной модели, 
(3)  – вибрационному, а (4) описывает ситуацию, в которой два фрагмента, на подобие 
диатомной молекулы, участвуют в вибрационном и ротационном движениях. 
В  настоящей  работе  анализируются  структура  энергетического  сперктра  ядра, 
свойства электрических  Е2 -  и магнитных М1- переходов в (3) симметрии. 
Групповая  редукция  (2)  позволяет  определить  собственные  значения 
гамильтониана  в  аналитической  форме.  При  этом  волновые  функции  (

  -  кластерные 
состояния) классифицируются по неприводимым представлениям подгрупп U(3), SU(3) 
и  O(3),  а  соответствующие  квантовые  числа  будут  группировать  состояния  по 
энергетическим полосам. 
Искомая  группа    U(4)  характеризуется  полным  числом  бозонов  в  системе  N. 
Следующая  группа  в  симметрии  (2)  –  это  U(3).  Генераторы  алгебры  U(3)  образованы 
только из р – бозонов, поэтому представлением ее будет число р  – бозонов в системе  
p
N
,  причем,
.
0
,...,
1
,


N
N
N
p
  Затем  идет  SU(3)  группа,  классифицируемая 
квантовыми числами 

  и 

. Восемью генераторами алгебры    SU(3)   группы являются 
три компоненты полного момента бозонов 

I
 и пять проекций квадруполя

       
   
 


1
2
1
2
p
p
I


,        
 


2
2
1
2
3
p
p
Q









                                (5) 
Три  компоненты полного углового момента, взятые в отдельности, генерируют 
известную группу трехмерных вращений O(3). 
Для  аналитического  решения  задачи  на  собственные  значения  гамильтониан  Н 
запишем через инварианты (операторы Казимира) подгрупп редукционной цепочки (2) 
               
 


 


 
 
3
3
3
3
'
2
1
O
C
k
SU
kC
U
C
H
p




,                                      (6) 
собственные значения которого есть       
                                           




1
,
'





I
I
k
kC
N
E
p
p



,                                               (7) 
где                              














)
3
(
)
3
(
)
,
(
С
 .                                                  (8) 
Разложение  полностью  симметричного  представления  [N]    U(3)  группы  по 
представлениям (

,

)  SU(3) осуществляется согласно правилу 

2

 
 
 









...
2
,
4
)
1
,
2
(
0
,
N
N
N
N
 
                           

 
 








...
2
,
7
1
,
5
0
,
3
N
N
N
                                       (9) 
Значения  (

,

)  представления  SU(3)  группы  разлагаются  по  представлениям 
O(3)  группы.  В  схеме  Эллиота  значения  углового  момента  при  заданном  (

,

) 
определяются равенствами 
                                   
 
 
k
k
k
k
I
,
1
,...,
1
,
max
,
,
max









 ,                            (10) 
если k

0, или  
                                   
 
 
0
,...
2
,
max
,
,
max






I
 или 1 ,                                      (11) 

 
13 
если k = 0. 
В свою очередь k находится  
                                   
 
 
0
,...,
2
,
min
,
,
min






k
или 1.                                    (12) 
В  ротационном    пределе  кластерной  бозонной  модели  энергетический  спектр 
проявляет  следующие  свойства 

  а)  наблюдаются  ротационные  полосы  состояний  как 
положительный так и отрицательной четностей, б) между  уровнями положительной и 
отрицательной  четностей  имеет  место  энергетический  сдвиг  (  например,  между 
полосами (N,0) (N-2,1) 
'
2
3
k
Nk
E



), в) энергетическая зависимость состояний носит 
I(I+1)  характер,  г)  состояния  с  одинаковыми  значениями  (

,

)  и  I  являются 
вырожденными. 
Приведем  вычисление  вероятностей  электрических  Е2  –  и  магнитных  М1  – 
переходы  в  ротационном  пределе  кластерной  бозонной  модели,  а  так  же  исследуем 
зависимости этих величин от спина кластерных состояний и числа бозонов. 
            Оператор Е2 – перехода в обсуждаемой модели имеет вид  
                                                  





2
2
1
2
~
)
2
(
p
p
q
E
T


                                                  (13) 
Для  проведения  аналитических  расчетов  запишем  T(E2)  посредством 
генераторов  SU(3)  группы.  В  методе  Эллиота   

4

  это  достигается  использованием  
квадрупольного оператора 
)
2
(

Q  
                                                            
 
)
2
(
2
2


Q
E
T

 .                                                 (14) 
Математическая структура  
)
2
(

Q
как генератора группы SU(3) записывается  
                                                     






2
2
1
)
2
(
2
1
2
3
p
p
Q









.                                               (15) 
Сравнивая  соотношения  (13)  и  (15),  приходим  к  выбору  коэффициента 
2
~
q . 
Оператор T(E2) теперь является генератором алгебры SU(3) и выражается в виде  
   






2
2
1
2
1
2
2
3
)
2
(
p
p
E
T









,                                             (16) 
где 
2

- эффективный Е2 – заряд. 
Отметим, что поскольку оператор Т(Е2) является генератом SU(3) группы, то он 
не может связывать различные представления этой группы. 
Как  известно,  базис  Эллиота  неортонормирован.  Поэтому  вычисление 
матричных  элементов 
)
2
(

Q
    следует  проводить  в  ортонормированном  базисе 
Вергадоса 

5

. 
Приведенные вероятностиэлектрических Е2 – переходов определяются  
          
 


 


)
1
2
(
,
)
2
(
,
)
;
2
(
2





i
i
i
f
f
f
i
I
I
E
T
I
I
I
E
B








                          (17) 
Так для представления (

,0) величина В(Е2

 I

I-2) принимает вид [6] 
          
)
1
)(
2
(
)
1
2
)(
1
2
(
4
)
1
(
3
)
2
;
2
(
2
2










I
I
I
I
I
I
I
I
E
B



                   (18) 
Аналогичные формулы можно получить и для других представлений. 
Как  видно  из  (18),  имеет  влияние  обрезающего  фактора,  обусловленного 
конечностью числа 

, определяемым N. Вследствие этого фактора при  I

N  величина 
)
;
2
(
f
i
I
I
E
B

  резко  уменьшается.  При  заданном  значении  N  с  увеличением  спина 

 
14 
возбужденного  состояния  I  наблюдается  сначала  тенденция  роста  величины 
)
2
;
2
(


I
I
E
B
 , а затем при  I

N происходит его спад. Для заданного Е2 – перехода 
f
i
I
I

 величина 
)
;
2
(
f
i
I
I
E
B

 с ростом N увеличивается квадратично. 
              Рассмотрим  М1  –  переходы.  В  U(4) 

  U(3) 

  SU(3) 

  O(3)  пределе  Т(М1) 
оператор  в первом приближении определяется в следующем виде 
                                                
)
1
(
1
)
(
)
1
(
k
k
p
p
M
T



   .                                                        (19) 
             Поскольку 
)
1
(
)
(
p
p

  пропорционален  оператору  углового  момента 
k
I   , 
уравнение (19) можно переписать   
                                                 
k
B
k
I
g
M
T

)
1
(
 ,                                                        (20)  
где 
B
g   является  эффективным  бозонным  g  фактором.  Так  как  оператор  углового 
момента 
k
I   является  генератором  O(3)  группы, 
)
1
(M
T
k
  будет  диагонален  в  этом 
представлении. Поэтому в первом приближении М1 переходы в кластерных состояниях 
не предсказываются. Диагональные матричные элементы имеют вид   
                               
2
1
3
2
))
1
2
(
)
1
(
(
)
(
)
1
(
)
(





I
I
I
g
KI
M
T
KI
B


                                (21) 
            Таким образом, g фактор, обусловленный кластерным движением, равен 
                                                    
B
g
I
I
g



)
(
                                                          (22) 
И не зависет от спина кластерного состояния. 
              Во втором порядке оператор М1 – перехода записывается  






)
1
(
)
1
(
)
0
(
011
)
1
(
)
1
(
)
2
(
211
)
1
(
)
1
(
)
0
(
011
)
1
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
p
p
s
s
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
M
T
k
k
k















   (23) 
Для наглядности (23) представим в виде  
                          


)
1
(
)
1
(
)
2
(
'
1
)
1
(
'
1
)
1
(
'
1
)
(
)
1
(
k
k
p
k
B
k
I
Q
I
N
I
N
g
M
T








,                     (24) 
где коэффициенты
B
g , 
'
1

, 
'
1

, 
'
1

  являются линейными комбинациями 
011
211
011
1
,
,
,




. 
Структура  оператора 
 
1
M
T
k
  в  (24)  такова,  что  во  втором  порядке  приближения  в 
кластерных  состояниях  М1  –  переходы  отличны  от  нуля.  Матричные  элементы,  
заданные в виде (24), должны вычисляться численно. 
 
Предлагаемую 
теорию 
авторы 
планируют 
применить 
для 
анализа 
супердеформированных ротационных состояний атомных ядер.  
 
1 . Ohkubo S., Fujiwara M., Hodgson P.E. 

 - clastering states in atomic nuclei // Prog. Theor. 
Phys. Supple. – 1998. – №132. – P. 1 – 6. 
2. Баимбетова Г. А., Кабулов А. А., Кабулов А. Б. Супердеформированные кластерные 
состояния 
Hg
194
80
 // Вестник КазНПУ им. Абая. – 2010. –№ 2(30). – С.23 – 26. 
3. Бактыбаев К. Б., Кабулов А. Б., Кабулова Г. С., Раманкулов К. Е. Модель дипольной 
кластеризациинуклонов в атомных ядрах // Изв. РАН. Сер. физ. – 1996. – Т. 60, № 5. 
– С. 118 – 122. 
4.  Elliot  J.  P.  Collective  motion  in  the  nuclear  shell  model  .  Proc.  Roy.  Soc.  –  1958.  –  V. 
A245.  – p. 562 – 581. 
5. Vergados J. D. SU(3) 

 R(3) Wingner coefficients in the 2S – 1d shell // Nucl. – Phys. – 
1968. – V. A111, №3. – p. 681 – 754. 
6.  Кабулов  А.  Б.,  Баимбетова  Г.  А.  Электрические  Е2  –  переходы  в  ротационном 
пределе  модели  дипольной  кластеризации  нуклонов  в  атомных  ядрах  //  Изв. 
МОН РК, НАН РК. Сер. физ. – мат. – 2001. - №6.  – С. 66 – 72. 

 
15 
УДК  372.681.5 

жүктеу/скачать 4,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: