Алматы 2014 almaty 2
жүктеу/скачать 37,51 Mb. Pdf көрінісі
|
,, j п :
– ф.к. плотности тока до и после пролета сгустком точки z 1.
В системе, связанной с волноводом: 2 2
0 k-γk
k-γk -( ) -( ) 2γβα 2γβα л + п - j T Ф e j
T Ф e (3.4) Здесь
0 0 0 z i {[γ(k-βw)-k ]-z (k-βk )} γβ 0
0 0 I δ(b-b ) e T =
Ф
2πib c γ(k-βw)-k ] i e (3.5) при этом 1 2 2 γ = (1 - β ) . βc - скорость движения источника вдоль оси z (β > 0) , k 0 c - частота колебаний тока в сгустке в собственной системе координат, с - скорость света. Учитывая зависимость величин A и B
(см. формулу (3.1)) от j л:
и j п , после интегрирования по объему источника получим явные выражения для A и B
1 n iw / / / 1 / / 1 1 2 1 2 w=w
/ / / / 1 0 1 2 n 2 2 e v(a , bm) (a , a ) (d , a )
A =
d(a , a ) w-w
(d , a ) w h
dv n z n (3.7) суммирование ведется по нулям величины / / 1 2 (a , a ) . 3 0 B = B (w) s s (3.7) Каждое слагаемое в (3.7) представляет собой сумму по собственным волнам, волновые векторы которых совпадают с нулями функций / /
1 (a , d )
/ / 1 2 (d , d )
, / / 2 2 (d , a ) в 1-й, 2-й и 3-й областях волноводной системы: 1 k
/ / / 1 / / / / 1 1 1 1 1 2 2 2 1 w=-w k 0
k 1 e v(a , bm) (a , d ) (d , d )(d , a ) B =
0 w+w w k z
(3.8) 1 k -iw / / / 1 / / 1 / / 1
/ / 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 w= - w / / / / 1 0 1 2 k 1 2 1 1 e v(d , bm) (a , d ) (d , d ) (d , a ) (d , d )
B =
d(d , d ) w+w
(d , d ) w(d , d ) h dv
(3.9) 140
1 k -iw / / 1
/ / 1
/ / 1
2 1 1 1 2 1 2 3 w= - w / / / 1 0 2 2 k 1 1 1 e v(bm, a ) (a , d ) (d , d ) (d , a ) B =
d(d , a ) 0 w+w w(d , d ) h dv
z k (3.10) Определив 1 2 F =
F F найдем поля рассеянных волн. Все компоненты полей рассеянных волн выражаются через инвариантную комбинацию [r, bm] Например,
-iwz H = - v [r, bm] = -v e A + B z e (3.11) где
1 1 / / / / / / 1 1 2 1 2 2 e = L [a |r, d | a ] [a |r, d | a ] = L N / / / 1 1 2 1 / / / 1 1 2 / / / 1 1 2 1 (a , r) (d , a ) при r d [a |r, d | a ] = (a , d )(r, a ) при r d (3.12) Для определения полей в различных пространственных областях волноводной системы воспользуемся свойствами проекционных матриц, входящих в выражения для факторизованных ядер. Учитывая, что операторы 1 I n 2 2 имеют различный вид в свободном пространстве и при наличии труб, они по разному воздействуют на вектор N , входящий в выражения для полей: / / / / / / 1 2 1 2 1 2 I n I n
(a , a ) N = (a , a ) N (a , a ) N = 0 2 2
в нулях / /
2 (a , a )
Аналогично I n I n N = 0 N = N 2
в нулях выражений / / 1 1 (a , d ) , /
1 2 (d , d ) , / / 2 2 (d , a ) . Используя соотношения (3.13) и (3.14), получим
2 / / 1 2 -ivr ivd ivd
/ / 1
/ / 1
л 1 2 2 2 / / 1 1 1 2 ) при (a , a ) =0 e e =
(d , a ) e (d , a ) e
(a , a ) h a (3.15) 1 2 1 / / 1 1 ivd ivd
/ / 1 / / 1 / 1 1 / -ivr
1 2 2 2 1 1 п / / 1 / / 1
/ / 1
1 1 2 1 1 1 1 б) при (a , d ) =0 (d , d ) e (d , a ) (a , r) e h (a , r)e e = 0,1 (a , a ) (a , d ) (a , d ) h
(3.16) Отметим, что первое слагаемое при интегрировании по w не дает вклада в поле.
1 2 2 / / 1 2 / / 1 / / 1 / 1 iv(r-d ) iv(d -r)
/ / 1 1 2 2 2 п 1 2 1 2 / / 1 / 1 1 2 1 2 в) при (d , d ) =0 (a , d ) (d , a ) (d , r) e = (d , d )e (d , d )e (d , d ) (d , d ) h
(3.17) 2 3 / / 2 2 iv(r-d ) / / 1
/ / 1 / 1 1 1 1 2 2 п / / 1 1 1 2 г) при (d , a ) =0 (a , d ) (d , d ) (r, a ) e e =
0,1 (a , a )
h (3.18) Ф.к. полей в области z z 1 пропорциональны выражению 141
1 -iwz
/ / 1 1 2 (w)e (a , a ) + л л n nи Α(w)= A w, j (w ,w e (3.19) которое входит в формулы для полей излученных волн, движущихся с групповой скоростью β гр
β. После пролета источником точки z = z 1 электромагнитное поле возбуждается во всех областях волноводной системы. Например,
1 -iwz
1 2 п k kи 3 e H (w)= vB w, j (-w ,w e e e
H z H
или 1 -iwz
1,2,3 / / 1 i j H (w) H (w) = e (d , d ) z (3.20) Здесь w kи
При β гр
β продольная компонента напряженности магнитного поля рассеянных волн в фурье- представлении определяется формулой
1 -iwz
+ л л n nи л n nи H (w) = v A [w, j (w ,w )] B [w, j (w ,w )] e e z (3.21)
и в области z z 1 , имеет вид:
1 -iwz
+ A л ρ ρ л n nи 0 H (z,k) = Res e (w, w ) A [w , j (w ,w )]e e z (3.21) Это поле представляется набором полей пространственных гармоник с волновыми векторами w ρ
/ / 1 2 (a , a ) =0
При z>z
1 . согласно (3.20), напряженность продольного магнитного полк выражается формулой:
1
ρ -iw (z - z ) s- 2
ρ ρ п k kи 0 3 ρ e (w-w ) H (z,k) = Res e (w-w ) B [w , j (w ,w )]e e e (w-w ) H H z H (3.23)
Следует отметить, что волны, возбуждаемые кольцевым током после пролета им разрыва системы в точке z =z 1 не возбуждают поверхностных токов и полей в области z > z 1 , d
2
. где
напряженность продольного магнитного поля, вычисляемая по формуле (3.23), равна нулю. Эта область есть область “полной тени" для возбужденного поля. Такая зона существует в системе и при возбуждении волн неподвижным источником, расположенным на оси коаксиала с теми же поперечными размерами. Как следует из формул (3.22) и (3.23), зависимость напряженности полей от частоты определяется множителем
1 k 0 0 0 0 i exp {- t - z [γ(k-βw )-k ]-z (k- k )} γβ
γ(k βw)-k ] i e
Здесь верхний знак относится к формуле (3.22), нижний - к (3.23). При переходе к временному представлению поле до пролета источником точки z 1
рассчитываем путем замыкания контура интегрирования в верхней полуплоскости комплексного переменного к.
z z 0 k H (z,t) = 2πiRes H (z,k) k = γ (k ±γβw ) (3.24)
142
В этой области выполняется условие
-1 -1 1 ct z γ - (γβ) - R /3.25/ где R = z – z 1.
Вклад в напряженность поля излучения дают волны, испущенные сгустком в сторону конца z.= z 1 . Волны с β гр
β рассеиваются на разрыве в точке z 1 только после пролета источником этой точки. В этом случае условие на время пролета сгустка имеет вид
-1
1 ct z γ - (γβ) - R
что и определяет выбор контура интегрирования при переходе к временному представлению полей излучения. Используя теорему о вычетах /4/ , получаем -1 z z 0 k H (z,t) = - 2πiRes H (z,k) k = γ (k +γβw ) (3.27)
При возбуждении системы протяженным источником, движущимся вблизи точки разрыва, поля рассчитываются одновременно по формулам (3.24) и (3.27), причем при l < z 0
l 0 используем формулу (3.24), а при l
z 0 0 определим из условия
-1
1 0 ct z γ - (γβ) - R
4. Обсуждение результатов численного моделирования Методом численного эксперимента исследовано поведение плотности и потока энергии, а также радиационной силы, действующей на сгусток, в зависимости от скорости сгустка. Для проведения расчетов использован пакет программ на языке Фортран. Плотность, поток энергии и радиационная сила вычислены с помощью выражений для полей, приведенных выше. В расчетах использованы следующие значения параметров системы: к 0 - ω 0 с -1 = 11 см -1 ; обратная полуширина сгустка α= 10 -3 ; 0,1; 1; 2; 20 см -1 /
Радиусы волноводов d 1 = 2 см; d 2 = 2,4; 4; 6 см, радиусы внутренней и внешней труб равны соответственно а 1 =0 и a 2 = 8 см. Координата левого конца полубесконечных труб z 1 = 12 см, радиус кольцевого сгустка b 0 = 1,1; 1,5; 1,9 см, релятивистский фактор γ варьировался в пределах от 1 до 10 4 . Правильность расчетов контролировалась с помощью вычисления сохраняющихся величин, при этом относительная погрешность расчетов не превышала 1%. С помощью пакета программ вычислены потоки энергии, обусловленные как “опережающими" (|β гр
>
|β|), так и “запаздывающими" ((|β гр |
|β|)) пространственными гармониками поля излучения. Как показалирасчеты, плотность потока энергии излучения вдоль оси z с ростом γ уменьшается по закону γ –2 . При этом расчетом предсказывается изменение знака прямого потока энергии излучения (S Z ↑↑ β) и монотонное уменьшение величины обратного потока энергии излучения с ростом γ (рис. 2), кривые 1 и 2 соответственно/. Так как радиационная сила, действующая на сгусток, определяется как прямым, так и обратным потоками излучения, то при определенных условиях она может менять знак. Численный эксперимент подтверждает наличие областей “автоускорения“ сгустка при определенных значениях γ (рис. 3). Положение областей “автоускорения" сгустка на оси γ зависит от конфигурации волноводной системы, а также от размеров и положения источника.
143
Колебательный характер радиационной силы (рис. 3) указывает на то, что имеет место передача энергии от сгустка полю и обратно при различных значениях γ, при этом суммарная энергия сгустка и поля излучения остается неизменной.
Методика решения задачи об излучении кольцевого сгустка с током, движущегося вдоль оси полубесконечной коаксиальной системы, позволяет произвести расчеты при а 2 →∞ (система в свободном пространстве), а также вычислить значения полей, возбуждаемых движущимся источником с постоянным током и зарядом. Переход от ограниченной (по радиусу) системы к системе в свободном пространстве осуществляется с помощью предельного перехода а 2 →∞
2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 2 2 0 1 2 1 (d , a ) (d , ) lim
=
(a , a ) (a , )
(d , a ) (d , ) lim =
(a , a ) (a , ) a a (5.1) При исследовании возбуждения системы движущимся сгустком с постоянным током и зарядом необходимо вычислить значения факторизованных ядер при k 0 =0.
Для этого следует воспользоваться предельным переходом k 0 → 0 в выражениях для факторизованных цилиндрических функций и их комбинаций. Этот предельный переход осуществляется с учетом неидеальной проводимости границ волноводной системы (граничные условия Леонтовича). Рисунок 2. Плотность потока энергии излучения, рассеянной на разрыве волноводов, как функция скорости сгустка. 1 - плотность потока энергии при (|β гр
>
|β| ; 2 - плотность потока энергии при (|β
гр |
|β| Рисунок 3. Продольная радиационная сила, действующая на кольцевой сгусток, как функция его скорости
144
Отметим, что предложенная методика может быть использована для решения задачи о дифракции цилиндрических волн на разрывах волноводов. В этом случае выражения для j л , и j п
переходят в , 0 i(w w ) n,k л, п
, ie δ (w w ) lim j = 2π(w w) n k z n k
(5.2)
ЛИТЕРАТУРА 1. Павлов B.C., Уразаков Э.И., Лобанова В.П. ЖТФ, 1978, 48, с. 334. 2. Игушкин Л.П., Уразаков Э.И. Цилиндрические электромагнитные поля и плазменные сгустки, ч.І- III. Изд- во НИИЯФ МГУ, М., 1969. 3. Молотков В.В., Уразаков Э.И. Радиотехника и электроника, 1976, 21, с.963. 4. Свешников А.Г., Тихонов А.И. Теория функций комплексного переменного. “Наука", М., 1967. 5. Болотовский Б.М., Воскресенский Г.В. ЖТФ, 1964, 34, с. 1856. 6. Воскресенский Г.В., Курдюмов В.Н. Труды РИ АН СССР, 1974, 19, с.46. 7. Иркегулов А.Ш., Швачка А.Б. ОИЯИ, Р11- 12661, Дубна, 1979. 8. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Изд. Второе М., «Наука», 1977.
Еркеғұлов А.Ш. жүктеу/скачать 37,51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|