Алматы 2017 январь

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

418 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

Ключевые слова. Гармонический анализ, периодический несинусоидальный ток, пакет Mathcad, четные 

и нечетные функции, метод расчета суммы членов ряда Фурье. 

 

Введение.  В  электрических  цепях,  которые  служат  для  передачи  информации,  электрические 

сигналы (напряжения и токи) несинусоидальны. Методы расчета синусоидальных режимов для таких 

цепей неприменимы. При расчетах линейныхцепей синусоидального тока используют представление 

периодической функции f(t) в виде гармоник кратных частот [1,2]. 

Гармонический  анализ  периодических  несинусоидальных  токов  основан  на  преобразованиях 

Фурье и состоит в замене  сложной функции времени, описывающей этот вид тока, суммой простых 

гармонических  колебаний,  образующих  частотный  спектр  этого  тока.  Знаменитый  французский 

ученый  Ж.  Б.  Фурье  (1768–1830г.г.)  доказал,  что  любое  изменение  во  времени  некоторой  функции 

можно  представить  в  виде  конечной  или  бесконечной  суммы  ряда  гармонических  колебаний  с 

разными  амплитудами,  частотами  и  начальными  фазами.  Этой  функцией  может  быть  ток  или 

напряжение в электрической цепи. 

1.  Теоретические вопросыразложения в ряд Фурье периодического несинусоидального тока 

На  рисунке  1  приведены  принципиальная  схема  однополупериодного  выпрямителя 

переменного гармонического тока и график напряжения на выходе выпрямителя (Рис.2). 

 

 

 

Рис. 1. Схема однополупериодного 

выпрямителя переменного гармонического тока 

Рис. 2. Периодическое несинусоидальное 

напряжение 

 

Рассмотрим  вначале  представление  периодического  электрического  несинусоидального 

сигнала,  отвечающего  условию  x(t)  =  x(t+  nT)  где:  T  –  период  несинусоидального  сигнала,                               

n – натуральное число n=1,2,3,….  

Если  периодическая  несинусоидальная  функция  отвечает  условиям  Дрихле,  онаможет  быть 

представлена тригонометрическим рядом Фурье [2,4]: 

 

f(t) =   + 

                                 (1) 

(1) уравнение можно писать в таком виде: 

 

f(t) =   + 

                                       (2) 

где: 

- модуль амплитудn гармоник,  

-  фазы n гармоник, 

- круговая частота. 

 - коэффициенты косинусоидальных составляющих; 

 - коэффициенты синусоидальных составляющих; 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

419 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

- среднее значение тока за период (постоянная составляющая). 

Отдельные  слагаемые  рядов  называют  гармониками.  Число  nявляется  номером  гармоники. 

Совокупность  величин  A

n

в  ряде  (2)  называют  спектром  амплитуд,  а  совокупность  величин                                 

- спектром фаз. 

Если  функция  f(t),  описывающая  периодический  сигнал,  является  четной,  то  сумма  ряда  (1) 

будет  содержать  только  косинусоидальные  составляющие.  Если    f(t)  -  нечетная  функция,  то  сумма 

будет содержать только синусоидальные составляющие. 

 

2.  Исследование периодических несинусоидальных токов с помощью пакета Mathcad 

 

Рассмотрим  периодические  несинусоидальные  токи,  которые  описываются  нечетным                         

(Пример 1) и четным (Пример 2) видом функции. 

Пример  1.  На  рисунке  3  представлено  график  напряжения  в  зависимости  от  времени,  которое 

подаются  на  горизонтально  отклоняющие  пластины  осциллографа.  На  рисунке  4  программа  в 

Mathcad, необходимая для создания этого графика.  

 

 

 

 

 

Рис. 3. График напряжения в зависимости 

 от времени 

Рис. 4.  Программа в Mathcad 

 

Требуется выполнить следующие задания: 

1.  Нужно найти напряжение (t) в виде суммы первых двух и семи членов ряда Фурье; 

2.  Суммы этих членов ряда нужно  представить в графическом виде. 

Решение задания: 

1.  Представим 

метод 

расчета 

суммы 

членов 

ряда 

Фурье 

для 

периодических 

несинусоидальных сигналов, состоящих из нескольких процедур.  

Вначале  следует  найти  коэффициенты  ряда  Фурье  для  периодического  напряжения,  что  было 

приведен  на  рис.  4.  Для  этого  нужно  создать  специальные  процедуры  с  помощью  пакета  Mathcad 

[5,6]. Первой процедурой вычисляются коэффициенты косинусоидальных составляющих, а второй – 

у синусоидальных.  

 

 

Третьей  процедурой  непосредственно  вычисляется  ряд  Фурье.  В  эту  процедуру  входят 

созданные ранее процедуры вычисления коэффициентов разложения ряда.  

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

420 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

 

Ряды  Фурье  вычисляются  в  символьном  виде.  По  этому,  вкачестве  точки,  в  которой 

вычисляется ряд,  указывается  символьное название переменной, а в качестве  оператора вычисления 

значения  –  стрелку.  Внизу  представлено  напряжение  (t)  в  виде  суммы  первых  двух  и  семи  членов 

ряда Фурье 

 

 

2. На рисунке 5 показаны результаты аппроксимации линейной функции (t)=t рядом Фурье на 

интервале  (-,  ).  Аппроксимация  выполняется  рядами  из  двух  (тонкая  линия)  и  семи  (утолщенная 

линия) слагаемых. Отметим, что при увеличении число слагаемых в ряде Фурье повышается точность 

аппроксимации.  

 

 

 

Рис. 5.  Графические решения линейной функции (t)=t 

 

Пример  2.    К  электрической  цепиприложено  периодическое  несинусоидальное  напряжение, 

форма  которого  приведена  на  рис.  6.  Параметры  элементов  схемы  имеют  следующие  значения:                        



0

 = 314 В; , = 100 рад/с. 

Требуется выполнить следующие задания: 

1.  Найти  графическое  и  численное  решение  (аппроксимацию)  напряжения  (t)    ввиде  суммы 

первых двухи четырехчленов ряда Фурье; 

 

 

 

Рис. 6. График периодического напряжения в зависимости от времени 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

421 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

Решение заданий: 

1.  Для  разложения  функции  напряжения  источника  в  ряд  Фурье  напишем  программу  в  среде 

Mathcad. 

 

Поскольку функция (t) является четной, разложение в ряд Фурье содержит только косинусы: 

 

(t) = 

 

 

В таком случае у нас получается следующий ряд 

 

(t) =

)       

 

 

Этот  ряд  соответствует  таблице,  приведенной  на  рис.7.  Используя  данные  таблицы,последнее 

уравнение можем написать в таком виде: 

 

(t) = 399,797cos100t -133,266 cos300t 

 

На  рисунке  7  в  виде  графика  представлено  графическая  аппроксимация  суммы  первых  двух 

членов (утолщенная линия).  

В  таблице  после  выражения  s(t

m

)  =  представлены  численные  значения  всех  начальных                         

100  точек  (N

p

  :=  100)    уравнения  (t)  =f(t)  = 

  + 

.  Табличные 

значения являются численным решением   аппроксимации суммы первых двух членов ряда Фурье. 

2.  Используя  метод  расчета  суммы  членов  ряда  Фурье  для  периодического  напряжения, 

представленного на рисунке 3, находим суммы первой четырех членов ряда: 

 

(t) =

 

 

 

 

Рис.7. Графическое и численное аппроксимациисуммы первых двух членов ряда Фурье (Nf: = 4). 

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

422 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

 

 

Рис. 8.  Графическое и численное аппроксимации суммы первых четырех членов ряда Фурье. 

 

 

ӘДЕБИЕТТЕР  

[1] Иванов М. Т., 

Сергиенко А. Б., 

Ушаков В. Н. 

Теоретические 

основы 

радиотехники:  

Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 2002. -  306 с. 

[2] Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1998.- 463 с. 

[3] Воробьев Н.Н. Теория рядов. 4 издание, перераб. и доп. - М.: Наука, 1979. - 408 с. 

[4] Жук  В.В.,  Натансон  Г.И.  Тригонометрические  ряды  Фурье  и  элементы  теории  аппроксимации. Л.: 

Изд-во Ленингр. ун-та, 1983.- 188 с. 

[5] Очков В. MathCAD 14 для студентов, инженеров и конструкторов. – Санкт-Петербург. – 2007.- 370 с.  

[6] Кирьянов Д. Mathcad 14 вподлинке. Санкт-Петербург. – 2007.- 682 с. 

 

Мукушев Б.А., Нурбакова Г.С., Исимов Н.Т., Мусатаева И.С., Желдыбаева Б.С. 

Периодты синусоидальды токты MATHCAD пакеті көмегімен Фурье қатарына жіктеу 

Аңдатпа.  Мақалада  периодты  синусоидалды  емес  токтың  гармониялық  анализінің  нәтижелері 

баяндалған. Мұндай токтардың теңдеулері Mathcad пакеті көмегімен Фурье қатарына жіктелген. Жұп және тақ 

функцияларды  Фурье  қатарына  жіктеу  әдістерінің  ерекшеліктері  ашылған.  Компьютерлік  эксперименттер 

көмегімен  алынған  периодты  синусоидалды  емес  сигналдардың  гармониялық  анализінің  графиктік,  сандық 

және аналитикалық шешімдері берілген. Периодты синусоидалды емес сигналдарды Фурье қатарына жіктеген 

кездегі алынған мүшелердің қосындысын есептеуге арналған әдіс қарастырылған. 

Түйін  сөздер.  Гармониялық  анализ,  периодты  синусоидалды  ток,  Mathcad  пакеті,  жұп  және  тақ 

функциялар, Фурье қатарының мүшелерінің қосындыларын есептеу әдісі. 

 

Mukushev B.A., Nurbakova G.S., Isimov N.T.,Musataeva I.S., Zheldybayeva B.S. 

Fourier series of periodic non-sinusoidal currents using MATHCAD package 

Annotation.  The  article  presents  the  results  of  harmonic  analysis  of  periodic  non-sinusoidal  currents.  The 

equations  of  these  currents  expanded  in  a  Fourier  series  with  Mathcad package.  The  features  of  the  Fourier  series  of 

even  and  odd  functions.  Is  a  graphical, numerical  and  analytical  solutions  of  the  harmonic  analysis  of  periodic  non-

sinusoidal signals. These results were obtained on the basis of computer experiments. A method for calculating the sum 

of the Fourier series of members for the periodic non-sinusoidal signals. 

Keywords.  Harmonic  analysis,  periodic  non-sinusoidal  current,  package  of  Mathcad,  even  and  odd  functions, 

method of calculating the sum of the Fourier series. 

 

 

 

 

 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

423 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

УДК. 372.853.(075.8) 

 

С. Н. Нұрқасымова,   Р. А. Аканова 

 (Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті, 

Казахстан Республикасы, Астана қаласы) 

 

КИНЕМАТИКА БӨЛІМІНІҢ ЕСЕПТЕРІН ШЫҒАРУДА ФИЗИКАЛЫҚ 

ПРОЦЕСТЕРДІКОМПЬЮТЕРЛІК МОДЕЛЬДЕУ    

 

Андатпа:  Мақалада компьютерлік модельдеуді жоғарғы оқу  орындарында физика есептерін шығаруда 

қолданылатыны қарастырылған. MATLAB программасының алгоритмі және   қысқаша түсініктеме берілген. 

MATLAB  программасын    физикалық  процесстерде  қолдану,    екі,  үш  өлшемді  графиктер  тұрғызу  және 

анықталған интеграларқылы физика есептерін шығару.  

 Кілтті  сөздер:  Физикалық  процестерді  компьютерлік  модельдеу,MATLAB  программасы,  екі  және  үш 

өлшемді графиктер тұрғызу.    

 

Eлбacының  «Жaңaәлeмдeгі  жaңa  Қaзaқcтaн»  aтты  жолдayындa:  «Біз  бүкіл  eліміз  бойыншa 

әлeмдік  cтaндaрттaр  дeңгeйіндe  caпaлы  білім  бeрy  қызмeтін  көрceтyгe  қол  жeткізyіміз  кeрeк»  дece, 

оcы  жолдayдың  ІІІ  тaрayы,  он  ceгізінші  бaғытының  жeтінші  тaрмaқшacындa:  «Aқпaрaттық 

тeхнологиялaр  мeн  aқпaрaтты  тaрaтyдың  жaңa  ныcaндaрынa  бaғыттaлғaн  мaмaндaндырылғaн  білім 

бeрyбaғыттaрын құрy міндeтідe aлдымыздa тұр» дeлінгeн [1]. 

Қазіргі  кезде  физика  пәнін  оқып  үйренуде  заманауи  компьютерлер  және  әр  түрлі  арнайы 

программалау  ортасы  кеңінен  қолданылады.  Физикалық  процестерді  компьютерлік  модельдеу 

ғылыми  танымның  негізі.Сондықтан  нақты  білім  беруде  және  ғылыми  зерттеулерде  алатын  орны 

ерекше. 

Компьютерлік  модельдеу  арқылы  нақты  физикалық  процестер  мен  құбылыстарды  көрсетуге 

болады.  Физикалық  зерттеулерде  компьютердің  негізгі  қолданылуы  –  бұл  тәжірибені  басқару  және 

модельдеу[3].  

Осы  бағытта  университеттің  физика  факультетінің  студенттеріне  өтілетін  «Физикалық 

процестерді  компьютерлік  модельдеу  негіздері»  курсының алатын  орны  ерекше.  Курстың  және  осы 

курс  бойынша  өткізілетін  практикумның  негізгі  мақсаты  студенттерді  физикалық  процестер  мен 

құбылыстардың модельдерін жасаумен және зерттеу  әдістерімен таныстыру. Курсты  оқу барысында 

болашақ физиктерді ғылыми ізденістерге баулып, ғылым жолындағы алғашқы қадамдарына жол ашу. 

Практикум  теория  мен  тәжірибенің  бірлігін  танып  білуге  көмектесіп  қана  қоймай,  студенттердің 

пәнге,  ғылымға  деген  қызығушылығын  арттырады.  Әсіресе  физикалық  процестерді  компьютерлік 

модельдеу  нақты  нысанды  практикада  толық  зерттеу  мүмкін  болмаған  жағдайда  оны  есептеу 

алгоритмдерінің көмегімен компьютер арқылы іске асыратын, математикалық модельмен алмастыру 

болып табылады. Компьютер арқылы физикалық процестерді модельдеу барысында есептің шешуін 

тек  формула  түрінде  ғана  емес,  график  түрінде  де  бақылай  алады.  График  түрінде  кескінделген 

есептің  шешімі  теория  мен  тәжірибені  жақындатады.  Компьютерлік  модельдеу  нақты  тәжірибе 

жүргізу  қиын  болатын  күрделі  процестерді  бақылау  және  зерттеу  үшін  қолданылады.  Физикалық 

процестерді  модельдеу  арнайы  компьютерлік  программалау  ортасының  көмегімен  жүзеге 

асырылады.  Біздің  жағдайымызда  компьютерлік  модельдеу  MATLAB  («Matrix  Laboratory») 

техникалық  есептеулердің  есептерін  шешуге  арналған  қолданбалы  программалау  пакеті  бойынша 

іске  асырылады.  MATLAB  жүйесі  –  бұл  бір  мезгілде  әрі  программалау  тілі,  әрі  операциялық  орта 

болып  табылады.  Студенттер  MATLAB  программасымен  бұрын  таныс  болмағандықтан,  әрі  осы 

жүйемен  танысады.    Жүйенің  басты  ерекшелігі  –  ол  MATLAB  тілінде  бірнеше  рет  қолдануға 

арналған программалар жазуға болатындығында. MATLAB тілі – бұл жоғары дәрежеде түсіндірілетін 

программалау тілі. Онда басқа программалау тілінде жазылған матрицаларға негізделген мәліметтер 

құрылымы,  функциялардың  кең  спектрі,  өңдеудің  интеграцияланған  орталары,  программаларға 

нысанды  бағытталған  мүмкіншіліктер  мен  интерфейстер  бар.  MATLAB  пакетінің  құрамында 

графиктер  тұрғызуға  қажетті  көптеген  функциялар  бар.  Олар  екі  және  үш  өлшемді  графиктер 

тұрғызуға, мәліметтерді визуалды талдауға және анимацияланған роликтер құруға мүмкіндік  береді. 

Жүйенің  негізгі  ерекшелігі:  жұмыс  барысында  жүйе  туралы  толық  білім  болмаса  да,  тек  есепті 

шешуге  қажетті  мәліметтерді  білу  жеткілікті.  Дәріс  барысында  студенттер  MATLAB  жүйесін  іске 

 

●

 Физика–математика ғылымдары 

 

424 

                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

қосуды,  жаңа  программаны  жасау  үшін  қажетті  командалармен  танысады.  Физикалық  процестерді 

компьютерлік  модельдеуді  бастамастан  бұрын,  алдын  ала  MATLAB  жүйесінің  командалық 

терезесінде  жұмыс  істеуді,  программалар  жазып,  екі  және  үш  өлшемді  графиктер  тұрғызуды, 

анықталған интегралды есептеуді т.б. оқып үйренеді. Компьютерлік модельдеу белгілі бір реттілікпен 

орындалуы  тиіс.  Тапсырманың  мақсаты  анықталып,  концептуалды  моделі  жасалады.  Одан  кейін 

модельді  іске  асырудың  программа сы  құрылады.  Программа  теріліп,  алдыңғы  пункттер 

орындалғаннан  кейін,  нәтижесіне  талдау  жасалады  және  қорытындыланады.  Практикумда 

орындалатын жұмыстардың бірнешеуін қарастырайық [4].  

Горизонтқа бұрыш жасай лақтырылған дене қозғалысын модельдеу 

Тек  ауырлық  күші  әсерінен  болатын  горизонтқа  бұрыш  жасай  лақтырылған  дене  қозғалысын 

(үйкеліссіз)  қарастырайық.  Мұндай  жағдайда  қозғалысты  сипаттау  үшін  бір  координата  жеткіліксіз. 

хОу  координат  жүйесін  енгізу  керек  және  Охөсін  горизонталь,  Оуөсін  тік  жоғары,  не  тік  төмен 

бағыттау  керек.  Дененің  орны  белгілі  бір  уақыт  бойынша  өзгеретін  х  және  у  екі  координатамен 

беріледі деп есептейміз. Координаттардың өзгеру заңын тағайындалады.                            

Есептің  шарты  бойынша      денеге  ауырлық  күшінен  басқа  ешқандай  күштер  әсер  етпейді  деп 

қарастырсақ, онда Охөсі бойынша қозғалыс бірқалыпты болады, ал дене абцисса бойымен: 

 

t

х

х







 

заңдылығымен  өзгереді,  мұндағы

const

x

x





0





жылдамдықтың  Охөсіне  проекциясы 

болады. 

Ауырлық  күші  денеге  тік  төмен  бағытталған   

g



  үдеу  береді,  сондықтан,  Оуөсіндегі 

жылдамдықтың проекциясы: 

t

g

y

y

y





0





 

заңымен  өзгереді,  мұндағы  υ

0у

,  g

y 

-  бастапқы  жылдамдықтың  және  еркін  түсу  үдеуінің  осы 

оське проекциясы, ал дене ординатасы уақыттың өтуіне орай былай өзгереді: 

 

2

2

0

0

t

g

y

y

y

y

y













 

 

Траектория  теңдеуін,  яғни  у(х)  тәуелділігін  соңғы  өрнектен  уақытты  алып  тастап  табуға 

болады. Уақытты абцисса арқылы өрнектейік:  

 

x

x

t

0





 

 

және оны ордината өрнегіне қойсақ: 

2

0

2

0

0

0

2

x

y

x

y

y

x

g

x

y

y

















 

 

 Мұндағы  υ

0x

  ,  υ

0y

  ,  g

y

  проекция  таңбалары  координат  осьтерінің  бағытына  тәуелді. 

Траекторияның  әр  нүктесінде  дене  жылдамдығы  оған  жанама  бойымен  бағытталған  және  оны  екі 

құраушыға жіктеуге болады: 

y

x

















 

мұндағы 

x

x

0











. Жылдамдық модулі бұл жағдайда: 

2

2

y

x











 

      Бұл жұмыста келесі шамалардың өзара байланысын байқау керек: х және t, у және t, у және 

х,  сонымен  қатар  ұшу  қашықтығының  лақтыру  бұрышына  және  бастапқы  жылдамдық  шамасына 

тәуелділігін тағайындау керек. 

 

жүктеу/скачать 28,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: