Анықталған интеграл. Анықталған интегралды есептеу. Ньютон-Лейбниц формуласы
жүктеу/скачать 68,31 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема.
| Теорема (шектерінің орындарын ауыстыру жайында). Егер интегралдың төменгі және жоғарғы шектерінің орындарын ауыстырсақ, онда интеграл таңбасын ауыстырады:
. Егер a=b болса, онда , себебі . Теорема (интегралдау интервалын бөлу жайында). Егер a,b интегралдау интервалы a,c және c,b бөліктерге бөлінсе, онда . Интегралды бағалау. Орта мән жайындағы теорема. Ньютон-Лейбниц формуласы. Анықталған интегралдағы айнымалыны ауыстыру және бөліктеп интегралдау. Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды шешуді және оны бағалау жолдарын қарастырамыз. Теорема (анықталған интегралды бағалау жөнінде). Анықталған интегралдың мәні интеграл ішіндегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерінің интегралдау интервалына көбейтінділерінің арысында болады, яғни m(b-a)< мұндағы m және M- мәндері f(x) функциясының a;b интервалындағы сәйкес ең үлкен және ең кіші мәндері. Теорема. Егер a;b интервалының әрбір x нүктесінде (x)f(x)(x) болса, онда Теорема (орта мән жайында). a;b интегралдау интервалында теңдігі орындалатындай ең болмағанда бір x= нүктесі бар болады. Теорема. Анықталған интегралдың мәні интеграл астындағы функцияның кез келген алғашқы функциясының жоғарғы және төменгі шектерінің айырымына тең: , мұндағы F(x)=f(x) Бұл теңдік Ньютон – Лейбниц формуласы деп аталады. Мысал. = . Анықталған интегралдағы айнымалыны ауыстыру және бөліктеп интегралдау. 1. Бөліктеп интегралдау формуласы: 2. Айнымалыны ауыстыру формуласы: Айталық x=(u) болсын, онда келесі формула дұрыс болады: Егер u1, u2 интервалында x=(u), (u) және (u) функциялары үздіксіз және (u1)=x1, (u2)=x2 болса, онда f(x) функциясынан a интервалында алынған меншіксіз интеграл интегралының b ұмтылғандағы мәні, яғни . Егер көрсетілген шек бар болса, онда меншіксіз интеграл жинақты, ал егер шегі болмаса, онда жинақсыз деп аталады. Ньютон – Лейбниц формуласының көмегімен, алатынымыз F(b)F(a)=F()F(a), егер a,) интервалы болса, F(a)F(-) , егер a интервалы болса. Егер f(x) функциясы барлық сан осінде анықталған және үздіксіз болса, онда () интервалында меншіксіз интегралды төмендегідей етіп қарастыруға болады . Егер оң жақтағы екі интеграл да жинақты болса, онда интегралы жинақты деп аталады. Егер F(x) алғашқы образ белгілі болса, онда =F()F(), мұндағы F(+)= , F()= . Егер бұл шектердің ең болмағанда біреуі болмаса, онда меншіксіз интеграл жинақсыз. Мысал. интегралы жинақты, себебі интегралы жинақсыз, себебі Интегралдарды жинақтылыққа тексеру үшін келесі белгіні қолданамыз. жүктеу/скачать 68,31 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|