Қоспалы болат қабыршақтарының тотығу тұрақтылығы

Серия «Физика». № 4(80)/2015 

31 

ЖЫЛУ  ФИЗИКАСЫ  ЖƏНЕ  ТЕОРИЯЛЫҚ  ЖЫЛУ  ТЕХНИКАСЫ 

ТЕПЛОФИЗИКА  И  ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ  ТЕПЛОТЕХНИКА 

УДК 51-74 

А.Е.Бакланов

1

, С.В.Григорьева

1

, А.Н.Яковлев

2

 

1

Восточно-Казахстанский государственный технический университет им. Д.Серикбаева, Усть-Каменогорск; 

2

Томский политехнический университет, Россия 

(E-mail: yakovlev_an@tpu.ru) 

Математическое моделирование тепломассопереноса  

в системе теплоотвода для светодиода высокой мощности 

В статье рассматривается тепломассоперенос в системе «основание светодиода – кристаллик – линза – 

окружающий воздух» на основе нестационарных дифференциальных уравнений, описывающих ком-

плекс  взаимосвязанных  процессов  тепломассопереноса.  Предлагается  алгоритм  численного  решения 

уравнений Пуассона, позволяющий получать время прохождения исследуемого процесса, предельные 

токовые нагрузки,  критические внешние условия и температурные режимы работы светодиода. Пред-

ставлены экспериментальные результаты распределения температуры в реальных осветительных при-

борах. 

Ключевые  слова:  тепломассоперенос,  уравнения  Пуассона,  светодиод,  кристаллик,  полупроводник, 

температурный режим, моделирование. 

 

С появлением мощных белых светодиодов открылась возможность их использования в энерго-

сберегающих  системах  освещения.  Эффективность  таких  систем  по  сравнению  с  традиционными 

люминесцентными  лампами  выше  в  два–три  раза.  Однако  при  эксплуатации  светодиодных  освети-

тельных приборов выяснилось, что в реальных условиях при токах 350 – 700 мА и мощностях 1–3 Вт 

сложно обеспечить оптимальный теплоотвод. В связи с этим большинство осветительных приборов 

имеют срок службы в десятки раз меньше заявленного срока эксплуатации производителем. Это про-

исходит из-за появления деградации кристаллика светодиода, связанной с повышенной рабочей тем-

пературой светодиодов.  

Традиционно  расчет  теплоотвода  от  светодиода осуществляется  с  использованием  приближен-

ных  формул,  полученных  и  используемых  для  расчета  радиаторов  полупроводниковой  элементной 

базы. Однако из-за введенных приближений в этих формулах не всегда расчеты отражают реальную 

картину распространения тепла в системе «основание светодиода – кристаллик – линза – окружаю-

щий воздух». В связи с этим нами была предложена и численно подсчитана задача тепломассопере-

носа в светодиоде с использованием уравнений Пуассона. 

Рассмотрим процесс теплопереноса в типичном светодиоде. Известно [1, 2], что строение свето-

диода  определяет  мощность  излучения,  зависящую  от  прямого  тока.  Световой  поток,  излучаемый 

светодиодом, напрямую зависит от прямого тока, протекающего через изделие. Чем больше ток, тем 

больше поток излучения светодиода. Это связано с тем, что с увеличением тока растет число элек-

тронов и дырок, поступающих в зону рекомбинации в единицу времени. Но ток нельзя увеличивать 

до больших значений. Из-за внутреннего сопротивления полупроводника и p-n перехода кристаллик 

перегревается и диод может выйти из строя. Кроме того, на температурный режим светодиода влия-

ют  внешние  условия  (температура,  влажность  и  т.д.)  функционирования  полупроводникового  эле-

мента.  Так,  например,  известны [3, 4] достаточно  существенные  масштабы  влияния  температуры 

окружающей  среды  на  электрические  (прямое  напряжение,  потребляемая  энергия),  энергетические 

(осевая сила света, световой поток, оптическая мощность) и калориметрические (относительное спек-

А.Е.Бакланов, С.В.Григорьева, А.Н.Яковлев 

32 

Вестник Карагандинского университета 

тральное распределение света, относительная спектральная световая эффективность и т.д.) характе-

ристики работы светодиодов.  

Цель выполнения численного анализа рассматриваемого процесса — определение оптимальных 

тепловых условий эксплуатации светодиода, создание рекомендаций по рациональному выбору ма-

териалов  для  изготовления  комплектующих  и  уменьшению  износа  полупроводникового  изделия 

вследствие изменения тепловых условий функционирования излучающего кристалла. 

Рассматривается конструкция типового светодиода, схема которого представлена на рисунке 1. 

 

1

R

2

R

3

R

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

5

Z

m

R

1 – основание – катод; 2 – проводник – анод;  

3 – кристаллик; 4 – линза; 5 – рефлектор 

Рисунок 1. Устройство типового светодиода 

1 – основание; 2 – кристаллик; 3 – компаунд в линзе; 

4 – окружающий воздух 

Рисунок 2. Схема области решения задачи  

тепломассопереноса 

При  физической  постановке  задачи  учитываются  следующие  процессы.  При  протекании  тока 

через p-n переход в кристаллике происходит выделение энергии в форме излучения. Как следствие, 

кристаллик нагревается. За счет рефлектора излучения в основание не происходит, и лучи отражают-

ся. Таким образом, формируются потоки излучения от кристаллика, которые фокусируются линзой. 

За счет теплопроводности и излучения основание и оптически прозрачный полимерный корпус (линза), 

заполненный компаундом, нагреваются. С течением времени степень нагрева кристаллика, основания 

и  фокусирующей  линзы  возрастает.  Это  в  предельных  случаях  может  приводить  к  плавлению  кри-

сталлика и последующему выходу из строя светодиода.  

Одной  из  задач  теоретического  исследования  может  быть  установление  предельных  значений 

токов и времени функционирования светодиода без перегрева комплектующих элементов. Предвари-

тельный анализ показывает, что это возможно при численном решении задачи тепломассопереноса, 

так как натурный и лабораторный эксперименты требуют больших затрат времени и материальных 

ресурсов.  

Рассматривается осесимметричная постановка (рис. 2). Учитываются два механизма теплопере-

носа в светодиоде: излучение и теплопроводность. При этом не учитываются преломление, поглоще-

ние, рассеивание и фокусировка лучей линзой, а также зависимость теплофизических характеристик 

от  температуры.  Для  области  окружающего  светодиод  воздуха  учитываются  два  механизма  тепло-

массопереноса: конвекция и теплопроводность. 

Предполагается, что пространство внутри линзы заполнено однородной средой – компаундом с 

постоянными теплофизическими характеристиками. Это допущение является типичным при модели-

ровании процессов теплопереноса в оптических элементах и не накладывает существенных ограни-

чений на общность постановки задачи. 

Из рисунка 2 видно, что основную трудность при моделировании процессов тепломассопереноса 

представляет конфигурация светодиода. Реализация алгоритма численного решения предусматривает 

достаточно трудоемкое сопряжение сферической (полярной) и цилиндрической координатных сеток. 

К  тому  же  важную  роль  играют форма  рефлектора,  ширина  «запрещенной»  зоны  кристаллика  и  ее 

Математическое моделирование тепломассопереноса… 

Серия «Физика». № 4(80)/2015 

33 

изменение  с  ростом  температуры.  Следует  подчеркнуть,  что  при  моделировании  рассматриваются 

наиболее типичные конфигурации фокусирующей линзы и рефлектора. 

Рассмотрим  математическую  модель.  Система  нестационарных  дифференциальных  уравнений, 

описывающих  комплекс  взаимосвязанных  процессов  тепломассопереноса,  протекающих  в  системе 

«основание светодиода – кристаллик – линза – окружающий воздух», соответствующая сформулиро-

ванной физической постановке задачи, имеет следующий вид. 

Уравнение энергии для основания (0 < R < R

3

, 0 < Z < Z

1

): 

 

2

2

1

1

1

1

1 1

1

2

2

1

.

T

T

T

T

C

t

r

r r

z





































 (1) 

Уравнение энергии для кристаллика (0 < R < R

1

, Z

1

 < Z < Z

2

): 

 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

.

cr

T

T

T

T

Q

C

t

r

r r

z

V t







































 (2) 

Уравнение энергии для компаунда линзы в цилиндрической части (R

1

 < R < R

2

, Z

1

 < Z < Z

2

; 0 < R < 

< R

2

, Z

2

 < Z < Z

3

): 

 

2

2

3

3

3

3

3

3

3

2

2

1

.

T

T

T

T

C

t

r

r r

z





































 (3) 

Уравнение энергии для компаунда линзы в сферической части (0 < φ < φ

m

, 0 < R < R

m

): 

 

2

2

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

1

1

.

T

T

T

T

C

t

r

r r

r





































 (4) 

Уравнения энергии, движения и неразрывности для окружающего воздуха (R

2

 < R < R

3

, Z

1

 < Z < Z

3

; 

Δ

1

 < R < R

3

, Z

3

 + Δ

2

 < Z < Z

4

; 0 < R < R

3

, Z

4

 < Z < Z

5

): 

 

2

2

4

4

4

4

4

4

4

4

4

2

2

1

,

T

T

T

T

T

T

C

u

t

r

z

r

r r

z





























































 (5) 

 

2

2

4

4

2

2

2

4

1

1

,

P

u

u

u u

u

u

u

u

u

t

r

z r

r

r

r r

z

r























  



















 











 (6) 

 





2

2

4

4

4

0

2

2

4

1

1

,

P

u

u

u

v

u

g T T

t

r

z

z

r

r r

z















  



 

 





















 











 (7) 

 

( )

( )

0.

ru

z

r

z



 









 (8) 

Здесь  u,  v — составляющие  скорости  конвекции  воздушных  потоков  в  проекции  на  ось  r  и  z 

в цилиндрической системе  координат,  м/с;  r,  z — координаты  цилиндрической  системы  координат; 

r, φ — координаты сферической системы координат; R

m

 — радиус сферической части линзы (R

m

 = R

2

); 

φ

m

 — масштаб по сферической координате (φ

m

 = π/2); t — время, с; ρ — плотность, кг/м

3

; P — давле-

ние, Н/м

2

; ν — кинематическая вязкость, м

2

/с; β — коэффициент термического расширения, К

-1

; 

g —  ускорение  свободного  падения,  м/с

2

;  Т — температура,  К;  Т

0

 — начальная  температура,  К; 

С —  удельная  теплоёмкость,  Дж/(кгК); λ — коэффициент  теплопроводности,  Вт/(мК);  V

cr

 — объем 

кристаллика, м

3

; Q — количество тепла, выделяемое в кристаллике при протекании электрического 

тока, Дж.  

По закону Джоуля-Ленца количество тепла, выделяемое в кристаллике при протекании электри-

ческого тока, можно определить из следующего выражения [5]:  

 

2

,

Q I R t



   (9) 

где I — сила тока, А; R — электрическое сопротивление, Ом; t – время, с. 

Поскольку целью настоящего исследования является анализ теплового состояния сложной полу-

проводниковой системы – светодиода, то наиболее целесообразным представляется преобразование 

сформулированной системы дифференциальных уравнений (1)–(8) к виду, исключающему непосред-

ственный поиск поля давления P. 

Для этого вводятся в рассмотрение функция тока ψ и вектор вихря скорости ω, которые задаются 

следующим образом [6, 7]: 

А.Е.Бакланов, С.В.Григорьева, А.Н.Яковлев 

34 

Вестник Карагандинского университета 

 

1

1

,

,

.

u

u

r z

r r

r

z





 

 

 













 (10) 

После подстановки выражений для компонентов скорости u, v (10) в уравнение неразрывности 

(8) получаем уравнение Пуассона следующего вида: 

 

2

2

2

2

1

.

r

r

r r

z

 

  





  







 (11) 

Уравнение движения в переменных «функция тока — вектор вихря скорости» имеет следующий вид: 

 

2

2

2

2

1

.

T

u

u

g

t

r

z

r

r

r r

z

r













 

  









 





 























 (12) 

Анализ приведенных нелинейных нестационарных уравнений (11), (12) показывает, что целесо-

образно  применение  безразмерной  формы  записи  дифференциальных  уравнений  для  уменьшения 

числа параметров, от которых зависит решение. 

При переходе к безразмерным переменным в качестве масштабов расстояния,  времени, скоро-

сти, температуры, функции тока и завихренности выбраны: 

,

;

m

m

r

z

R

Z

z

z





 

,

,

;

m

m

m

m

m

m

z

t

t

V

g

Tz

t

V









 

,

;

m

m

u

U

V

V

V







 

0

0

,

;

m

T T

T T

T

T



 

 





 

2

,

,

,

,

m

m

m m

m

m

m

m

V

V z

z





 



 

 





 

где  t

m

 — масштаб  времени,  с;  z

m

 — масштаб  расстояния,  м  (z

m

 = z

5

);  V

m

 — масштаб  скорости,  м/с; 

T

m 

— масштаб температуры, К;  ψ

m

 — масштаб функции тока, м

2

/с;  ω

m

 — масштаб вектора вихря, с

-1

; 

τ — безразмерное время; U, V — безразмерные составляющие скорости конвекции в проекции на оси 

цилиндрической системы координат r и z; Θ — безразмерная температура; Ψ — безразмерный аналог 

функции тока; Ω — безразмерный аналог вектора вихря. 

Таким образом, процессы тепломассопереноса в системе «основание светодиода – кристаллик – 

линза – окружающий воздух» в безразмерных переменных описывает следующая система уравнений. 

Для основания (0 < Z < Z

1

, 0 < R < R

3

) 

уравнение энергии 

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1

.

Fo

R

R R

Z



 



 















 

Для кристаллика (Z

1

 < Z < Z

2

, 0 < R < R

1

) 

уравнение энергии 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

.

m

cr

Qr

Fo

R

R R

Z

V

T t



 



 

















 

 

Для наполнителя (компаунда) в цилиндрической части линзы при Z

1

 < Z < Z

2

, R

1

 < R < R

2

; Z

2

 < Z < 

< Z

3

, 0 < R < R

2

 

уравнение энергии 

2

2

3

3

3

3

2

2

3

1

1

.

Fo

R

R R

Z



 



 















 

Для наполнителя (компаунда) в сферической части линзы при 0 < R < R

m

, 0 < φ < φ

m

: 

уравнение энергии 

2

2

3

3

3

3

2

2

2

3

1

1

1

.

Fo

R

R R

R



 



 















 

Математическое моделирование тепломассопереноса… 

Серия «Физика». № 4(80)/2015 

35 

Для воздуха вне линзы при Z

1

 < Z < Z

3

, R

2

 < R < R

3

; Z

3

 < Z < Z

4

, R

2

-Δ

1

 < R < R

3

; Z

4

 < Z < Z

5

, 0 < R < R

3

: 

уравнение Пуассона 

2

2

2

2

1

;

R

R

R R

Z

 

  





  







 

уравнение завихренности 

2

2

4

4

2

2

2

4

Pr

1

1

;

U

V

U

Sh

R

Z

R

Ra

R

R R

Z

R

R



 









 

   







































 

уравнение энергии 

2

2

4

4

4

4

4

4

2

2

4

4

1

1

1

.

Pr

U

V

Sh

R

Z

R

R R

Z

Ra











 



 































 

Здесь Fo, Sh, Pr, Ra — безразмерные  комплексы  (число  Фурье 

2

,

m

m

t

Fo

Cz







  число  Струхаля 

,

m m

m

V t

Sh

z



 число Прандтля  Pr

,

C

 





 число Рэлея 

3

m

g Tz C

Ra

 







). 

Рассмотрим алгоритм численного моделирования. 

1.  На  первом  шаге  по  времени  строится  итерационный  цикл  для  определения  температурного 

поля  в  рассматриваемой  системе.  В  качестве  начального  приближения  задается  значение  сеточной 

функции на предшествующем временном слое. Итерационный цикл заканчивается при условии 

( )

( 1)

max

,

s

s



 

  

где 

 — заданное малое число; s — номер итерации.  

Если в результате итерационного цикла требуемая точность вычислений не достигается, то по-

лученное приближение 



(s)

 задается в качестве начального в систему разностных аналогов уравнений 

энергии и теплопроводности для определения очередного приближения 



(s-1)

. При достижении задан-

ной точности вычислений выполняется переход к следующему временному слою. 

Для достижения сходимости итерационного цикла в условиях высоких скоростей теплопереноса 

традиционная  схема  итерационного  алгоритма  дополняется  процедурой  «усреднения  итераций». 

Вводится итерационный коэффициент последовательного усреднения 

. В этом случае значение ис-

комой функции 



*

(s + 1)

, вводимое на каждой итерации в качестве последнего приближения в соответ-

ствующие  разностные  операторы,  отличается  от  фактически  вычисленного  на  последней  итерации 

значения 



(s + 1)

 и вычисляется для каждого узла итерационной сетки по следующей формуле: 





( 1)

( )

( 1)

( )

*

, 0

1.

s

s

s

s







    

 

    

Введение  такой  процедуры  приводит  к  существенному  снижению  скорости  сходимости  итера-

ций в процессе решения задачи, но обеспечивает сходимость. 

В  выполняемых  расчетах  точность  вычислений  температуры  принимается  равной 0,5 К  ввиду 

минимально возможной в такой постановке температуры Θ = 0,3.  

2. При  известных  значениях  температуры  в  каждом  узле  пространственной  сетки  вычисляется 

значение функции тока 

. 

3. По найденным значениям функции тока 

 и температуры в каждом узле сетки итерационным 

путем определяются значения вектора вихря скорости 

.  

4. По значениям вектора вихря скорости 

 и функции тока  вычисляются компоненты скоро-

сти конвекции воздушных потоков U и V по выражениям (10).  

5. Для  контроля  точности  проводимых  вычислений  в  каждом  узле  сетки  выполняется  оценка 

достоверности полученных результатов по результатам анализа консервативности разностной схемы.  

6. Затем проверяются условия окончания вычислений по превышению температуры кристаллика 

предельных  значений  (температур  плавления  компаунда,  кристаллика,  основания).  В  случае  невы-

полнения  условий  окончания  вычислений  выполняется  переход  на  следующий  временной  слой 

и определяются поля температуры, функции тока, вектор вихря скорости, проверяется достоверность 

полученных результатов и условий окончания вычислений по пунктам 1–6 данного алгоритма. В слу-

А.Е.Бакланов, С.В.Григорьева, А.Н.Яковлев 

36 

Вестник Карагандинского университета 

чае  выполнения  условий  окончания  вычислений  определяется  время  прохождения  исследуемого 

процесса,  предельные  токовые  нагрузки,  критические  внешние  условия  и  температурные  режимы 

работы светодиода. 

На основании проведенных предварительных расчетов была разработана конструкция светоди-

одного светильника типа «Armstrong». Использовались светодиоды от производителей Nichia и LG со 

следующими характеристиками (табл. 1). 

Т а б л и ц а   1  

жүктеу/скачать 11,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: