Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

152
сияқты алты теңдеу жүйесі шығады. Мұндағы, 
Z
Y
X
,
,
вектор 
F
- тің координаталар осьтеріне проекцияланады.
Векторлық теңдеуді (1) екі векторлық теңдеулер жүйесі тү-
рінде жазуға болады, егер жылдамдықты 
d r
V
dt
=
белгісіз функ-
ция десек,
d r
dV
V
m
F t r V
dt
dt
,
( , , )
=
=
(4)
Вектор 
R t
x t y t z t x t y t z t
( ) ( ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ))
=
′
′
′
енгізсек, онда 
теңдеу (1) немесе теңдеулер жүйесі (3), алты өлшемді кеңістікте 
бірінші ретті векторлық теңдеумен алмасады:
d R
t x y z u
w
dt
( , , , , , , ).
ϑ
= Φ
(5)
Физикада алты өлшемді кеңістік нүктелерін
)
,
,
,
,
,
(
)
,
,
,
,
,
(
z
y
x
z
y
x
V
V
V
r
r
r
z
y
x
z
y
x
≡
′
′
′
фазалық
, ал (5) теңдеу шешімі болатын 
)
(
t
R
сызығын 
фа залық 
траектория
деп атайды.
Фазалық кеңістік – нүктенің сызық бойымен қозғалғандағы 
күйлерінің кеңістігі.
)
(
t
R
векторының алғашқы үш координаталары нүктенің 
кеңіс тіктегі орнын 
)),
(
(
t
r
ал қалған үш координаталары оның 
жылдамдығын 
)
(
t
r
′
сипаттайды.
Бұл түсініктер теңдеулер жүйесінің кинематикалық мағынасын 
береді.
Жүйені (3) немесе теңдеуді (5) динамикалық жүйе деп атайды.
Жеке траекторияны бөліп қарау үшін бастапқы шарт 
)
,
,
;
,
,
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
z
y
x
z
y
x
R
t
R
′
′
′
=
=
қойылады, яғни нүктенің бас-
тапқы орны жəне жылдамдығы беріледі.
−
+
)
1
(
n
өлшемді кеңістік нүктелері 
)
,...,
,
(
1
n
x
x
t
жиынында, 
бірінші ретті теңдеулер жүйесінің 
i
i
n
dx
f t x
x
dt
1
( , ,..., )
=
n
i
,
1
=
(6)

153
бастапқы шарттарды 
n
n
x t
x
x t
x
1 0
10
0
0
( )
, ..., ( )
=
=
(7)
қанағаттандыратын шешімін іздеуді
Коши есебі
деп атайды.
Ізделінді 
)
(
t
x
i
функцияларының туындылары бойынша 
шешілген (6) жүйені 
нормальдық
, ал 
i
i
n
dx
f x
x
dt
1
( , ..., )
=
n
i
,
1
=
(8)
жүйесін 
автономдық нормальдық жүйе
 
деп атайды. Автономды 
жүйеде 
i
f
функциялары 
t
айнымалысынан айқын емес тəуелді.
Векторлар енгізсек,
n
x
x t
x t
1
( ( ), ..., ( )),
=
n
x
x
x
0
10
0
( ,...,
)
=
))
,...,
,
(
),....,
,...,
,
(
(
)
,
(
1
1
1
n
n
n
x
x
t
f
x
x
t
f
x
t
F
=
Жүйе (6) 
x
F t x
( , ),
=
′
(6´) бастапқы шарт
0
0
)
(
x
t
x
=
, (7´) 
автономдық жүйе 
n
X
F X
F
f x
f x
1
( ),
( ( ), ..., ( ))
=
=
′
(8´) түрінде 
жазылар еді.
Автономды жүйе 
n
-өлшемді кеңістік жиынының əрбір нүкте-
сінде 
n
x
x
1
( , ..., ),
вектор
1
1
1
( ) ( ( , ..., ), ..., ( , ...,
))
n
n
n
F x
f x
x
f x
x
=
арқылы векторлар өрісін анықтайды.
Шешім 
)
(
t
X
нүктенің 
n
-өлшемді кеңістіктегі қозғалысы-
ның жеке траекториясын береді, ал жылдамдық векторы 
)
(
t
X
′
−
)
...,
,
(
1
n
x
x
нүктесінен өту сəтінде 
)
(
x
F
векторына тең.
Автономды жүйе (8´) шешімдері түсіндірілетін нүктелердің 
)
...,
,
(
1
n
x
x
n
-өлшемді кеңістігі, жүйенің
фазалық кеңістігі
деп 
аталады. 
Траекториялар 
)
(
t
X
фазалық траекториялар
, ал векторлар 
)
(
x
F
фазалық жылдамдықтар 
делінеді.

154
§ 18. Теңдеулер жүйелерін шешу əдістері
Нормальдық түрдегі теңдеулер жүйесін шешудің екі əдісін 
қарастырамыз.
1. 
Жоғарғы ретті теңдеуге келтіріп шешу əдісі.
n 
ретті дифференциалдық теңдеуді
)
...,
,
,
,
(
)
1
(
)
(
−
′
=
n
n
x
x
x
t
f
x
(1)
i
i
n
dx
f t x
x
dt
1
( , ,..., )
=
n
i
,
1
=
(2)
нормальдық жүйеге келтіруге болады жəне керісінше, көп жағ-
дайда жүйені 
n
ретті теңдеуге келтіріп шешу нəтижесінде жүйе 
шешімін табады.
1-мысал
. Дифференциалдық теңдеуді нормальдық жүйеге ал-
мастыру керек 
y
xyy
y
3
0.
−
+
=
′′′
′
′
Шешуі. Келесі белгілеулерді енгіземіз:
.
,
,
u
y
u
y
z
y
′
=
′′′
=
′′
=
′
Онда:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
′
=
′
=
′
3
,
,
z
xyz
u
u
z
z
y
нормальдық түрдегі дифференциалдық теңдеулер жүйесі шығады.
2-мысал
. Теңдеулер жүйесін екінші ретті теңдеуге келтіріп, 
шешу керек:
⎩
⎨
⎧
−
=
′
=
′
.
4
,
y
z
z
y
Шешуі. Жүйенің бірінші теңдеуін дифференциалдасақ,
⎩
⎨
⎧
−
=
′
′
=
′′
,
4
,
y
z
z
y

155
немесе
0
4
=
+
′′
y
y
екінші ретті теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің 
жалпы шешімі
x
C
x
C
y
2
sin
2
cos
2
1
+
=
болғандықтан, 
...
2
cos
2
2
sin
2
2
1
x
C
x
C
y
z
+
−
=
′
=
Сонымен 
,
2
sin
2
cos
2
1
x
C
x
C
y
+
=
x
C
x
C
z
2
cos
2
2
sin
2
2
1
+
−
=
берілген теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі.
Теңдеулер жүйесі (2) жəне осы жүйенің теңдеулерін қа-
жетінше дифференциалдаудан шыққан барлық теңдеулерден, 
белгісіз функцияларды жою нəтижесінде, əрқайсысының құра-
мында бір ғана белгісіз функция бар жоғары ретті бір немесе 
бірнеше дифференциалдық теңдеулер шығады. Осы жоғары 
рет ті теңдеудің немесе теңдеулердің шешімдері, қалған белгісіз 
функ цияларды, мүмкіндігінше интегралдау амалынсыз табуда 
қолданылады.
Жоғары ретті теңдеуге келтірудің жалпы сызбасы мынадай. 
Теңдеулер жүйесінің (2) бірінші теңдеуін 
)
1
(
−
n
рет дифференци-
алдап, əрбір рет 
i
dx
dt
мəндерін, осы жүйенің қалған теңдеулері нен 
қойып отыру нəтижесінде: 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
dx
F t x
x
dt
d x
F t x
x
dt
d
x
F
t x
x
dt
d x
F t x
x
dt
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
( , ,..., ),
( , ,..., ),
.................................
( , ,..., ),
( , ,..., )
−
−
−
⎫
=
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
=
⎭
(3)
жүйені аламыз. 
Жүйенің (3) алғашқы 
1
−
n
теңдеулерінен 
n
x
x
...,
,
2
функция-
ларын анықтап, соңғы теңдеуіне қойсақ, 

156
n
n
n
n
d x
dx
d
x
F t x
dt
dt
dt
1
1
1
1
1
1
, ,
, ...,
−
−
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
(4) 
теңдеуі шығады.
Осы теңдеуді шешіп, бастапқы жүйенің шешімдерін табамыз.
3-мысал
. Теңдеулер жүйесін шешу керек:
dx
y
dt
dy
x
dt
4 ,
.
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪
=
⎪⎩
Шешуі. Бірінші теңдеуден туынды алсақ, 
d x
dy
dt
dt
2
2
4
=
теңдігі, ал 
жүйенің екінші теңдігін қолдансақ, екінші ретті, бір белгісізді 
теңдеу 
d x
x
dt
2
2
4
=
шығады, немесе 
.
0
)
(
4
)
(
=
−
′′
t
x
t
x
Соңғы теңдеудің сипаттамалық түбірлері 
2
,
2
2
1
=
−
=
k
k
бол ғандықтан, жалпы шешімі: 
.
)
(
2
2
2
1
t
t
e
C
e
C
t
x
+
=
−
Бастапқы берілген жүйенің бірінші теңдеуінен 
(
)
t
t
dx
y
C e
C e
dt
2
2
1
2
1
1 2
2
4
4
−
=
=
−
+
.
Сонымен жүйенің жалпы шешімі: 
.
2
1
2
1
)
(
,
)
(
2
2
2
1
2
2
2
1
t
t
t
t
e
C
e
C
t
y
e
C
e
C
t
x
+
−
=
+
=
−
−
Мұнда 
)
(
t
y
функциясын бірінші теңдеу арқылы интегралдаусыз 
анықтадық. Егер екінші теңдеуді қолдансақ,

157
t
t
t
C
dy
C e
C e
y t
e
dt
2
2
2
1
1
2
,
( )
2
−
−
=
+
= −
+
3
2
2
2
C
e
C
t
+
+
болып шығар еді, яғни 
3
C
бойынша артық 
шешім дер алынады. Жүйенің шешімі тек 
0
3
=
C
болғанда ғана 
бар.
4-мысал
. Теңдеулер жүйесін шешу керек
dx
y
t
dt
dy
x
dt
y
2
sin ,
.
2
⎧
=
+
⎪⎪
⎨
⎪
=
⎪⎩
Шешуі. Бірінші теңдеуді туындыласақ,
d x
dy
y
t
dt
dt
2
2
2
cos .
=
+
Екінші теңдеуде 
dy
y
x
dt
2
=
болғандықтан, 
d x
x
t
dt
2
2
cos
= +
тең деуі шығады. Бұл екінші ретті біртекті емес теңдеудің жалпы 
шешімі
.
cos
2
1
)
(
2
1
t
e
C
e
C
t
x
t
t
−
+
=
−
Жүйенің бірінші теңдеуінен 
t
t
dx
y
t C e
C e
t
dt
2
1
2
1
sin
sin .
2
−
=
−
=
−
−
Белгісіз функциялардың 
k
x t
x t
1
( ), ..., ( )
жоғарғы ретті туын-
дылары бойынша шешілген

158
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
−
−
)
...,
,
...,
,
...,
,
,
(
)
(
,
)
...,
,
...,
,
...,
,
,
(
)
(
,
)
...,
,
...,
,
...,
,
,
(
)
(
)
1
(
)
1
(
1
1
)
(
)
1
(
)
1
(
1
1
2
)
(
2
)
1
(
)
1
(
1
1
1
)
(
1
1
1
2
1
1
k
k
k
k
p
k
k
p
k
p
k
p
k
k
p
p
p
k
k
p
p
x
x
x
x
t
f
t
x
x
x
x
x
t
f
t
x
x
x
x
x
t
f
t
x
(5) 
теңдеулер жүйесі 

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: