§19. Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйелері

164
n
i
ij
j
i
j
dx
a t x
f t
i
n
dt
1
( )
( ),
1,
=
=
+
=
∑
(1)
бірінші ретті 
n
сызықты теңдеулер жүйесі деп аталады.
Вектор-бағандар
,
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
t
x
t
x
t
x
t
X
n
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
t
f
t
f
t
f
t
F
n
жəне матрица 
n
n
nn
a t
a t
A
a t
a t
11
1
1
( )
( )
( )
( )
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
енгізсек, теңдеулер жүйесі (1): 
dX t
AX t
F t
dt
( )
( )
( )
=
+
(2) 
түрінде жазылады.
Егер барлық 
ij
i
a t
f t
( ), ( )
функциялары кесіндіде 
b
t
a
≤
≤
үздіксіз болса, онда əрбір 
n
t x x
x
a t
b
0
10
20
0
0
( , , , ,
),
≤ ≤
…
нүктенің 
жеткілікті кіші төңірегінде жалғыз шешім бар болу туралы тео-
рема шарттары орындалады, демек, əрбір нүктеден жүйенің (1)
жалғыз интегралдық сызығы өтеді.
Сызықты оператор
dX
L X
AX
dt
[ ]
≡
−
енгізіп, теңдеулер жүйесін (1) қысқаша былай жазуға да болады
.
]
[
F
X
L
=
(3)
Егер барлық
n
i
t
f
i
,
1
,
0
)
(
=
≡
болса, онда теңдеулер жүйесі 
(1) сызықты біртекті деп аталады, онда 
[ ]
.
0
=
X
L
(4)
Оператордың
L
негізгі екі қасиеті бар:
1) 
[ ]
[ ]
L cX
cL X
=
,
c
- кез келген тұрақты;
2) 
.
]
[
]
[
]
[
2
1
2
1
X
L
X
L
X
X
L
+
=
+

165
Шындығында, 
d cX
dX
A cX
c
AX
dt
dt
( )
( )
,
⎡
⎤
−
≡
−
⎢
⎥
⎣
⎦
d X
X
dX
dX
A X
X
AX
AX
dt
dt
dt
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
.
+
⎛
⎞ ⎛
⎞
−
+
≡
−
+
−
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
Осы екі қасиеттен тікелей 
[ ]
∑
∑
=
=
≡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
m
i
i
i
m
i
i
i
X
L
c
X
c
L
1
1
теңдігін 
аламыз, 
i
c
- кез келген тұрақтылар.
Оператордың 
L
қасиеттерімен жеңіл дəлелденетін бірнеше 
теоремаларды қарастырайық.
1-теорема.
Егер 
X
сызықты біртекті теңдеулер жүйесінің 
[ ]
0
=
X
L
шешімі болса, онда 
cX
-те, 
c
-кез келген тұрақты, осы 
жүйенің шешімі.
2-теорема. 
Сызықты біртекті теңдеулер жүйесінің 
[ ]
0
=
X
L
шешімдері-нің
m
X
X
X
,
,
,
2
1
…
кез келген сызықты комбинация-
сы 
∑
=
m
i
i
i
X
c
1
да осы жүйенің шешімі болады.
Дəлелдеуі:
m
i
X
L
i
,
1
,
0
]
[
=
≡
болғандықтан,
[ ]
0
1
1
≡
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∑
∑
=
=
m
i
i
i
m
i
i
i
X
L
c
X
c
L
екендігі айқын, теорема дəлелденді.
3-теорема.
Нақты 
)
(
t
a
ij
коэффициентті сызықты біртекті 
теңдеулер жүйесінің 
[ ]
0
=
X
L
комплексті 
X
U iV
= +
шешімі 
болса, онда бұл шешімнің нақты жəне жорамал бөліктері де жеке-
жеке 
,
2
1
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
m
u
u
u
U
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
m
V
ϑ
ϑ
ϑ
2
1
осы жүйенің шешімдері болады.
Дəлелдеуі:
Берілген 
0
[
]
.
L U
iV
+
≡
0
]
[
≡
U
L
жəне 
0
]
[
≡
V
L
екендігін дəлелдеу керек.

166
L
- операторының қасиеттері бойынша
[
]
[ ]
[ ]
0
.
L U
iV
L U
iL V
+
≡
+
≡
Демек,
0
]
[
≡
U
L
жəне 
0
]
[
≡
V
L
.
Кесіндіде 
b
t
a
≤
≤
векторлар 
)
(
,
),
(
),
(
2
1
t
X
t
X
t
X
n
…
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
t
x
t
x
t
x
t
X
n
i
i
i
i
,
n
i
,
1
=
сызықты тəуелді
деп аталады, егер кемінде біреуі нөл емес 
n
α
α
α
,
,
,
2
1
…
тұрақтылары табылып, барлық 
b
t
a
≤
≤
мəнде-
рінде
0
)
(
.....
)
(
)
(
2
2
1
1
≡
+
+
+
t
X
t
X
t
X
n
n
α
α
α
(5)
тепе-теңдігі орындалса. Егер тепе-теңдік (5) барлық 
0
2
1
=
=
=
=
n
α
α
α
…
болғанда ғана орындалса, онда векторлар 
n
X t X t
X t
1
2
( ),
( ), ,
( )
…
сызықты тəуелсіз
деп аталады.
Векторлық тепе-теңдік (5):
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
≡
≡
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
t
x
t
x
t
x
1
1
2
1
1
.
0
)
(
.
.
.
.
.
.
.
.
,
0
)
(
,
0
)
(
α
α
α
(6)
жүйе түрінде жазылады.
Егер векторлар 
i
X t
i
n
( ),
1,
=
сызықты тəуелді болса немесе 
теңдеулер жүйесінің (6) нөлдік емес 
i
α
шешімдері бар болса, 
онда жүйенің (6) анықтауышы

167
n
n
n
n
nn
x
x
x
x
x
x
W
x
x
x
11
12
1
21
22
2
1
2
. . . . . .
=
Кез келген 
]
,
[
b
a
t
∈
мəнінде нөлге тең. Жүйенің анықтау ы-
шы векторлар жүйесінің 
)
(
,
),
(
),
(
2
1
t
X
t
X
t
X
n
…
Вронский анық-
тауышы
деп аталады.
4-теорема.
Коэффициенттері 
)
(
t
a
ij
кесіндіде 
b
t
a
≤
≤
үз-
діксіз, сызықты біртекті теңдеулер жүйесі (4) шешімдері-
нің 
)
(
,
),
(
),
(
2
1
t
X
t
X
t
X
n
…
Вронский анықтауышы əйтеуір 
бір 
]
,
[
0
b
a
t
∈
нүкте сінде нөлге тең болса, онда бұл шешімдер
)
(
,
),
(
1
t
X
t
X
n
…
кесіндіде 
[ ]
b
a
,
сызықты тəуелді жəне сол 
кесіндіде 
0
≡
W
.
Дəлелдеуі:
Жалғыз шешім туралы теоре-
ма шарттары берілгендіктен, бастапқы 
0
)
(
0
=
t
X
)
0
)
(
,
,
0
)
(
,
0
)
(
(
0
0
2
0
1
=
=
=
t
x
t
x
t
x
n
…
мəні жүйенің (4) нөлдік 
жал ғыз шешімін 
0
)
(
≡
t
X
анықтайды. Анықтауыш 
.
0
)
(
0
=
t
W
Онда кемінде біреуі нөл емес
n
c
c
c
,
,
,
2
1
…
тұрақтылар үшін 
,
0
)
(
)
(
)
(
0
0
2
2
0
1
1
≡
+
+
+
t
X
c
t
X
c
t
X
c
n
n
немесе ашып жазсақ, 
.
0
)
(
.
.
.
.
.
.
.
,
0
)
(
,
0
)
(
1
0
0
2
1
0
1
1
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
t
x
c
t
x
c
t
x
c
Шешім 
∑
=
=
n
i
i
i
t
X
c
t
X
1
)
(
)
(
нөлдік бастапқы 
0
)
(
0
=
t
X

168
шар тын орындайды, демек, жүйенің (4) нөлдік шешімімен бірдей: 
,
0
)
(
1
≡
∑
=
t
X
c
i
n
i
i
)
(
t
X
i
-лер сызықты тəуелді.
5-теорема.
Коэффициенттері 
)
(
t
a
ij
кесіндіде 
b
t
a
≤
≤
үз-
діксіз, сызықты біртекті теңдеулер жүйесінің (4) 
n
сызықты 
тəуелсіз 
n
X t X t
X t
1
2
( ),
( ), ,
( )
…
шешімдерінің сызықты комбина-
циясы 
n
i
i
i
c X t
1
( ),
=
∑
осы жүйенің (4) жалпы шешімі болады.
Дəлелдеуі:
Жалғыз шешім туралы теорема шарттары беріл-
гендіктен, теорема дəлелденеді, егер шешімдегі 
∑
=
n
i
i
i
t
X
c
1
)
(
тұрақтыларды 
i
c
қандай бастапқы шарт берілсе де табуға бо-
латындығына көз жеткізсек.
Кез келген
]
,
[
0
b
a
t
∈
мəнінде берілген
,
)
(
0
0
X
t
X
=
n
x
x
X
x
10
20
0
0
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
бастапқы шартында векторлық теңдеу
∑
=
=
n
i
i
i
X
t
X
c
1
0
0
)
(
немесе 
n
скалярлық теңдеулер жүйесі 
−
i
c
бойынша
1
0
10
1
2
0
20
1
0
0
1
( )
,
( )
,
. . . . . . .
( )
.
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
ni
n
i
c x t
x
c x t
x
c x t
x
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑

169
үйлесімді, себебі оның анықтауышы сызықты тəуелсіз 
n
X
X
X
,
,
,
2
1
…
шешімдерінің Вронский анықтауышы, нөлге ай-
налмайды. Теорема дəлелденді.
Теңдеулер жүйесенің (4) сызықты тəуелсіз 
n
шешімдерін 

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: