Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

113
Кіші сызықсыздықпен берілген сызықсыз емес тербеліс 
теңдеуінің (1) периодты шешімі, А. Пуанкаре жəне А. М. Ляпунов
ұсынған, кіші параметр 
μ
дəрежелерімен қатарға жазу əдісімен 
құрылады. Бұл əдіс қазіргі кезде əрқилы есептерді шешуде 
қолданылады.
Шешімнің параметрден аналитикалық тəуелділігі туралы 
теоремаға сүйенсек, берілген аумақта
)
(
t
f
функциясы үздіксіз,
)
,
,
,
(
μ
x
x
t
F
′
функциясы
t
бойынша үздіксіз, қалған аргументтері
x
x
′
,
жəне модулі жеткілікті аз 
μ
бойынша аналитикалық де-
сек, онда теңдеудің (1) шешімдері 
)
,
(
μ
t
x
параметрдің 
μ
аналитикалық функциялары болады.
Осы шарттар орындалса, периодты
)
,
(
μ
t
x
шешімі келесі 
қатардың қосындысы түрінде іздестіріледі
+
+
+
+
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
2
2
1
0
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
n
n
μ
μ
μ
μ
Қатарды екі рет мүшелеп интегралдап, 
)
,
,
,
(
μ
x
x
t
F
′
функция-
сын
0
0
,
x
x
x
x
′
−
′
−
жəне 
μ
дəрежелеріне жіктеп, теңдеуге (1)
қоямыз
2
0
1
2
( , )
( )
( )
( )
( )
,
n
n
x t
x t
x t
x t
x t
μ
μ
μ
μ
=
+
+
+ +
+
′
′
′
′
′
0
1
( , )
( )
( )
( )
,
n
n
x t
x t
x t
x t
μ
μ
μ
=
+
+ +
+
′′
′′
′′
′′
…
2
0
0
0
0
0
( )
( , , ,0)
( , , ,0)(
)
F
x
a x
f x
F t x x
t x x
x
x
x
μ
∂
⎡
+
=
+
+
−
+
′′
′
′
⎢
∂
⎣
0
0
0
0
0
( , , ,0)(
)
( , , ,0)
F
F
t x x
x
x
t x x
x
μ
μ
⎤
∂
∂
+
−
+
+
′
′
′
′
⎥
∂
∂
′
⎦
(2)
Теңдеудің (2) екі жағындағы бірдей дəрежелі 
μ
коэффи-
циенттерін теңестіріп, аламыз:
x
a x
f t
x
a x
F t x x
F
F
F
x
a x
t x x
x
t x x
x
t x x
x
x
2
0
0
2
1
1
0
0
2
2
2
0
0
1
0
0
1
0
0
( ),
( , , ,0),
( , , ,0)
( , , ,0)
( , , ,0)
...............................................................................................
μ
+
=
′′
+
=
′′
′
∂
∂
∂
+
=
+
+
′′
′
′
′
′
∂
∂
∂
′
......
⎧
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
(3)
8–684

114
Бірінші теңдеуді интегралдап, 
)
(
0
t
x
-ні екінші теңдікке 
қойып, 
)
(
1
t
x
үшін тағы да сызықтық теңдеу аламыз, тағы сол 
сияқты жалғасады, 
)
(
t
x
n
-ні табу үшін де сызықтық теңдеу 
қарастырылады.
Периодты шешімдер қарастырылса оң жағындағы функ-
циялардан периодтылық талап етіледі. Мұнда резонанстық 
емес жағдай 
,
n
a
≠
резонанстық жағдай 
n
a
=
немесе 
,
n
a
→
автономдық жағдай 
)
,'
,
(
''
2
μ
μ
x
x
F
x
a
x
=
+
жеке-жеке шешіледі.
 
§16. Шеттік есептер түсініктері
Бастапқы шартпен берілген есептермен қатар, шет нүкте-
леріндегі шарттарымен де қарастырылатын есептер жиі ұшы-
расады. Мысалы, массасы 
m
материалдық нүкте 
)
,
,
(
r
r
t
F
күші нің 
əсерімен қозғалысында 
0
t
бастапқы сəтінде 
)
(
0
0
t
r
r
=
радиус-
векторымен анықталатын нүктеде, ал 
1
t
t
=
сəтінде 
)
(
1
1
t
r
r
=
радиус-векторымен анықталатын нүктеге түсуі керектігінің қоз-
ғалыс заңын табу керек.
Есеп дифференциалдық теңдеуді
2
2
( , , )
d r
m
F t r r
dt
=
шеттік
,
)
(
0
0
r
t
r
=
1
1
)
(
r
t
r
=
шарттарымен интегралдауға кел-
тіріледі.
Теңдеудің жалпы шешімі болса, есептің берілген шартты 
орындайтын шешімін табу үшін, шеттік шарттарды қолданып, 
тұрақтылардың мəндерін анықтаймыз.
Мұнда нақты шешім барлық уақытта бола бермеуі де жəне 
жалғыз болмауы да мүмкін.
1-мысал.
,
0
=
+
′′
y
y
,
0
)
0
(
=
y
1
1
)
(
y
x
y
=
есебін қарасты-
райық.
Теңдеудің жалпы шешімі 
.
sin
cos
2
1
x
C
x
C
y
+
=
Бірінші шет-
тік шарт 
0
1
=
C
мəнінде орындалғандықтан, шешім
.
sin
2
x
C
y
=
Егер 
π
n
x
≠
1
, 
n
- бүтін болса, екінші шарттан 

115
,
sin
1
2
1
x
C
y
=
.
sin
1
1
2
x
y
C
=
Демек бұл жағдайда есептің жалғыз шешімі бар: 
x
x
y
y
sin
sin
1
1
⋅
=
Егер 
π
n
x
=
1
жəне 
0
1
=
y
болса, онда барлық қисықтар
x
C
y
sin
2
=
шеттік есеп шешімі.
Егер 
π
n
x
=
1
жəне 
0
1
≠
y
болса, онда есептің шешімі жоқ.
Екінші ретті сызықтық теңдеудің шеттік есебін 
қарастырайық:
1
2
( )
( )
( ),
y
P x y
P x y
x
ϕ
+
+
=
′′
′
(1)
.
)
(
,
)
(
1
1
0
0
y
x
y
y
x
y
=
=
(2)
Айнымалыларды сызықтық түрлендіру
0
0
0
1
0
1
)
(
y
x
x
x
x
y
y
y
z
−
−
−
−
−
=
нəтижесінде шеттік шарттар (2) нөлдік шарттарға 
0
)
(
)
(
1
0
=
=
x
z
x
z
келтіріледі, теңдеудің (1) сызықтығы өзермейді.
Теңдеуді (1) 
p x dx
e
1
( )
∫
-ке көбейтіп, 
1
( )
( ( ) )
( )
( ),
( )
p x dx
d
p x y
q x y
f x
dx
p x
e
+
=
′
∫
=
түрге келтіреміз. Сондықтан (1)-(2) шеттік есебін зерттеуді
( ( ) )
( )
( ),
d
p x y
q x y
f x
dx
+
=
′
(3)
0
)
(
)
(
1
0
=
=
x
y
x
y
(4)
шеттік (3)-(4) есебін зерттеумен алмастыра аламыз.

116
Шеттік есепті (3) - (4) 
s
x
=
нүктесінің төңірегінде 
)
(
x
f
функциясы бірлік импульсті, яғни:
( ( ) )
( )
( , )
d
p x y
q x y
f x s
dx
ε
+
=
′
(5)
,
0
)
(
)
(
1
0
=
=
x
y
x
y
мұндағы,
)
,
(
s
x
f
ε
кесіндіде
]
,
[
1
0
x
x
нөлге тең, 
ε
ε
+
<
<
−
=
s
x
s
s
x
,
төңірегінде 
( , )
1
s
s
f x s dx
ε
ε
ε
+
−
=
∫
деп қарастырамыз. Бұл шеттік есептің үздіксіз шешімін
)
,
(
s
x
G
ε
деп 
0
→
ε
шекке көшеміз:
0
lim ( , )
( , ).
G x s
G x s
ε
ε→
=
(6)
Функция
)
,
(
s
x
G
қарастырылып отырған шеттік есептің əсер 
немесе Грин функциясы деп аталады.
Шеттік есептің (3)-(4) шешімі
1
0
( )
( , ) ( )
x
y x
G x s f s ds
x
=
∫
(7)
екендігіне, интегралдық қосындылар шегі арқылы көз жеткіземіз
.
,
)
(
)
,
(
1
∞
→
Δ
∑
=
m
s
s
f
s
x
G
i
i
m
i
Грин функциясының қасиеттері:
1. 
G
(
x,s
) функциясы берілген 
s 
мəнінде 
x
арқылы 
x
0
≤
x
≤
x
1
, 
x
0
≤
s
≤
x
1
аралықтарында үздіксіз;
2. [
x
0
, 
x
1
] кесіндісінің 
x=s
нүктесінен басқа барлық нүкте-
лерінде 
G
(
x,s
) функциясы біртекті
( ( ) )
( )
0
d
p x y
q x y
dx
+
=
′
теңдеуінің шешімі;
3. 
;
0
)
,
(
)
,
(
1
0
=
=
s
x
G
s
x
G

117
4. 
)
,
(
s
x
G
x
′
туындысы 
x=s
нүктесінде үзілісті, секірісі 
;
)
(
1
s
p
Шындығында, 
( ( ) ( , ))
( ) ( , )
( , ),
d
p x G x s
q x G x s
f x s
dx
ε
ε
ε
+
≡
′
( ) ( , )
( ) ( , )
1,
s
s
s
s
p x G x s
q x G x s dx
ε
ε
ε
ε
ε
ε
+
+
−
−
+
=
′
∫
:
0
→
ε
1
[ (
0, )
(
0, )]
.
( )
G s
s
G s
s
p s
+
−
−
=
′
′
Сонымен, (3)-(4) шеттік есептің Грин функциясы 
)
,
(
s
x
G
деп, 
жоғарыда аталған 1) – 4) қасиеттерін орындайтын функцияны ай-
тады.
Теңдеуге (3) тікелей қою жолымен
∫
=
x
x
s
f
s
x
G
x
y
1
0
)
(
)
,
(
)
(
фунциясының есептің шешімі екендігіне 
көз жеткізіміз.
Шындығында,
1
1
0
0
( )
( , ) ( )
( , ) ( )
( , ) ( ) ;
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y x
G x s f s ds
G x s f s ds
G x s f s ds
=
=
+
′
′
′
′
∫
∫
∫
1
0
( )
( , ) ( )
( ,
0) ( )
( , ) ( )
x
x
xx
x
xx
x
x
y
x
G
x s f s ds
G x x
f x
G
x s f s ds
=
+
−
+
−
′′
′′
′
′′
∫
∫
1
0
( ,
0) ( )
( , ) ( )
[ (
0, )
(
0, )] ( ).
x
x
xx
x
x
x
G x x
f x
G
x s f s ds
G x
x
G x
x f x
−
+
=
+
+
−
−
′
′′
′
′
∫
Онда: 
1
0
[ ( )
( , )
( ) ( , )
( ) ( , )]
x
xx
x
x
p x G
x s
p x G x s
q x G x s dx
+
+
+
′′
′
′
∫
( )[ (
0, )
(
0, )] ( )
( ).
x
x
p x G x
x
G x
x f x
f x
+
+
−
−
≡
′
′

118
Грин функциясын құру əдісімен, оның бар болуының 
жеткілікті шартын көреміз.
Теңдеудің
( ( ) )
( )
0,
d
p x y
q x y
dx
+
=
′
(8)
0
)
(
,
0
)
(
0
0
0
≠
′
=
′
=
y
x
y
x
y
бастапқы шарттарын қанағаттандыратын 
)
(
1
x
y
шешімін қа-рас-
тырайық. Бұл шешім жалпы жағдайда екінші шеттік шартты 
0
)
(
1
=
x
y
қанағаттандырмайды.
Шешімдер 
C
1
y
1
(
x
), 
C
1 
- кез келген тұрақты, шеттік шартты 
0
)
(
0
=
x
y
қанағаттандырады. Осы сияқты шеттік 
0
)
(
1
2
=
x
y
шартын қанағаттандыратын 
)
(
2
x
y
шешімі табылады; онда бұл 
шартты барлық 
C
2
y
2
(
x
), 
C
2
- кез келген тұрақты, шешімдері де 
орындайды.
Грин функциясы
1 1
0
2 2
1
( ),
,
( , )
( ),
,
C y x
x
x
s
G x s
C y x
s
x
x
≤ ≤
⎧
= ⎨
≤ ≤
⎩
түрінде іздестіріліп, тұрақтылар 
C
2
,
C
2
3) жəне 4) қасиеттердің 
орындалуынан табылады, яғни:
1 1
2 2
2 2
1 1
1
( )
( ),
( )
( )
.
( )
C y s
C y s
C y s
C y s
p s
=
⎫
⎪
⎬
−
=
′
′
⎪⎭
(9)
Теңдеулер жүйесінің (9) анықтауышы Вронский анықтауышы 
1
2
( ( ), ( ))
( )
W y x y x
W x
=
болғандықтан, 
s
x
=
нүктесінде нөл емес. 
Бұдан: 
,
)
(
)
(
)
(
2
1
s
p
s
W
s
y
C
=
,
)
(
)
(
)
(
1
2
s
p
s
W
s
y
C
=
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤
<
≤
≤
=
.
,
)
(
)
(
)
(
)
(
,
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
1
2
1
0
1
2
x
x
s
s
p
s
W
x
y
s
y
s
x
x
s
p
s
W
x
y
s
y
s
x
G
(10)

119
2-мысал.
Шеттік есептің Грин функциясын табу керек:
0
0
0
2
( )
( ), ( )
,
.
y
y x
f x
y
y
π
⎛ ⎞
+
=
=
=
′′
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Шешуі. Тиісті біртекті теңдеудің
,
0
)
(
=
+
′′
x
y
y
берілген шарттарды 
0
)
0
(
=
y
жəне 
0
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
y
орындайтын ше-
шімдері 
x
C
y
sin
1
1
=
жəне 
x
C
y
cos
2
2
=
болғандықтан, (10)
формула бойынша,
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
<
−
≤
≤
−
=
.
2
,
cos
sin
,
0
,
sin
cos
)
,
(
π
x
s
x
s
s
x
x
s
s
x
G
3-мысал.
Шеттік есеп үшін Грин функциясын құру керек.
( ), ( 1)
(1) 0, 1
1.
y
f x
y
y
x
=
− =
=
− ≤ ≤
′′
Шешуі. Біртекті теңдеудің
0
=
′′
y
жалпы шешімі 
.
2
1
x
C
C
y
+
=
Бірінші шеттік шартын 
0
)
1
(
=
−
y
қанағаттандыратын шешімі 
,
1
)
(
1
x
x
y
+
=
ал екінші шеттік шартын 
x
x
y
−
=
1
)
(
2
шешімі 
қанағаттандырады.
Онда қойылған есеп үшін Грин функциясын:
( )(1
), 1
( , )
( )(1
),
1.
s
x
x
s
G x s
s
x
s
x
ϕ
ψ
+
− ≤ ≤
⎧
= ⎨
−
≤ ≤
⎩
түрінде құрамыз.Функциялар 
φ
(
x
), 
ψ
(
x
) келесі шарттардан 
анықталады:
1
1
1
( )(
)
( ) (
),
( )
( )
;
s
s
s
s
s
s
ψ
ϕ
ψ
ϕ
−
=
+
−
−
=
.
2
1
)
(
,
2
1
)
(
s
s
s
s
+
−
=
−
−
=
ψ
ϕ
Сонымен Грин функциясы:

120
1 (1 )(1 ), 1
,
2
( , )
1 (1 )(1 ),
1.
2
s
x
x
s
G x s
s
x
s
x
⎧− − + − ≤ ≤
⎪⎪
= ⎨
⎪−
+
−
≤ ≤
⎪⎩
Ал есептің шешімі:
1
1
1
1
( , ) ( )
(1
) ( )
2
x
x
y
G x s f s ds
s f s ds
−
−
+
=
= −
−
∫
∫
1
1
(1
) ( )
2
x
x
s f s ds
−
−
+
∫

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: