§14. Дифференциалдық теңдеулерді қатарлар көмегімен интегралдау Дифференциалдық теңдеулерді дəрежелік қатарлардың көме-
гімен шешу кең қолданылады.
1. Егер
)
,
,
(
y y x f ′
функциясы
))
(
,
,
(
0
0
0
x y y x ′
нүктесінде кез
келген ретті туындылы болса, онда:
⎩
⎨
⎧
′
=
′
=
′
=
′′
0
0
0
0
)
(
,
)
(
,
)
,
,
(
y x y y x y y y x f y (1)
есебінің шешімі
∑
∞
=
−
=
0
0
0
)
(
)
(
!
)
(
)
(
k k k x x k x y x y (2)
түрінде жазылып, коэффициенттері
)
(
0
)
(
x y k теңдеуді (1) диффе-
ренциалдап, белгілі
0
0
( ),
( ),
,
y x y x ′
′′
…
мəндерін қойып, есеп-
теумен анықталады.
1-мысал. Теңдеудің берілген шартты қанағаттандыратын ше-
шімін табу керек
.
0
)
0
(
)
0
(
,
1
=
′
=
=
+
′
+
′′
y y y y x y Шешуі. Шешімді
∑
∞
=
=
0
)
(
!
)
0
(
)
(
k k k x k y x y түрінде іздестіреміз.
Онда белгісіз
)
0
(
)
(
k y коэффициенттерін теңдеуді бірте-бірте
дифференциалдап, белгілі
(0),
(0)
y y ′
мəндерінің көмегімен
анықтаймыз.
1
,
(0) 1,
y xy y y = −
−
=
′′
′
′′
102 2
,
(0) 0,
y y xy y y xy y = − −
− = −
−
=
′′′
′
′′
′
′
′′
′′′
(4)
(4)
3
,
(0)
3,
y y xy y = −
−
= −
′′
′′′
(5)
(4)
(5)
4
,
(0) 0,
y y xy y = −
−
=
′′′
(6)
(4)
(5)
(6)
5
,
(0) 5 3,
y y xy y = −
−
= ⋅
(7)
(5)
(6)
(7)
6
,
(0) 0,
y y xy y = −
−
=
(8)
(6)
(7)
(8)
7
,
(0)
7 5 3,
y y xy y = −
−
= − ⋅ ⋅
Туындылар тізбегі
(2 )
1
(0)
( 1) 1 3 (2
1),
n n y n +
= −
⋅
−
(2 )
(0)
2 !
n y n =
1
( 1)
2
!
n n n +
−
=
⋅
болғандықтан, есептің шешімі
∑
∞
=
+
⋅
−
=
1
2
1
.
!
2
)
1
(
)
(
n n n n x n x y 2. 1-теорема. Дифференциалдық теңдеудің
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
x f y x P y x P y x P =
+
′
+
′′
(3)
функциялары
0
1
2
( ), ( ),
( )
P x P x P x жəне
)
(
x f 0
x - нүктесі төңі-
регінде аналитикалық жəне
0
)
(
0
0
≠
x P болса, онда теңдеудің
дəрежелік қатармен жазылатын
∑
∞
=
−
=
0
0
)
(
)
(
k k k x x a x y (4)
шешімі бар.
Теорема тұжырымы бойынша сызықтық теңдеудің шешімін
(4) жазып, коэффициенттерін
…
,
2
,
1
,
0
,
=
k a k анықталмаған ко-
эффициенттер əдісімен табады.
2-мысал. Теңдеуді дəрежелік қатармен интегралдау керек:
.
0
)
0
(
)
0
(
,
=
′
=
=
+
′
−
′′
y y x y y x y Шешуі. Шешімді
∑
∞
=
=
0
)
(
k k k x a x y түрінде іздестіреміз.
103 +
+
+
+
+
+
=
k k x a x a x a x a a x y 3
3
2
2
1
0
)
(
,
.
0
)
0
(
,
0
)
0
(
1
0
=
=
′
=
=
a y a y Демек
∑
∞
=
=
2
)
(
k k k x a x y шешімін теңдеуге қоямыз:
2
1
2
2
2
(
1)
,
k k k k k k k k k k k a x x ka x a x x ∞
∞
∞
−
−
=
=
=
−
−
+
=
∑
∑
∑
2
2
2
2
(
1)
.
k k k k k k k k k k k a x ka x a x x ∞
∞
∞
−
=
=
=
−
−
+
=
∑
∑
∑
Соңғы теңдікті
(
)
(
)
2
2
2
1
1
k k k k K K k k a x k a x x ∞
∞
−
=
=
−
−
−
=
∑
∑
түрге
кел ті ріп, “анықталмаған” каэффициенттер əдісімен
k a -ларды та-
бамыз.
Бірінші қосындысының екі қосылғышын бөліп жазып, қо сын-
дыларды біріктірсек,
(
)(
)
(
)
2
3
2
2
1 2
1 2 3
2
1
1
k k k k a a x k k a k a x x ∞
+
=
⎡
⎤
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
+
+
+
− −
=
⎣
⎦
∑
теңдігі шығады.
Онда:
;
!
3
1
3
2
1
,
0
3
2
=
⋅
=
=
a a ;
0
,
0
3
4
4
2
4
=
=
−
⋅
a a a ;
!
5
2
2
3
4
5
2
4
5
2
,
0
2
4
5
3
5
3
5
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
−
⋅
⋅
a a a a ;
0
,
0
3
5
6
6
4
6
=
=
−
⋅
a a a ;
!
7
!
2
2
6
7
4
,
0
4
6
7
2
5
7
5
7
⋅
=
⋅
=
=
−
⋅
a a a a ;
0
,
0
5
7
8
8
6
8
=
=
−
⋅
a a a ;
!
9
!
3
2
8
9
6
,
0
6
8
9
3
7
9
7
9
⋅
=
⋅
=
=
−
⋅
a a a a
104 . . . . . . . . . . . .
1
0,
2
2 (
1)! ,
2
1
(2
1)!
n k k n a n k n n −
=
⎧
⎪
=
−
⎨
=
+
⎪
+
⎩
Сонымен теңдеудің шешімі:
∑
∞
=
+
−
∈
+
−
=
1
1
2
1
.
,
)!
1
2
(
)!
1
(
2
)
(
n n n R x x n n x y 3. Сызықтық теңдеудің жоғарғы ретті туындысының коэф-
фициенті
x 0
нүктесінде нөлге айналса, келесі теореманы қол-
дануға болады
2-теорема . Егер дифференциалдық теңдеудің
0
)
(
)
(
)
(
2
1
0
=
+
′
+
′′
y x P y x P y x P (4)
коэффициенттері
0
1
2
( ), ( ),
( )
P x P x P x x 0
-нүктесі төңірегінде
ана литикалық жəне
0
x нүктесі
)
(
0
x P функциясы үшін
s ретті,
)
(
1
x P функциясы үшін
1
−
s -ден кем емес ретті, ал
)
(
2
x P функциясы үшін
2
−
s -ден кем емес ретті нөлдері болса, онда
(4) теңдеудің шешімі
x 0
- нүктесі төңірегінде бар жəне жалпыланған
∑
∞
=
−
−
=
0
0
0
)
(
)
(
)
(
k k k r x x a x x x y қатары түрінде жазылады, мұндағы
0
0
≠
a жəне
.
R r ∈
3-мысал. Теңдеудің жалпы шешімін жалпыланған қатар тү-
рінде табу керек
2
0.
xy y xy +
+
=
′′
′
Шешуі.
0
=
x нүктесі төңірегінде
2-теорема шарттары орын-
далатындықтан, шешімді:
∑
∑
∞
=
∞
=
+
=
=
0
0
,
k k r k k k k r x a x a x y түрінде жазып
105 1
2
0
0
1
(
)
,
(
)(
)
,
k r k r k k k k y a k r x y a k r k r x ∞
∞
+ −
+ −
=
=
=
+
=
+
+ −
′
′′
∑
∑
теңдеуге қоямыз
2
1
0
0
0
(
)(
1)
2
(
)
0.
k r k r k r k k k k k k x a k r k r x a k r x x a x ∞
∞
∞
+ −
+ −
+
=
=
=
+
+ −
+
+
+
=
∑
∑
∑
1
1
1
0
0
0
(
)(
1)
2 (
)
0.
k r k r k r k k k k k k a k r k r x a k r x a x ∞
∞
∞
+ −
+ −
+ +
=
=
=
+
+ −
+
+
+
=
∑
∑
∑
Қосылғыштарды
x -тің дəрежелері бойынша топтастырамыз:
[
]
1
1
0
1
2
0
(
1)
(
1)(
2)
(
2)(
3)
r r r a r r x a r r x a r r a x −
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
[
]
[
]
2
3
3
1
4
2
(
3)(
4)
(
4)(
5)
r r a r r a x a r r a x +
+
+
+
+ +
+
+
+ +
+
[
]
[
]
4
5
5
3
6
4
(
5)(
6)
(
6)(
7)
0.
r r a r r a x a r r a x +
+
+
+
+ +
+
+
+ +
+
=
…
Коэффициенттерді “анықталмаған коэффициенттер” əдісімен
табамыз:
0
1
(
1) 0 , (
1)(
2) 0.
a r r a r r + =
+
+ =
Бұл теңдіктерден кез
келген
0
,
0
1
0
≠
≠
a a мəндерінде
1
−
=
r екендігін анықтай-
мыз. Теңдеудің жалпы шешімі екі параметрден (тұрақтыдан)
тəуел ді болатындықтан, қатардың қалған коэффициенттерін
1
2
0
1
,
a C a C =
=
тұ рақтыларымен есептейміз
,
2
1
1
2
⋅
−
=
C a ,
!
3
2
3
C a −
=
,
!
4
4
3
1
2
4
C a a =
⋅
−
=
,
!
5
5
4
2
5
5
C a a =
⋅
−
=
,
!
6
6
5
1
4
6
C a a −
=
⋅
−
=
,
!
7
7
6
2
5
7
C a a −
=
⋅
−
=
. . . . . . . . . . . . . .
Сонымен теңдеудің жалпы шешімі:
106 .
sin
cos
)
!
7
!
6
!
5
!
4
!
3
!
2
(
2
1
7
2
6
1
5
2
4
1
3
2
2
1
2
1
1
x x C x x C x C x C x C x C x C x C x C C x y +
=
+
⋅
−
⋅
−
−
+
+
−
−
+
=
−