§13. Тұрақты коэффициентті сызықты

90
Сипаттамалық түбіріне
Теңдеудің (1) оң жағы арнайы
[
]
( )
( )cos
( )sin
x
m
n
f x
e
P x
x
Q x
x
α
β
β
=
+
(4)
функциясы болса, 
m
≤
n
, онда дербес шешімі:
[
]
[
]
( ) cos
( ) sin
,
,
( ) cos
( ) sin
,
,
x
n
n
r
x
n
n
e
R x
x
x
x
i
k
y
x e
R x
x
x
x
i
k
α
α
β
β
α
β
β
β
α
β
⎧
+ Τ
+
≠
⎪
= ⎨
+ Τ
+
=
⎪⎩
(5)
көпмүшеліктердің 
R
n
(
x
), 
T
n
(
x
) коэффициенттері анықталмаған ко-
эффициенттер əдісімен табылады.
Сонымен, теңдеудің (1) оң жағы арнайы функциялар (2), (4)
болса, онда дербес шешімдерін табу алгебралық операцияларға 
келтіріледі.
1-мысал.
.
1
3
4
2
+
+
=
+
′′
x
x
y
y
Теңдеудің жалпы шешімін 
табу керек.
Шешуі. Біртекті теңдеудің 
0
4
=
+
′′
y
y
жалпы шешімі
.
2
sin
2
cos
2
1
x
C
x
C
y
+
=
Берілген біртекті емес теңдеудің оң 
жағы 
0
2
(
3
1),
x
e
x
x
⋅
+
+
i
k
2
0
2
,
1
=
≠
=
σ
болғандықтан, дербес шешімін 
2
y
ax
=
+
bx
C
+
+
түрінде іздестіреміз. Шешімді теңдеуге қойып, дəре-
желері бірдей 
x
коэффициенттерін теңестіріп, 
a,b,c
коэффициент-
терін табамыз.
y
ax
bx c
y
ax b
y
a
2
4
,
0
2
,
1
2
=
+
+
=
+
′
=
′′
2
0
x
x
x
4
1
4
3
4
2
1
,
,
,
a
b
c
a
=
=
+
=
8
1
,
4
3
,
4
1
=
=
=
c
b
a
Дербес шешімі 
,
8
1
4
3
4
1
2
+
+
=
x
x
y
жалпы шешімі
.
8
1
4
3
4
1
2
sin
2
cos
2
2
1
+
+
+
+
=
x
x
x
C
x
C
y
2-мысал.
Теңдеудің
1
3
2
+
=
′
−
′′
x
y
y
жалпы шешімін табу ке-
рек.
Шешуі. Біртекті теңдеудің 
0
2
=
′
−
′′
y
y
жалпы шешімі 
.
2
2
1
x
e
C
C
y
+
=
егер
егер
еселігі 
r 
сипаттамалық түбіріне 

91
Берілген теңдеудің оң жағы
1
0
0
,
)
1
3
(
)
(
k
x
e
x
f
x
=
=
+
=
⋅
σ
болғандықтан, дербес шешімі 
(
)
y
x ax
b
=
+
түрінде құрылады. 
Шешімді теңдеуге қойып, коэффициенттерін табамыз:
y
ax
bx
y
ax b
y
a
2
0
,
2
2
,
1
2
=
+
−
=
+
′
=
′′
4
5
2
1
4
3
2
1
,
1
2
2
4
3
,
3
4
0
−
=
−
−
=
−
=
=
+
−
−
=
=
−
a
b
a
b
a
a
x
x
Сонымен, берілген теңдеудің дербес шешімі
,
4
5
4
3
2
x
x
y
−
−
=
жалпы шешімі 
.
4
5
4
3
2
2
2
1
x
x
e
C
C
y
x
−
−
+
=
3-мысал.
Теңдеудің
3
16
x
y
y
e
+
=
′′
жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Біртекті теңдеудің 
16
0
y
y
+
=
′′
жалпы шешімі
.
4
sin
4
cos
2
1
x
C
x
C
y
+
=
Берілген теңдеудің оң жағы 
2
,
1
3
3
,
)
(
k
e
x
f
x
≠
=
=
σ
болған -
дықтан, дербес шешімі 
3
3
3
,
3
,
9
,
x
x
x
y
Be
y
Be
y
Be
=
=
=
′
′′
тең деу-
ге қойып, коэффициентін табамыз
3
3
1
25
, 25
1,
.
25
x
x
Be
e
B
B
≡
=
=
Сонымен, теңдеудің жалпы шешімі 
1
2
cos4
sin 4
y
C
x
C
x
=
+
+
3
1
.
25
x
e
+
4-мысал.
Теңдеудің 
)
3
(
2
2
+
+
=
+
′′
x
x
e
y
y
x
дербес шешімі-
нің түрін көрсету керек.
Шешуі. Сипаттамалық түбірлер 
2
2
,
1
=
≠
±
=
σ
i
k
болған-
дықтан, дербес шешім 
2
2
(
).
x
y
e
ax
bx
C
=
+
+
5-мысал.
Теңдеудің 
4
8
16
(1
)
x
y
y
y
x e
−
+
= −
′′
′
дербес шеші-
мін көрсетіңіз (анықталмаған коэффициентерімен).
Шешуі. Сипаттамалық теңдеудің
2
8
16 0
k
k
−
+
=
түбірлері
,
4
,
4
2
1
=
=
=
σ
k
k
демек дербес шешімі 
2 4
(
)
x
y
x e
ax
b
=
+ =
4
3
2
(
).
x
e
ax
bx
=
+

92
6-мысал.
Теңдеудің 
2
2
6
12
8
(
3)
x
y
y
y
y
e
x
−
+
−
=
+
′′′
′′
′
дербес 
шешімін көрсетіңіз (анықталмаған коэффициенттерімен).
Шешуі. Сипаттамалық теңдеудің 
3
2
6
12
8 0,
k
k
k
−
+
− =
3
(
2)
0
k
−
=
түбірлері 
,
2
3
2
1
=
=
=
k
k
k
яғни түбірі үш еселі,
,
2
=
σ
демек дербес шешімі
3 2
2
2
5
4
3
(
)
(
).
x
x
y
x e
ax
bx
C
e
ax
bx
Cx
=
+
+
=
+
+
7-мысал.
Теңдеудің 
5
6
13sin3
y
y
y
x
−
+
=
′′
′
жалпы шешімін 
табу керек.
Шешуі. Біртекті теңдеудің 
0
6
5
=
+
′
−
′′
y
y
y
характеристи-
калық түбірлері
;
3
,
2
2
1
=
=
k
k
жалпы шешімі
.
3
2
2
1
x
x
e
C
e
C
y
+
=
Берілген теңдеудің оң жағындағы функция үшін
2
,
1
3
k
i
i
≠
=
+
β
α
болғандықтан, дербес шешімі
.
3
sin
3
cos
x
B
x
A
y
+
=
Теңдеуге 
қойып, коэффициенттерін табамыз:
.
3
sin
9
3
cos
9
,
3
sin
3
3
cos
3
,
3
sin
3
cos
1
5
6
x
B
x
A
y
x
A
x
B
y
x
B
x
A
y
−
−
=
′′
−
=
′
+
=
−
x
A
B
x
A
B
cos3
3
15
0
sin3 15
3
13
−
−
=
−
=
1
78
13 ,
6
5
5
6
B
B
A
B
= −
= −
= −
=
Сонымен, дербес шешімі 
,
3
sin
6
1
3
cos
6
5
x
x
y
−
=
жалпы шешімі
.
3
sin
6
1
3
cos
6
5
3
2
2
1
x
x
e
C
e
C
y
x
x
−
+
+
=
8-мысал.
Теңдеудің
x
y
y
3
cos
9
=
+
′′
дербес шешімін көрсе-
ту керек (анықталмаған коэффициенттерімен).
Шешуі. Оң жағындағы функция үшін 
i
i
3
=
+
β
α
сипат-
тамалық түбірге 
i
k
3
1
=
тең болғандықтан, дербес шешімі 
)
3
sin
3
cos
(
x
B
x
A
x
y
+
=
түрінде іздестіріледі.

93
9-мысал.
Теңдеудің 
[
]
2
5
(
1)cos2
3sin 2
x
y
y
y
e
x
x
x
+
+
=
+
+
′′
′
дер бес шешімін анықталмаған коэффициенттерімен жазу керек.
Шешуі. 
1,2
1,2
1 2
,
1 2

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: