§26. Жоғарғы ретті туындының коэффициенті кіші болуы

217
)
(
t
x
ϕ
=
шешіміне ұмтылады. 
)
,
(
x
t
f
функциясының таңбасы
-тен + ке ауысса, 
16-суреттегі
жағдай орындалады, шешім 
)
(
t
x
ϕ
=
орнықсыз, бағыттар өрісі бұл сызықтан аулақтайды.
15-сурет 16-сурет
Шешім 
)
(
t
x
ϕ
=
орнықсыз болғанда, бастапқы теңдеудің (1) 
шешімін 
)
,
(
μ
t
x
x
=
онымен алмастыруға болмайды.
Үшінші, жартылай орнықтылық жағдайы да мүмкін:
)
,
(
x
t
f
функциясының 
)
(
t
x
ϕ
=
графигінен өткенде таңбасы 
өзгермейді.
Жартылай орнықты, 
17-сурет
, жағдайда да теңдеудің 
ше ші мін 
)
,
(
μ
t
x
x
=
, жуық теңдеудің (2) шешімімен алмастыруға 
болмайды.
17-сурет
15–684

218
Теңдеу (2) шешімінің графигінде 
0
<
∂
∂
x
f
болса, онда шешім
)
(
t
x
ϕ
=
орнықты; ал егер 
df
dx
0
>
болса, онда шешім
)
(
t
x
ϕ
=
орынықсыз. Шындығында, біріншісінде 
)
(
t
x
ϕ
=
сызығының 
төңірегінде 
)
,
(
t
x
f
функциясы кемімелі, таңбасын + тен - қа ауы-
стырады; екіншісінде өспелі, таңбасын 
– тен + қа ауыстырады;
Егер теңдеудің (2) бірнеше 
)
(
t
x
i
ϕ
=
шешімдері болса, онда 
олардың əрқайсысы орнықтылыққа зерттеледі.
1-мысал.
Теңдеудің
dx
x t
dt
,
0
μ
μ
= −
>
бастапқы 
( )
0
0
x
t
x
=
шартын қанағаттандыратын шешімі, одан 
туындайтын
0
=
−
t
x
теңдеуінің шешіміне
0
t
t
>
жəне
0
→
μ
жуықтайды ма?
Шешуі: Теңдеудің шешімі 
x
x t
( , ),
μ
=
туынды теңдеудің 
t
x
=
ше шіміне ұмтылмайды, себебі бұл шешім 
t
x
=
орнықсыз:
.
0
1
)
(
>
=
∂
−
∂
x
t
x
18-сурет

219
2-мысал.
1-мысал сұрағы келесі теңдеу үшін
x
dx
t
e
dt
2
sin
3
μ
=
−
.
Шешуі: Туынды теңдеудің 
0
3
sin
2
=
−
x
e
t
шешімі 
3
ln
sin
ln
2
−
=
t
x
орнықты, себебі
(
)
.
0
3
3
sin
2
<
−
=
∂
−
∂
x
x
e
x
e
t
Демек, бастапқы теңдеудің шешімі 
)
,
(
μ
t
x
x
=
туынды тең-
деу дің шешіміне 
0
,
0
→
>
μ
t
t
мəндерінде ұмтылады.
3-мысал.
Жоғарыдағы сұрақ келесі теңдеу шешімі үшін де 
(
)
( )
dx
x t
x
x t
x
dt
2
0
0
1 ,
0,
.
μ
μ
=
− +
>
=
Шешуі. Туынды теңдеудің 
(
)
0
1
2
=
+
−
x
t
x
екі шешімі бар: 
0
=
x
жəне 
1
2
+
=
t
x
.
Мұнда, 
,
0
1
)
1
(
2
0
2
>
+
=
∂
+
−
∂
=
t
x
x
t
x
x
бірінші шешім 
0
=
x
орнықсыз; 
,
0
1
)
1
(
2
1
2
2
<
−
−
=
∂
+
−
∂
+
=
t
x
x
t
x
t
x
екінші шешім
1
2
+
=
t
x
ор нықты.
Есептер, жаттығулар.
1. Жүйенің 
dx
x
y x
dt
dy
x y y
dt
5
2
2
3
⎧
= − −
+
⎪⎪
⎨
⎪
= + −
⎪⎩
тыныштық нүктесін 
0
,
0
=
=
y
x
орнықтылыққа зерттеу.

220
2. Жүйенің
dx
x y z
dt
dy
x y
z
dt
dz
x
y
z
dt
3
5
3
⎧
= − −
⎪
⎪
⎪
= + −
⎨
⎪
⎪
= −
−
⎪⎩
тыныштық нүктесін
0
,
0
,
0
=
=
=
z
y
x
орнықтылыққа зерттеу.
3. Жүйенің
dx
x y
dt
dy
y z
dt
dz
z x
dt
α
α
α
⎧
=
−
⎪
⎪
⎪
=
−
⎨
⎪
⎪
=
−
⎪⎩
тыныштық нүктесін 
0
,
0
,
0
=
=
=
z
y
x
α-ның қандай мəнде рінде 
орнықты.
4. α-ның қандай мəндерінде жүйенің
dx
y
x x
dt
dy
x y
dt
5
5
α
⎧
= +
−
⎪⎪
⎨
⎪
= − −
⎪⎩
Орнықты тыныштық нүктесі 
0
,
0
=
=
y
x
бар?
5. Дифференциалдық теңдеудің 
dx
x
t
x
t
x
dt
2
2
2
2
(
4)(
9),
(1) 1
μ
=
+ −
+ −
=
Шешімі 
1
,
0
,
0
>
>
→
t
μ
μ
болғанда қандай шекке ұмтылады?
6. Дифференциалдық теңдеудің 
dx
x t
x
dt
5,
(2) 5
μ
= − +
=
Шешімі 
2
,
0
,
0
>
>
→
t
μ
μ
болғанда қандай шекке ұмтылады?
7. Теңдеулер жүйесінің 

221
y
dx
x e
y
dt
dy
x y
y
dt
cos
3
sin
⎧
= +
−
⎪⎪
⎨
⎪
=
− −
⎪⎩
тыныштық нүктесін 
0
,
0
=
=
y
x
орнықтылыққа зерттеу.
8. Жүйенің 
dx
y x
dt
dy
x y
dt
5
5
2
5
⎧
= − −
⎪⎪
⎨
⎪
=
−
⎪⎩
шешімі 
0
,
0
=
=
y
x
тұрақты əсер кезінде тұрақты ма?
9. Теңдеудің 
x
x
x
5
2
20 0
+
+
+
=
′′′
′′
′
шешімі 
0
=
x
орнықты ма?
10. Теңдеудің 
0
6
5
=
+
′
+
′′
+
′′′
x
x
x
x
шешімі 
0
=
x
орнықты ма?
11. Теңдеулер жүйесінің 
dx
x
y
dt
dy
x y
dt
5
5
3
5
⎧
= +
⎪⎪
⎨
⎪
=
−
⎪⎩
тыныштық нүктесі қандай?
12. Теңдеудің 
t
x
x
x
sin
2
=
+
′
+
′′
периодты шешімін анықтап, 
ор нықтылыққа зерттеу керек.
13. Теңдеудің 
t
x
x
x
x
cos
3
5
2
=
+
′
+
′′
+
′′′
периодты шешімі орнық-
ты ма?
14. Жүйенің 
⎩
⎨
⎧
+
=
′
+
=
′
5
3
5
3
y
x
y
x
y
x
тыныштық нүктесін 
0
,
0
=
=
y
x
орнықтылыққа зерттеу.
15. Теңдеулер жүйесінің 
⎩
⎨
⎧
+
−
=
′
+
−
=
′
2
4
5
2
3
y
x
y
e
x
y
x
t
шешімдерін орнықтылыққа зерттеу.

222
16. Теңдеудің 
0
7
3
2
=
+
′
+
′′
+
′′′
shx
x
x
x
тривиалды шешімін ор-
нық тылыққа зерттеу. 
17. Теңдеудің 
0
)
4
(
)
1
(
2
=
−
+
′
−
+
′′
x
x
x
α
α
α-параметр, тривиалды 
шешімін орнықтылыққа зерттеу.
18. Жүйенің 
⎩
⎨
⎧
−
−
=
′
−
=
′
5
3
3
4
3
y
x
y
x
y
x
шешімі 
0
,
0
=
=
y
x
тұрақты əсерде орнықты ма?
19. Жүйенің 
X t
AX t
X t
( )
( ),
( )
=
−
′
үш өлшемді кеңістік век-
торы, 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
3
1
1
1
0
0
2
1
A
тривиалды шешімі орнықты ма?
20. Теңдеу 
t
x
x
x
=
′
+
′′
+
′′′
5
4
шешімдерін орнықтылыққа зерт-
теу.
21. Теңдеу
t
x
x
sin
9
=
+
′′
шешімдерін орнықтылыққа зерттеу.
22. 
t
x
x
cos
=
+
′′′
периодты шешімін тауып, орнықтылыққа 
зерт теу керек.
23. 
0
)
1
(
=
−
+
′
+
′′
x
x
x
α
α
орнықтылық аумағын табу керек.
24. 
0
5
2
=
+
′
+
′′
+
′′′
x
x
x
x
α
α
орнықтылық аумағын табу керек.
25. Теңдеулер жүйелерінің тыныштық нүктелерін бірінші 
жуық тау бойынша орнықтылыққа зерттеу.
а) 
y
e
y
y
x
y
y
y
x
x
3
2
3
,
cos
5
−
+
=
′
+
=
′
б) 
1
3
,
sin
2
7
−
−
=
′
+
=
′
y
e
y
y
x
x
x
в) 
x
y
y
y
x
x
2
,
2
sin
2
1
2
3
−
−
=
′
+
−
=
′
г) 
3
3
6
1
1
2
),
4
ln(
x
y
y
e
y
x
x
−
+
−
=
′
+
=
′
−
26. Жүйенің 
⎩
⎨
⎧
−
=
′
−
−
=
′
3
3
3
4
y
x
y
x
y
x

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: