§25. Орнықтылықты бірінші жуықтау арқылы зерттеу

209
,
0
)
(
→
x
γ
егер 
2
2
1
...
,
0
n
x
x
x
x
+
+
=
→
.
Ляпунов теоремасы.
(
)
n
i
x
x
t
,
,
,
1
…
ψ
функциялары (4) шарт-
ты орындайтын теңдеулер жүйесі (2) қарастырылады.
Егер 
( )
ik
a
матрицасының барлық меншікті мəндерінің нақты 
бөліктері теріс таңбалы болса, онда (2) жүйенің нөлдік шешімі 
асимптотикалық орнықты; ал егер кемінде бір меншікті мəнінің 
нақты бөлігі оң таңбалы болса, онда жүйенің (2) нөлдік шешімі 
орнықсыз.
1-мысал.
Теңдеулер жүйесінің тыныштық нүктесін x=0, y=0 
орнықтылыққа зерттеу керек.
dx
y x x
y
t
dt
dy
x y x
dt
2
2
2
sin ,
.
⎧
= − +
−
⎪⎪
⎨
⎪
= + −
⎪⎩
Шешуі. Жүйенің сызықты емес мүшелері теореманың шарт-
тарын орындайтындықтан, сызықты жүйенің
dx
x y
dt
dy
x y
dt
,
.
⎧
= − +
⎪⎪
⎨
⎪
= +
⎪⎩
тыныштық нүктесін орнықтылыққа зерттейміз.
Сипаттамалық теңдеуінің
0
1
1
1
1
=
−
−
−
k
k
түбірлері 
2
±
=
k
болғандықтан, жүйелердің тыныштық нүк- 
тесі орнықсыз.
2-мысал.
Жүйенің нөлдік шешімін орнықтылыққа зерттеу 
керек.

210
(
)
x
dx
y e
dt
dy
y
x
dt
3
3
ln 4
,
2
1
1 6 .
−
⎧
=
+
⎪⎪
⎨
⎪
=
− +
−
⎪⎩
Шешуі: 
)
1
ln(
)
(
x
x
f
+
=
функциясының Тейлор формуласы 
бойынша, 
(
)
x
x
y e
y e
3
3
ln 4
4
1,
−
−
+
≈
+
−
ал 
,
3
1
3
x
e
x
−
≈
−
онда
(
)
x
y e
y
x
3
ln 4
4
3 ;
−
+
≈
−
α
)
1
(
)
(
x
x
f
+
=
функциясының Тейлор формуласы бойынша,
x
x
2
1
)
6
1
(
3
1
−
≈
−
, онда
.
2
2
6
1
1
2
3
x
y
x
y
−
≈
−
+
−
Бұл жіктеулердің қалдық мүшелері теорема шарттарын орын-
дайды, сонымен бірінші жуықтау жүйесі
dx
y
x
dt
dy
y
x
dt
4
3 ,
2
2 ,
⎧
=
−
⎪⎪
⎨
⎪
=
−
⎪⎩
сипаттамалық теңдеуінің 
0
2
2
4
3
=
−
−
−
−
k
k
түбірлері 
.
2
7
2
1
i
k
±
−
=
Нақты бөліктері теріс таңбалы, демек, жүйелердің нөлдік 
шешімдері орнықты.
3-мысал.
Жүйенің тыныштық нүктесін 
0
,
0
=
=
y
x
орнық-
тылыққа зерттеу

211
dx
x
y
dt
dy
x y
dt
3
3
9 ,
.
⎧
= − +
⎪⎪
⎨
⎪
= − −
⎪⎩
Шешуі:
Бірінші жуықтау жүйесінің 
dx
y
dt
dy
x
dt
9 ,
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪
= −
⎪⎩
сипаттамалық теңдеуінің
0
1
9
=
−
−
−
k
k
түбірлері жорамал сандар 
i
k
3
±
=
, болғандықтан, бұл əдіспен 
орнықтылыққа зерттелінбейді.
Есеп үшін Ляпунов функциясын 
2
2
9
y
x
+
=
ϑ
құру оңай:
1) 
;
0
)
,
(
≥
y
x
ϑ
2) 
(
)
(
)
(
)
d
x
x
y
y
x y
x
y
dt
3
3
4
4
2
9
18
2
9
0
ϑ
=
− +
+
− −
= −
+
≤
,
0
9
4
4
>
+
y
x
егер 
0
,
0
≠
≠
y
x
болғандықтан, жүйенің тыныш-
тық нүктесі асимптотикалық орнықты.
Бұл мысалдағы бірінші жуықтау жүйесінің координаталар 
бас нүктесі центрі еді. Бастапқы жүйедегі сызықтық емес мү-
шелері, центрді орнықты фокуске айналдырды. 
Жалпы жағдайда осы сияқты күрделірек геометриялық су-
реттер орын алады.
Сызықты емес мүшелер бас нүктенің төңірегінде аз шамалар 
болғанымен, бағыттар өрісін аз да болса өзгертеді. Нүктеден 
(
)
0
0
,
y
x
шығатын траектория бас нүктеден айналғанда сызық-
тық жүйедегіден ығысады. Осындай айналу нəтижесінде барлық 

212
траекториялар бас нүктеге жуықтаса, онда бұл нүкте орнықты 
фокуске айналады; егер траекториялар бас нүктеден қашықтаса, 
онда орнықсыз фокус шығады.
Төңірегіндегі барлық траекториялары спиралдар болатын 
тұйық траекториялар
шектік циклдер
 
деп аталады.
Егер 
∞
→
t
ұмтылғанда спирал траекториялар шектік циклге 
ұмтылса, онда шектік цикл 
орнықты
; егер шектік циклге жақын 
спиралдар 
∞
→
t
ұмтылғанда, одан қашықтаса, онда шектік цикл 
орнықсыз
; егер шектік циклдің бір жағындағы траекториялар 
оған жуықтап, екінші жағындағылар одан қашықтаса онда шектік 
цикл 
жартылай орнықты.
11-сурет
орнықты циклді, 
12-сурет
жартылай орнықты циклді көрсетеді.
11-сурет 12-сурет
2. Көпмүшеліктің барлық түбірлерінің нақты 
бөліктерінің теріс болуы
Дифференциалдық теңдеулер жүйелерінің кең жиыны ше-
шімдерін орнықтылыққа зерттегенде сипаттамалық теңдеуінің 
нақты бөліктерінің таңбалары қаралатынын байқадық.
Егер сипаттамалық теңдеу жоғары дəрежелі болса, онда оны 
шешпей-ақ, түбірлерінің барлығының нақты бөліктері теріс таң-
балы болатындығына көз жеткізуге болатын əдістердің орны 
ерекше.
Гурвиц теоремасы
. Коэффициенттері нақты көпмүшеліктің
n
n
n
n
a
z
a
z
a
z
+
+
+
+
−
−
1
1
1
...
барлық түбірлерінің нақты бөліктері теріс таңбалы болуы үшін, 

213
Гурвиц матрицасының бас диагоналдық барлық минорларының 
оң таңбалы болуы қажетті жəне жеткілікті.
Гурвиц матрицасының бас диагоналында көпмүшелік коэф-
фиценттері 
n
a
a
a
,...,
,
2
1
орналасқан. Бағандары алма-кезек тек 
тақ немесе жұп коэффициенттерден, 
1
0
=
a
деп, 
k
i
ik
a
b
−
=
2
фор-
муласымен құрылады. Барлық жетпейтін, яғни индекстері n-нен 
төмен немесе жоғары коэффициенттері 0-мен толтырылады.
Гурвиц матрицасының бас диагоналдық минорлары
,
1
1
a
=
Δ
,
1
2
3
1
2
a
a
a
=
Δ
,
,
0
1
3
4
5
1
2
3
1
3
…
…
…
a
a
a
a
a
a
a
=
Δ
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
…
0
0
0
0
0
1
3
4
5
1
2
3
1
=
Δ
Гурвиц шарты бойынша 
,
0
...,
,
0
,
0
2
1
>
Δ
>
Δ
>
Δ
n
онда 
n
n
n
a
⋅
Δ
=
Δ
−
1
теңдігінен соңғы шарт 
0
>
n
a
болуы талабымен 
анықталады. 
Гурвиц теоремасының екінші, үшінші, төртінші дəрежелі 
көпмүшеліктерге қолданылуын қарастырайық.
а) 
2
1
2
a
z
a
z
+
+
, Гурвиц матрицасы 
,
0
1
2
1
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
a
a
,
0
1
1
>
=
Δ
a
,
0
2
1
2
>
=
Δ
a
a
.
0
2
>
a
Гурвиц шарттары 
0
,
0
2
1
>
>
a
a
келтіреді. Сипаттамалық 
көп мүшелігі 
2
1
2
a
z
a
z
+
+
болатын теңдеулер жүйесінің ты-
ныш тық нүктесінің асимптотикалық орнықты аумағы 
13-сурет-
тегі
бірінші ширек екендігіне көз жеткіздік.

214
ə)
.
3
2
2
1
3
a
z
a
z
a
z
+
+
+
Гурвиц матрицасы 
,
0
0
0
1
3
1
2
3
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
a
a
a
a
a
онда 
0
,
0
,
0
3
3
2
1
1
>
>
−
>
a
a
a
a
a
болуы керек. Коэффициенттер 
кеңістігінде бұл теңсіздіктер аумағы 
14-суретте
көрсетілген
13-сурет
14-сурет
б)
4
3
2
3
1
4
2
a
z
a
z
a
z
a
z
+
+
+
+

215
Гурвиц матрицасы 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
4
2
3
4
1
2
3
1
0
0
0
0
1
0
0
1
a
a
a
a
a
a
a
a
,
Гурвиц шарттары
(
)
.
0
,
0
,
0
,
0
4
4
2
1
3
3
2
1
3
2
1
1
>
>
−
−
>
−
>
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Қарастырылған көпмүшеліктер үшін Гурвиц шарттары ың-
ғайлы, ал жоғарғы ретті көпмүшеліктер үшін қолайсыз. Көп-
мүшелік түбірлерінің нақты бөліктерінің теріс таңбалы болуы-
ның басқа да белгілері қолданылады.
4-мысал.
Жүйенің
dx
y
x
dt
dy
ax by
dt
sin ,
⎧
= +
⎪⎪
⎨
⎪
=
+
⎪⎩
нөлді шешімі
b
a
,
параметрлерінің қандай мəндерінде орнықты?
Шешуі. Жүйенің бірінші жуықтау жүйесі:
dx
y x
dt
,
= +
dy
ax by
dt
,
=
+
ал бұл жүйенің сипаттамалық теңдеуі 
,
0
1
1
=
−
−
k
b
a
k
сипаттамалық көпмүшелігі 
a
b
k
b
k
−
+
+
−
)
1
(
2
. Онда Гурвиц 
шарттарынан 
b
b
a b
1 0, (
1)(
) 0
− − >
+
− >
берілген теңдеу-
лер жүйесі 
1
−
<
<
b
a
мəндерінде асимптотикалық орнықты 
дейміз.

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: