Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

195
Фокустың түйін нүктесінен айырмашылығы, траектория ларға
жанамалардың, жанасу нүктесі тыныштық нүктесіне ұм тыл ғанда
белгілі бір шекке ұмтылмауында.
2) 
k
p qi
p
q
1,2
,
0,
0.
= ±
>
≠
Бұл жағдай 
t
-ны 
)
(
t
−
-ға 
алмастырғанда алдыңғысына келтіріледі, демек, траекториялары 
бірдей бірақ олардың бойымен қозғалыс қарама-қарсы бағытта 
болады (
6-сурет
).
4-сурет 
5-сурет 6-сурет 
Өспелі 
0
,
>
p
e
t
p
көбейткіші қанша жақын болғанымен, 
t
өскендіктен оның 
ε
-төңірегінен шығарып жібереді, тыныштық
нүктесі орнықсыз.
Бұндай түрдегі нүкте 
орнықсыз
фокус 
деп аталады. 
3) 
k
qi
q
1,2
,
0.
= ±
≠
Шешім периодты болғандықтан траекториялар тұйықталған 
сызықтарды береді (
4-сурет
), тыныштық нүктесі олардың ішінде 

196
орналасқан, бұл жағдайда 
центр
деп аталады. Центр орнықты 
тыныштық нүктесі, себебі кез келген 
0
>
ε
үшін 
0
>
δ
табы-
лып, бастапқы нүктелері координаталар басынан 
δ
қашықтықта 
орналасқан траекториялары, бас нүктенің 
ε
- төңірегінен шығып 
кетпейді, яғни жеткілікті аз 
1
C
жəне 
2
C
мəндерінде шешімдер
x C
qt C
qt
y C
qt C
qt
1
2
*
*
1
2
cos
sin ,
cos
sin
=
+
⎫⎪
⎬
=
+
⎪⎭
(5)
теңсіздікті 
2
2
2
)
(
)
(
ε
<
+
t
y
t
x
қанағаттандырады. Бірақ асимп-
тотикалық орнықтылық жоқ, себебі 
∞
→
t
ұмтылғанда 
)
(
t
x
жəне 
)
(
t
y
нөлге ұмтылмайды.
III Түбірлер еселі 
.
2
1
k
k
=
1) 
.
0
2
1
<
=
k
k
Жүйенің жалпы шешімі
(
)
(
)
,
)
(
,
)
(
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
t
k
t
k
e
C
C
t
y
e
C
C
t
x
β
α
β
α
+
=
+
=
мұнда 
0
2
1
=
=
β
β
болуы да мүмкін, онда 
1
α
жəне 
2
α
кез келген 
бола алады.
Нөлге жылдам ұмтылатын 
t
k
e
1
∞
→
t
көбейткіштің болуы, 
тыныштық нүктесін орнықты жəне асимптотикалық орнықты 
етеді. Бұл жағдайда да тыныштық нүктесі 
орнықты түйін 
деп 
аталады, бірақ I 1) жəне II 1) арасындағы күйде болады. Орнықты 
түйінге де, орнықты фокуске де айналып кетуі мүмкін. 
7-сурет-
те
тыныштық нүктесінің түрі берілген. Егер
0
2
1
=
=
β
β
бол-
са, онда да орнықты түйін аламыз, бұл түйінді 
дикритикалық 
түйін
деп атайды (
8-сурет
).
2) 
,
0
2
1
>
=
k
k
онда 
t
-ны (-
t
)-ға алмастырсақ, алдыңғы жағ-
дай шығады, траекториялары өзгермейді, қозғалыс қарама-қар-
сы бағытта болады. Бұл жағдайда тыныштық нүктесі
 орнықсыз 
түйін
деп аталады.

197
Егер
0
22
21
12
11
=
a
a
a
a
болса, онда сипаттамалық теңдеудің
11
12
21
22
0
a
k a
a
a
k
−
=
−
нөлдік 
0
1
=
k
шешімі бар. 
0
,
0
2
1
≠
=
k
k
десек, жүйенің жалпы 
шешімі
.
,
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
t
k
t
k
e
C
C
y
e
C
C
x
β
α
β
α
+
=
+
=
t
-ны жойсақ, параллель түзулер 
(
)
(
)
1
1
2
2
1
1
α
β
α
β
C
x
C
y
−
=
−
жиын тығы шығады. 
0
2
=
C
десек тыныштық нүктелерінің 
x
y
2
1
α
α =
түзуінде жататын, бір параметрлі жиынын аламыз. 
Егер 
0
2
<
k
болса, онда 
∞
→
t
əрбір траекториядағы нүктелер осы 
траекторияда жататын тыныштық нүктесіне
2
1
1
1
,
α
α
C
y
C
x
=
=
(
9-сурет
) жуықтайды. Тыныштық нүктесі 
0
,
0
≡
≡
y
x
ор-
нықты, бірақ асимптотикалық орнықтылық жоқ.
Егер 
0
2
>
k
болса, онда траекториялар алдыңғыдай орна лас-
қанымен, қозғалыс қарама-қарсы бағытта орындалады, ты ныш-
тық нүктесі 
0
,
0
≡
≡
y
x
орнықсыз.
7-сурет 8-сурет

198
Егер 
0
2
1
=
=
k
k
болса, екі мүмкіндік бар:
1. Жүйенің жалпы шешімі
,
1
C
x
=
2
C
y
=
- барлық нүктелер
тыныштық нүктелері, барлық шешімдер жинақы.
9-сурет
2. Жалпы шешімнің түрі 
,
,
*
2
*
1
2
1
t
C
C
y
t
C
C
x
+
=
+
=
*
2
*
1
,
C
C
- кез келген 
1
C
жəне 
2
C
тұрақтыларының сызықты 
комбинациясы. Тыныштық нүктесі 
0
,
0
≡
≡
y
x
орнықсыз.
Тыныштық нүктелерінің жіктелуі ерекше нүктелердің жік-
телуімен тығыз байланысты. Шындығында теңдеулер жүйесі
dx
a x a y
dt
dy
a x a y
dt
11
12
21
22
,
,
⎧
=
+
⎪⎪
⎨
⎪
=
+
⎪⎩
a
a
a
a
11
12
21
22
0
≠
t
-ны жою нəтижесінде 
a x a y
dy
dx
a x a y
21
22
11
12
+
=
+
теңдеуіне келтіріледі. Жүйенің тыныштық нүктесі 
0
,
0
=
=
y
x
соңғы теңдеудің ерекше нүктесі болады.

199
Сонымен, сипаттамалық теңдеудің екі түбірінің де нақты 
бөліктері теріс таңбалы болса ( I 1); II 1); III 1)) онда тыныштық 
нүктесі асимптотикалық орнықты. Егер сипаттамалық теңдеудің 
кемінде біреуінің нақты бөлігі оң таңбалы болса ( I 2); I 3); II 2); 
III 2)), онда тыныштық нүктесі орнықсыз.
Дəл осы тұжырымдар тұрақты коэффициентті 
n
сызықты 
біртекті теңдеулер жүйесі үшін де орынды:
n
i
ij
j
j
dx
a x
i
n
dt
1
1,
=
=
=
∑
(6) 
Жүйенің (6) сипаттамалық түбіріне
s
k
тиісті жеке шешімі
нақты
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
+
−
=
=
,
,
sin
)
(
cos
)
(
,
,
1
)
(
3
i
q
p
k
t
q
t
Q
t
q
t
Q
e
k
n
i
t
Q
e
x
s
s
s
s
i
i
s
i
i
t
p
s
i
t
k
i
i
s
γ
β
α
(
( ),
( )
i
i
Q t
Q t
түбір
s
k
еселі болғандағы көпмүшеліктер) 
0
<
s
k
немесе
0
<
s
p
болғанда,
∞
→
t
ұмтылғанда нөлге ұмтылады.
Демек, траекторияның бастапқы моментте бас нүктенің 
−
δ
төңірегінде жататын нүктелері, жеткілікті үлкен 
t
мəндерінен 
бастап, бас нүктенің
ε
- төңірегінен табылып,
∞
→
t
ұмтылғанда 
бас нүктеге шексіз жуықтайды, тыныштық нүктесі 
n
i
x
i
,
1
0
=
≡
асимптотикалық 
орнықты.
Ал егер, əйтеуір бір сипаттамалық түбір 
0
>
s
k
немесе 
s
s
k
p
Re
0
=
>
болса, 
t
шексіз өскенде шешім 
i
x
модулі бойынша 
шексіз өседі, траекториядағы нүктелер бастапқы моментте бас 
нүктенің қаншалықты аз 
−
δ
төңірегінде болса да, жеткілікті 
үлкен 
t
-дан бастап, 
ε
-төңірегінен шығып кетеді. Демек, əйтеуір 
бір сипаттамалық түбірдің нақты бөлігі оң таңбалы болса, жүйенің 
тыныштық нүктесі 
n
i
x
i
,
1
,
0
=
≡
орнықсыз. 
Сонымен: егер жүйенің (6) сипаттамалық теңдеуінің барлық 
түбірлерінің нақты бөліктері теріс таңбалы болса, онда нөлдік 
шешім
n
i
x
i
,
1
,
0
=
≡
асимптотикалық орнықты;

200
Егер кемінде бір сипаттамалық түбірдің нақты бөлігі оң таң-
балы болса, онда тыныштық нүктесі 
n
i
x
i
,
1
,
0
=
≡
орнық сыз.
1-мысал.
Теңдеулер жүйесінің шешімін орнықтылыққа зерт-
теп, траекторияларын жəне қозғалыс бағытын көрсету керек:
dx
dy
x
y
x y
dt
dt
4 ,
.
= −
= −
Шешуі. Сипаттамалық теңдеуі
,
0
1
1
4
1
=
−
−
−
−
k
k
,
0
4
2
=
+
k
түбірлері 
i
k
2
±
=
таза жорамал сандар болғандықтан барлық 
шешімдері орнықты, тыныштық нүктесі орнықты центр, шешімдер 
траекториясы
dy
x y
dt
x
y
4
−
=
−
немесе 
x y dx
x
y dy
(
)
(
4 )
0
−
− −
=
теңдеуінен анықталады. Бұл толық дифференциалдық теңдеудің 
шешімі былай табылады:
x
u x y
x y dx
xy
y
2
( , )
(
)
( )
2
ϕ
=
−
=
−
+
∫
d
x
x
y
dy
4
ϕ
− +
= − +
,
2
)
(
2
y
y
=
ϕ
x
u x y
xy
y
2
2
( , )
2 .
2
=
−
+
Теңдеулер жүйесі шешімдерінің траекториялары
x
xy
y
C
2
2
2
2
4
,
−
+
=
(
)
2
2
2
3
C
y
y
x
=
+
−
эллипстер екендігін көреміз. Эллипстер бойымен қозғалыстар 
периодты, қозғалыс бағытын былай анықтаймыз: бір эллипс 
бойымен қозғалыстағы нүкте 
x t y t
( ( ), ( ))
сəулені
0
,
0
>
=
y
x
қисын. Онда осы моментте жүйенің екінші теңдеуінен 

201
dy t
y t
dt
( )
( ) 0
= −
<
екендігі, яғни қозғалыстағы нүкте ординатасы
кемімелі екендігі шығады. Демек, қозғалыс эллипс бойымен 
сағат тіліне қарама-қарсы бағытта екен (
10-сурет
).
10-сурет
2-мысал.
Теңдеудің шешімін орнықтылыққа зерттеу керек:
x
a x
bx
b
2
2
(
0).
= −
−
>
′′
′
Шешуі: Теңдеу ортаның кедергісі немесе қарсы əсері еске-
рілетін серпімді тербелесті өрнектейді.
Эквивалентті теңдеулер жүйесімен алмастырамыз: 
x
y
y
a x
by
2
,
2 .
=
′
⎧
⎨
= −
−
′
⎩
Сипаттамалық теңдеуі
k
k
bk a
a
b k
2
2
2
1
0 ,
2
0,
2
−
=
+
+
=
−
−
−
түбірлері 
.
2
2
2
,
1
a
b
b
k
−
±
−
=
Келесі мүмкіндіктерді қарастырамыз:
14–684

202
1) 
,
0
=
b
ортаның кедергісі ескерілмейді. Барлық қозғалыс 
периодты. Координаталар басындағы тыныштық нүктесі центр.
2) 
.
0
,
0
2
2
>
<
−
b
a
b
Тыныштық нүктесі орнықты фокус. 
Тербеліс өшпелі.
3) 
.
0
,
0
2
2
>
≥
−
b
a
b
Тыныштық нүктесі орнықты түйін. 
Барлық шешімдері өшпелі, тербелмейтін. 
Егер ортаның кедергісі үлкен болса 
(
)
a
b
≥
, бұл жағдай бас-
талады.
4) 
0
<
b
(теріс кедергі), 
.
0
2
2
<
−
a
b
Тыныштық нүктесі ор-
нықсыз фокус.
5) 
0
,
0
2
2
≥
−
<
a
b
b
(үлкен теріс кедергі). Тыныштық нүк-
тесі орнықсыз түйін.
3-мысал.
Теңдеулер жүйесінің тыныштық нүктесін орнық ты-
лыққа зерттеу керек
2
2
2
,
,
.
dx
x
y
z
dt
dy
x
z
dt
dz
x
y
z
dt
⎧
= +
+
⎪
⎪
⎪
= +
⎨
⎪
⎪
=
+ +
⎪⎩
Шешуі. Сипаттамалық теңдеуі
,
0
2
1
2
1
1
1
2
1
=
−
−
−
k
k
k
,
0
3
3
2
3
=
+
+
−
k
k
k
(
)
.
0
3
3
2
=
−
−
−
k
k
k
Түбірлері 
k
k
3
21
0,
2
±
=
=
болғандықтан, тыныштық 
нүк тесі
0
,
0
,
0
=
=
=
z
y
x
орнықсыз.

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: