Ќазаќстан Республикасы
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- -лекция.
| Лекция мәтіні
1. G кезкелген үзінді тегіс Г қисығымен шектелген бір байланысты аймақ, ал f(z) тұйық G аймағындза аналитикалық функция болсын. Бұл ішінде G аймағы барлық кез келген кейбір G’ аймағының әрбір нүктесінде f(z) функциясының шектеулі туындысы болады деген сөз қорытып шығарайық деп отырған Коши формуласын , Г қисығына іштей болатын f(z) функциясының кез келген нүктесіндегі мәнін осы функцияның Г контурындағы мәні арқылы өрнектейді. Кошидің бұл формуласы мынадай түрде жазылады; (1) Мұндағы z-Г –нің ішіндегі кез келген нүкте, ал интегралда Г контуры бойынша оң бағыт та жүргізіледі. Дәлелдеу үшін z арқылы G аймағының кез келген нүктесін белгілеп, оны центр етіп, G аймағында тұтас жататын мейлінше аз радиусты шеңберін сызамыз. Сонда Функциясы Г және контурларымен шектелген екі байланысты аймақта аналитикалық функция болады. Демек, Коши теоремасының (12-лекция) негізінде (2) Берілген f(z) функциясы G аймағында аналитикалық болғандықтан ол осы аймақта үзіліссіз болады. Сондықтан саны үшін шеңберінің нүктесі үшін -z= болғанда f()-f(z) теңсіздігі орындалады. Интегралдың қасиетін қолдансақ, < 2 Демек, теңдігін ескерсек, Мұнан
Г тұйық контурының бойымен алынған интегралдың -ға тәуелді еместігін ескеріп, (2) теңдікте р -да шекке көшсек. немесе дәлелдегіміз келгені осы. 2. Коши формуласы көп байланысты G аймағы жағдайында да қамданылатынын көрсету оңай. Сонымен, шекарасы күрделі контур Г=Г0Г1-Г2-Гn- болатын көп байланысты G аймағын қарастырайық f(z) функциясының тұйық G аймағында аналитикалық функция деп жорып, Коши формуласын тағайындайық. F(z)= Мұндағы z-G аймағының кез келген нүктесі дәлелдеу үшін z нүктесін G аймағында тұтас жататындай етіп, барынша кішкене тұйық контурымен қоршаңыз. Алғашқы Г контурға қисығын қосқаннан алынған, оң бағытта өтетін күрделі Г’=Г контурын қарастырайық Г – контурымен шектелген аймақты G’ арқылы белгілейік. Сонда фунциясының тұйық G’ аймағында аналитикалық болатыны сөзсіз. Сондықтан Коши теоремасы бойынша Немесе, сонғы интегралдан басқаларын сол жаққа өткізсек, (3) мұнда интегралдау Г және контурлары бойынша оң бағытта жүргізіледі. мен шектелген аймақ бір байланысты болғандықтан оған (1) Коши формуласын қолдануға болады. бұл формуланы (3) теңдікке енгізіп, ең ақырында теңдігніне келеміз. Дәлелдеу керегі де осы еді. 3. (1) формуладағы Г контуры ретінде z-ге тең, центрі а нүктесінде жататын С шенберін алайық. Z-a=ze(0) Онда f(z)=f(a+ze), dZ=ized, болғандықтан f(a)= Бұл формула аналитикалық фунциялар үшін орта мән туралы теореманы өрнектейді. Мысал. J=интегралын есептейік. Берілген f(z)=z2 фунциясы (z)=3шенберімен қоршалған тұйық дөнгелекте аналитикалық фунция және Z=2i нүктесі осы шенбердің ішінде жататындықтан Коши формуласын қолдануға болады: J= 16-лекция. Коши типті интеграл .жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|