§ 4. Алгебралық сандар пәні бойынша сұрақтар

§ 2 . Көпмүшенің дәрежесі және көпмүшенің лексикографиялық түрде реттеу 

§ 3. Симметриялы көпмүшелер 

3.1. Симметриялы көпмүшелердің қасиеттері 

3.2. Симметриялы көпмүшелер туралы негізгі теорема 

§ 4. Симметриялы көпмүшелерді қолдану 

4.1. Виет формулаларын қолдану 

4.2. Теңдеулер жүйелерін шешу 

4.3. Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу 

4.4. Қайтымды теңдеулер 

§ 5. Результант 

5.1. Белгісіздерді шығарып тастау 

5.2. Дискриминант 

II-ТАРАУ.  Негізгі сандық өрістердегі көпмүшелер 

§ 1. Комплекс сандар өрісінің алгебралық тұйықтығы 

1.1. Комплекс көпмүше модуліның өсу туралы теорема 

1.2. Комплекс көпмүше модулінің үзіліссіздігі 

1.3. Комплекс көпмүше модулінің ең кіші мәні 

1.4. Алгебраның негізгі теоремасы 

§ 2. Нақты сандар өрісіндегі көпмүшелер 

§ 3. Рационал сандар өрісіндегі көпмүшелер 

3.1. Нақты көпмүшенің түбірлерінің түйіндестігі 

3.2. Рационал бөлшектер 

§ 4. Үшінші және төртінші дәрежелі алгебралық теңдеулер 

4.1. Үшінші дәрежелі теңдеулер 

4.2. Нақты кубтық теңдеулер 

4.3. Төртінші дәрежелі теңдеулер 

§ 5. Көпмүшенің нақты түбірлерін айыру 

5.1. Штурм көпмүшелері 

5.2. Штурм теоремасы 

§ 6. Рационал сандар өрісіндегі көпмүшелер 

6.1. Көпмүшенің рационал түбірлері 

6.2. Рационал сандар өрісінде жіктелмейтін көпмүшелер 

III-ТАРАУ. Алгебралық сандар 

§ 1. Өрістің жай алгебралық кеңейтуі 

1.1. Өрістің жай кеңейтуі 

1.2. Алгебралық элементтің минимал көпмүшесі 

1.3. Жай алгебралық кеңею 

1.4. Жай алгебралық кеңеюдің құрылымы 

§ 2. Өрістің құрама алгебралық кеңеюі 

2.1. Өрістің ақырлы кеңеюі 

1.2. Өрістің құрама кеңеюі 

1.3. Өрістің құрама алгебралық кеңеюдің жай алгебралық кеңею болу 

§ 3. Өрістің алгебралық тұйықтамы 

§ 4. Көпмүшені жіктелу өрісі және нормальдық кеңеюлер 

§ 5. Алгебралық сандар өрісі 

§ 6. Үшінші дәрежелі теңдеудің квадрат радикалдарда шешімділік шарттары 

6.1. Теңдеудің квадрат радикалдарда шешілімділік ұғымы 

6.2. Квадрат  радикалдарда шешілмейтін есептер 

§ 7. Иррационал сандар 

§ 8. Иррационал сандарды рационал сандармен жуықтау 

§ 9. Трансцендент сандар 

9.1. Лиувилль теоремасы 

9.2. e санының трансценденттігі 

9.3. 

 санының трансценденттігі 

 

 

Әдістемелік нұсқаулар 

0.1. Комплекс сандардың  өрісі 

Анықтама. Сандық өріс деп өзі өріс болатын комплекс сандар өрісінің кез келген ішжиыны аталады. 

Мысалы,  рационал  сандар  Q  және  нақты  сандар  R  өрістері  сандық  өрістер  болады.  Сонымен  бірге 

алдыңғы параграфта қаралған Q(i), Q( 3 ) өрістері сандық өріс болады, өйткені Q(i)  C, Q( 3 )  R  

C.  

Сан ұғымы қазір  былай кеңейтіледі. Әуелі натурал сандар N = {1, 2,…} жиынында қосу және көбейту 

операциялары беріледі. Одан кейін бүтін сандар Z сақинасы натурал сандар жиынын қамтитын ең кіші 

сақина деп  анықталады. Одан кейін рационал сандардың Q өрісі  бүтін сандар сақинасын қамтитын ең 

кіші өріс деп анықталады. Атап айтқанда, рационал сандар өрісі бүтін сандар сақинасының бөлінділер 

өрісі болады. Енді нақты сандар рационал сандардан құралған жинақталатын тізбектердің шектері  деп 

анықталады. Ол математикалық анализ курсында қаралады.  

1-Теоремада  нақты  сандар  өрісі  комплекс  сандар  С  өрісіне  дейін  кеңейтілді.  Сөйтіп,  сан  ұғымының 

дамуын N  Z  Q  R  C тізбекшемен көрсетуге болады. Ал сан ұғымын одан әрі кеңейтуге бола ма 

деген  сұрақ  туады.  XIX  ғасырда  ағылшын математиктері  Гамильтон мен  Кэли  комплекс  сандар  өрісін 

екі  түрде  ғана  кеңейтуге  болады.  Бірінші  жол  кватерниондар  K

4

  денесіне  дейін,  екінші  жол  Кэли 

алгебрасына  немесе  октавалар  алгебрасына  деп  аталатын  алгебраға  дейін  кеңейтілсе  де, 

кватерниондарға  көбейту  коммутатив  операция  болмайды,  ал  октаваларға  көбейту  коммутатив  және 

ассоциатив операция болмайды.   

Мысалдар.  1.  х

2

  +  2х  +  10  =  0  теңдеуін  комплекс  сандар  өрісінде  шешейік.  Әдеттегідей 

дискриминантты  табамыз:  D  =  –36.  Дискриминант  теріс,  бірақ  теңдеудің  комплекс  сандар  арасында 

шешімі табылады: z

1,2

 = 

2

36

2







 = 

2

1

6

2







 = –1  3

1

  = –1  3i. 

2. х пен у-тің қандай мәндері үшін 3 + (х – 1)i = х + у + 5 – 2і теңдігі орындалатынын табайық.  

Теңдеудің екі жағындағы нақты және жорамал бөліктерін жақшаға алайық: 3 + (х – 1)i = (х + у + 5) – 2і. 

Енді  екі  жағындағы  нақты  және  жорамал  бөліктерді  теңестіреміз: 



















2

1

5

3

x

y

x

.  Осыдан 















1

8

x

y

x

, 













9

1

y

x

. 

3. i

2007

 мәнін есептеу керек. Ол үшін әуелі i

2

, i

3

, i

4

 мәндерін есептеік: i

2

 = –1, i

3

 = i

2

∙i = (–1)i = –i, i

4

 = i

2

∙i

2

 

= (–1)(–1) = 1. Енді 2007 санын 4-ке қалдықпен бөлейік: 2007 = 4∙501 + 3. Осыдан i

2007

 = i

4∙501 + 3

 = i

4∙501

 ∙ i

3

 

= (i

4

)

501

 ∙ i

3

 = 1

501

∙ i

3

 = –i. 

4. (1 + 2i)

5

 дәрежесін есептеу керек. 

Ньютон  биномының  формуласын  қолданамыз:  (a  + 

b)

n

  =  a

n

  + 

1

n

C

a

n–1

b  + 

2

n

C

a

n–2

b

2

  +…+ 

1



n

n

C

ab

n–1

  +  b

n

, 

мұндағы 

k

n

C

 = 

)!

(

!

!

k

n

k

n



 формуласымен есептеледі, 

ал n! = 1∙2∙…∙n және 0! = 1! = 1 екенін ескерту керек. 

Мұнда n-ға Паскаль үшбүрышын қолданған жөн.  

Біздің мысалға Паскаль үшбұрышы 1, 5, 10, 10, 5, 1 коэффициенттерін берді. Сондықтан  (1 + 2i)

5

 = 1

5

 + 

5∙1

4

∙ (2i) + 10∙1

3

∙(2i)

2

 + 10∙1

2

∙(2i)

3

 + 5∙1∙(2i)

4

 + (2i)

5

 = 1 + 10i –40 – 80i + 80 + 32i = 41 – 38i.  

5. Комплекс сандар өрісінде 



















2

)

1

(

1

2

3

y

x

i

i

iy

x

 теңдеулер жүйесін шешейік. 

Жүйенің екінші теңдеуінен y = 2 + (–1 + i)x шығады. Осы y-тің өрнегін бірінші теңдеуге қоямыз: 3x + 2i  

[2 + (–1 + i)x = 1 – i. Осы теңдеуді x-қа қатысты шешеміз: x = 

i

i

2

1

5

1





 = 

)

2

1

)(

2

1

(

)

2

1

)(

5

1

(

i

i

i

i









 = 

2

2

y

x 

 = 

5

11

 – 

5

3

i. Енді y-тің мәнін табамыз y = 2 + (–1 + i) 

5

3

11

i



 = 

5

14

2

i



 = 

5

2

 + 

2

2

3

0 

i.  

n = 0 

   

 

 

 

 

1 

 

 

 

 

 

n = 1 

   

 

 

 

1 

 

1 

 

 

 

 

n = 2 

   

 

  1 

 

2 

 

1   

 

 

n = 3 

   

  1   

3 

 

3 

  1   

 

n = 4 

    1    4 

 

6 

 

4    1   

n = 5 

  1    5   

10 

 

10 

  5    1 

. . .  

Жауабы: x = 

5

11

 – 

5

3

i, y = 

5

2

 + 

5

14

i. 

6. Нөлден өзгеше комплекс a + bi санның квадрат түбірін табайық. 

bi

a 

 = x + yi болсын. Онда a + bi = (x + yi)

2

 немесе a + bi = (x

2

 – y

2

) + 2xyi. Екі жақтың нақты және 

жорамал  бөліктерін  теңестірсе,  онда 













b

xy

a

y

x

2

2

2

  жүйесіне  келеміз.  Оны  шешу  үшін  теңдеулерді 

квадраттап қосса, (x

2

 + y

2

)

2

 = a

2

 + b

2

 болады. Осыдан x

2

 + y

2

 =  

2

2

b

a 

, оң жақта арифметикалық түбір 

болатынын ескертейік. Екінші жағынан x

2

 – y

2

 = a. Соңғы екі теңдеудің x

2

 және y

2

-қа қатысты шешсе, x

2

 

= 

2

2

2

b

a

a





,  y

2

  =   

2

2

2

b

a

a







.  Ал 

2

2

b

a 

    |  a  |.  Сондықтан  x

2

  пен  y

2

-ты  түбірлесе,  x  = 

2

2

2

b

a

a







, y = 

2

2

2

b

a

a









. Енді 2xy = b қатынасын қарайық. Егер b > 0 болса, онда  x пен 

y-тың таңбалары бірдей; егер b < 0 болса, онда x пен y-тың таңбалары әртүрлі; ал b = 0 болса, онда x = 0 

немесе y = 0. Сондықтан  

bi

a 

 = 















2

2

2

b

a

a

  

4



. 

Осы  формула  төрт  мәнді  береді,  олардың  арасынан  екеуін  тексеріп  алу  керек.  Ол  үшін  жоғарыдағы 

жүйедегі 2xy = b шартын тексеру керек. 

7. 

i

4

3 



 мәнін табайық.  

Алдыңғы мысалдағы формула бойынша, 

i

4

3 



 = 





















2

)

4

(

)

3

(

3

2

2

  

















2

)

4

(

)

3

(

3

2

2

i

 = 

(1  2i) төрт мән шығады: 1 + 2i, 1 – 2i, –1 + 2i, –1 – 2i. Осы сандарды квадраттаса, [(1 + 2i)]

2

  –3 – 4i, 

сондықтан: 

i

4

3 



 =  (1 – 2i). 

0.2. Комплекс санның түйіндесі және модулі 

0.3. Комплекс санның тригонометриялық тұлғасы 

Мысалдар. 1. z = 4 = 4 + 0∙i, болса, онда | z | = 

2

2

y

x 

 = 

2

2

0

4 

 = 4, cos 

 = 

z

x

 = 

4

4

 = 1 , sin 

  = 

z

y

 

= 

4

0

 = 0. Сондықтан 

  = 0, 4 = 4(cos 0

 

+ isin 0). 

Осы мысалда және одан әрі біз аргументтің бас мәнін ғана аламыз. 

2.  z    =  3i  болса,  онда  |  z  |  = 

2

2

y

x 

  = 

2

2

3

0 

  =  3,  cos 

    = 

z

x

  = 

3

0

    =  0  ,  sin 

    = 

z

y

  = 

3

3

  =  1. 

Сондықтан 

  = 

2



, 3i = 3(cos

2



 

+ isin

2



). 

3. z  = 4 + 4i, | z | = 

2

2

y

x 

 = 

2

2

4

4 

= 

2

4

, cos 

  = 

z

x

 = 

2

4

4

 = 

2

1

, sin 

  = 

z

y

 =  

2

4

4

 = 

2

1

. 

Сондықтан 

 = 

4



, 4 + 4i = 

2

4

(cos

4



 

+ isin

4



). 

4.  z    =  –sin 

  +  icos.  Бұл  жағдайда  |  z  |  =  1  екенін  көруге  болады.  Енді  cos    =  –sin,  sin  =  cos   

болсын. Онда келтіру формулалары бойынша, 

 = 

2



 + 

. Сондықтан z = cos(

2



 + 

) + isin(

2



 + 

). 

5. z  = 1 + cos 

3



 + isin 

3



. Белгілі тригонометриялық формулаларды қолданамыз: 1 + cos 

  = 2cos

2

2



,  

sin 

  =  2sin

2



  cos

2



.    Осыдан  z    =  2cos

2

6



  +  2isin

6



  cos

6



  =  2cos

6



  (cos

6



  +  isin

6



)    = 

3

(cos

6



  + 

isin

6



). 

6. z  = 1 + i

tg 

3



 = 1 + i 

3

cos

3

sin





  =  

3

cos

1



(cos 

3



 + i sin 

3



) = 2(cos 

3



 + i sin 

3



). 

7. Берілген комплекс сандардың қосындысын және айырымын комплекс жазықтықта кескіндейік: z

1

 = 2 

+  3i,  z

2

  =  3  +  2i.  Осы  сандар  M

1

(2,  3)  және  M

2

(3,  2)  нүктелерімен  кескінделеді.  Олардың  z

1

  +  z

2

 

қосындысына 

1

OM

{2,  3}  және 

2

OM

{3,  2}  векторларының 

4

OM

{5,  5}  қосындысы  сәйкес,  ал  z

1

  –  z

2

 

айырымына векторлардың 

3

OM {–1, 1} айырымы сәйкес. 

 

8. Берілген шарттар орындалатын нүктелердің жиынын комплекс жазықтықта сипаттайық. 

а) | z | = 3. Әрбір комплекс сан жазықтықта нүктемен кескінделеді. Ал комплекс санның модулі 3 болса, 

онда оның координаталар басынан қашықтығы 3 болу керек. Координаталар басынан 3 қашықтығында 

тұратын нүктелердің жиыны центрі координаталар басында және радиусы 3-ке тең шеңбер болады. 

 

ә)  arg  z  = 



3

2

. Егер  arg  z  = 



3

2

  болса, онда  z  санын кескіндейтін  нүкте  OX  осінің  оң  бағытымен 



3

2

 

бұрышын құратын координаталар басынан шығатын сәуледе жатады. Керісінше, осы сәуледе жататын 

кез келген нүктеге сәйкес комплекс санның аргументі  



3

2

 болады. Сондықтан arg z = 



3

2

 теңдеуінің 

шешімдер  жиыны  координаталар  басынан  шығатын  және  OX  осімен 



3

2

  бұрышын  құрайтын  сәуле 

болады. 

 

 

9. Комплекс жазықтықта берілген жиындарды сипаттайық.  

а) | z – (2 + i) | < 4; ә) | z – (2 + i) |  4; б) | z  – (2 + i) | > 4, в) | z  – (2 + i) | 

≥ 4. 

| z – a | шамасы z пен a нүктелерінің арасындағы қашықтықты көрсетеді.  

а) | z – (2 + i) | < 4 теңсіздігі  z және a = 2 + i  нүктелердің арасындағы қашықтық 4-тен кем  болатын z 

нүктелерін  береді.  Сондықтан  осы  теңсіздік  центрі  2  +  i  нүктесінде  және  радиусы  4-ке  тең  ашық 

дөңгелек болады (шеңбер шешімдер жиынына тиісті болмайды, өйткені қатаң теңсіздік берілген).  

 

ә)  Мұнда  шешімдер  жиыны  центрі  2  +  i  нүктесінде  және  радиусы  4  болатын  тұйық  дөңгелек  болады 

(шеңбер шешімдер жиынына кіреді). 

б) | z – (2 + i) | > 2. Оның шешімдер жиыны центрі 2 + i нүктесінде және радиусы 2-ге тең дөңгелектен 

тыс нүктелердің жиыны болады (шеңбер шешімдер жиынына тиісті болмайды, өйткені қатаң теңсіздік 

берілген). 

 

в) | z  – (2 + i) | 

≥ 4 теңсіздігінің шешімдері центрі 2 + i нүктесінде және радиусы 4-ке тең дөңгелектен 

тыс нүктелердің жиыны болады (шеңбер шешімдер жиынына тиісті болады). 

10. Комплекс жазықтықта берілген теңдеудің шешімдер жиынын сипаттайық: | z – a | + | z – b | = 8. 

| z – a | шамасы z нүктесінен a нүктесіне дейін қашықтыққа тең, | z – b | шамасы z нүктесінен b нүктесіне 

дейін  қашықтыққа  тең,  сондықтан  берілген  теңдеудің  шешімі  a  мен  b  нүктелеріне  дейін 

қашықтықтарының  қосындысы  8-ге  тең  z  нүкте  болады.  Осындай  нүктелер  фокустары  a  және  b 

нүктелерінде және үлкен осі 8-ге тең эллипсте жатады.   

0.4. Комплекс сандарды тригонометриялық тұлғада көбейту және дәрежеге шығару 

Мысалдар.  1.  Комплекс  сандардың  тригонометриялық  тұлғасын  пайдаланып,  есептейік:  а) 

i

i

i









1

)

3

)(

3

1

(

.   

z

1

=  –1  +  i 3 ,  z

2

  = 

3   –  i,  z

3

  =  1  –  i  болсын.  Онда 

3

2

1

z

z

z 

  мәнін  есептеу  керек.  Осы  сандарды 

тригонометриялық тұлғаға келтіріп есептейік: | z

1

 | =  

 

2

2

3

)

1

(





 = 2, cos 



1

  =  –

2

1

, sin 



1

 = 

2

3

, 



1

  

= 

3

2



, z

1

 = 2(cos

3

2



 + isin

3

2



), | z

2

 | = 

 

2

2

)

1

(

3





 = 2, cos 



2

  =  

2

3

, sin 



2

 = –

2

1

, 



2

 = 

6

11



, z

2

 = 

2(cos

6

11



 + isin

6

11



), | z

3

 | = 

2

2

)

1

(

1





 =  2 , cos 

3

  =  

2

1

, sin



3

 = –

2

1

, 

 = 

4

7



, z

3

 =  2 (cos

4

7



 + 

isin

4

7



). 

Осыдан 

3

2

1

z

z

z 

 

= 

)

4

7

sin

4

7

(cos

2

)

6

11

sin

6

11

(cos

2

)

3

2

sin

3

2

(cos

2













i

i

i









 

= 

)

4

7

sin

4

7

(cos

2

6

11

3

2

sin

6

11

3

2

cos

4













i

i













































 

= 

 















































4

7

6

11

3

2

sin

4

7

6

11

3

2

cos

2

2













i

 

= 















12

51

sin

12

51

cos

2

2





i

 = 















12

3

sin

12

3

cos

2

2





i

 = 















4

sin

4

cos

2

2





i

 = 















2

1

2

1

2

2

i

 = 2 + 2i. 

ә) (cos

3



 – isin

3



)(– cos 

6



 + isin

6



). 

cos 

  = cos

3



, sin 

 = –sin

3



, cos 

   = –cos

6



, sin 

  = sin

6



, болсын. Онда 

  = 2 – 

3



, 

  =  – 

6



. 

Осыдан (cos

3



 – isin

3



)(– cos 

6



 + isin

6



) = [cos(2

 – 

3



) + isin(2

 – 

3



)][cos (

 – 

6



) + isin(

 – 

6



)] = 

cos(2

 – 

3



 + 

 – 

6



) + isin(2

 – 

3



 + 

 – 

6



) = cos(

 – 

2



) + isin(

 – 

2



) = cos

2



 + isin

2



 = i. 

2. 

14

8

12

)

1

(

)

3

1

(

)

3

1

(











i

i

i

 өрнегін есептейік. 

z

1

= –1 + i 3 , z

2

 = 1 – i 3 , z

3

 = –1 + i деп алайық. Онда 

14

3

8

2

12

1

z

z

z



 мәнін есептеу керек. Осы сандарды 

тригонометриялық тұлғаға келтіру керек. | z

1

 | = 

 

2

2

3

)

1

(





 = 2, cos 

  = 

2

1



, sin 

 = 

2

3

, 

 = 

3

2



, z

1

 

= 2(cos

3

2



 + isin

3

2



). Одан әрі | z

2

 | = 





2

2

3

1





 = 2, cos 

  = 

2

1

, sin 

 = –

2

3

, 

  = 

3

5



, z

2

 = 2(cos

3

5



 

+  isin

3

5



),  |  z

3

  |  = 

2

2

1

)

1

(





  = 

2 ,  cos      = 

2

1



,  sin

  = 

2

1

, 

  = 

4

3



,  z

3

  = 

2 (cos

4

3



  +  isin

4

3



). 

Осыдан 

14

8

12

)

4

3

sin

4

3

(cos

2

)

3

5

sin

3

5

(cos

2

)

3

2

sin

3

2

(cos

2

























































i

i

i

 

= 

 

























































4

3

14

sin

4

3

14

cos

2

3

5

12

sin

3

5

12

cos

2

3

2

12

sin

3

2

12

cos

2

14

8

12













i

i

i

  = 





























2

21

sin

2

21

cos

2

20

sin

20

cos

2

8

sin

8

cos

2

7

8

12













i

i

i

 

= 

















2

sin

2

cos

2

2

2

7

8

12





i

 = 

i

2

2

5



 = –34i. 

3.  Егер  |  z

1

  |  =  |  z

2

  |  және  z

1

∙  z

2

  көбейтіндісі  оң  нақты  сан  болса,  онда  z

1

  және  z

1

  сандары  түйіндес 

болатынын дәлелдейік. 

z

1

 = r (cos 



1

 + isin 



1

), z

2

 = r (cos 



2

 + isin 



2

) болсын. Онда z

1

∙ z

2

 = r

2

[cos(



1

 + 



2

) + isin(



1

 + 



2

). Есептің 

шарты бойынша, модулі 1-ге тең болатын cos(



1

 + 



2

) + isin(



1

 + 



2

) саны өзі де 1 болады. Сондықтан 



1

 

+ 



2

 = 2k

 немесе 

1

 = –



2

 + 2k

, k  Z. Онда комплекс жазықтықта z

1

 және z

2

 сандары Ox осіне қатысты 

симметриялы болады. Осыдан z

1

 = 

2

z

. 

4.  sin  3x  және  cos  3x  мәндерін  cos  x  және  sin  x  мәндері  арқылы  өрнектейік.  Бір  жағынан,  Муавр 

формуласы бойынша, (cos x + isin x)

3

 = cos 3x + isin 3x. Екінші жағынан, Ньютон биномының формуласы 

бойынша,  (cos  x  +  isinx)

3

  =    cos

3

x  +  3cos

2

x(isinx)  +  3cosx(isinx)

2

  +  (isinx)

3

  =  cos

3

x  +  i(3cos

2

xsinx)  – 

3cosxsin

2

x – isin

3

x = [cos

3

x– 3cosxsin

2

x] + i(cos

3

x– 3cosxsin

2

x) + i(3cos

2

xsinx – sin

3

x). Сөйтіп, cos 3x + isin 3x 

= (cos

3

x– 3cosxsin

2

x) + i(3cos

2

xsinx – sin

3

x). Осы теңдіктің екі жағындағы нақты және жорамал бөліктерін 

теңестірсе, онда cos 3x = cos

3

x – 3cosxsin

2

x, sin 3x = 3cos

2

xsinx – sin

3

x. 

5. cos

5

x және sin

5

x функцияларын x-қа еселі бұрыштардың тригонометриялық функцияларының бірінші 

дәрежелері түрінде өрнектейік, атап айтқанда cos

5

x және sin

5

x функцияларын cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, 

cos 3x, sin 3x, cos 4x, sin 4x, cos 5x, sin 5x функцияларының сызықтық комбинациялары түрінде келтіру 

керек. 

z = cos x + isin x болсын. Онда z – 1 = cos x – isin x, z

k

 = cos kx + isin kx, z

–k

 = cos kx – isin kx, k = 1, 2,... 

Осыдан 

cos 

kx 

= 

2

k

k

z

z





, 

sin 

kx 

= 

i

z

z

k

k

2





. 

Сөйтіп, 

cos

5

x 

= 

5

1

1

2

















z

z

= 

5

5

4

3

2

2

3

1

4

5

2

5

10

10

5























z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

 

= 

5

1

3

3

5

5

2

)

(

10

)

(

5

)

(

















z

z

z

z

z

z

 

= 

5

2

cos

2

10

3

cos

2

5

5

cos

2

x

x

x













= 

16

cos

10

3

cos

5

5

cos

x

x

x





, 

sin

5

x 

= 

5

1

1

2

















i

z

z

= 

5

5

5

4

3

2

2

3

1

4

5

2

5

10

10

5

i

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z























 

= 

i

z

z

z

z

z

z

5

1

3

3

5

5

2

)

(

10

)

(

5

)

(

















 

= 

i

x

x

x

5

2

sin

2

10

3

sin

2

5

5

sin

2













 = 

i

x

x

x

16

sin

10

3

sin

5

5

sin





= 

i

x

x

x

16

sin

10

3

sin

5

5

sin







. 

0.5. Бірдің түбірлері 

Мысалдар. 1. а) Бірдің 3-дәрежелі түбірлерін есептейік: 



0

 = cos

3

0

2 



 + isin

3

0

2 



 = 1,  



1

 = cos

3

1

2 



 + 

isin

3

1

2 



 = –

2

1

 + i

2

3

, 



2

 = cos

3

2

2 



 + isin

3

2

2 



 = –

2

1

 – i

2

3

. 

ә)  Бірдің  8-дәрежелі  түбірлерін  есептейік: 



0

  =  cos

8

0

2 



  +  isin

8

0

2 



  =  1,   



1

  =  cos

8

1

2 



  +  isin

8

1

2 



  = 

cos

4



 + isin

4



 = 

2

1

 + i

2

1

, 



2

 = cos

8

2

2 



 + isin

8

2

2 



 = cos

2



 + isin

2



 = i, 



3

 = cos

8

3

2 



 + isin

8

3

2 



 = 

cos

4

3



 + isin

4

3



 = –

2

1

 + i

2

1

, 



4

 = cos

8

4

2 



 + isin

8

4

2 



 = cos 

 + isin = –1, 

5

 = cos

8

5

2 



 + isin

8

5

2 



 

= cos

4

5



 + isin

4

5



 = –

2

1

 – i

2

1

, 



6

 = cos

8

6

2 



 + isin

8

6

2 



 = cos

2

3



 + isin

2

3



 = –i, 



7

 = cos

8

7

2 



 + 

isin

8

7

2 



 = cos

4

7



 + isin

4

7



 = 

2

1

 – i

2

1

. 

0.6. Кез келген комплекс санның түбірлері 

Мысалдар. 1. 

4

16



 түбірлерін табайық және оларды комплекс жазықтықта кескіндейік. 

z = –16 деп алайық. Онда z = –16 + 0∙i, | z | = 16, cos 

  =  –1, sin  = 0,  = , z = 2(cos + isin). Онда z

0

 = 

2(cos

4



 + isin

4



) = 2(

2

2

 +i

2

2

) = 

2  + i 2 , z

1

 = 2(cos

4

2







 + isin

4

2







) = 2(cos

4

3



 + isin

4

3



) = 

2(–

2

2

 +i

2

2

) = – 2  + i 2 ,  z

2

 = 2(cos

4

4







 + isin

4

4







) = 2(cos

4

5



 + isin

4

5



) = 2(–

2

2

 – i

2

2

) = –

2  – i 2 ,  z

3

 = 2(cos

4

6







 + isin

4

6







) = 2(cos

4

7



 + isin

4

7



) = 2(

2

2

 – i

2

2

) = 

2

 – i 2 .  

Осы  есепті,  5-теореманы  қолданып,  шешуге  болады.  Әуелі  (–16)-дың  4-дәрежелі  бір  түбірі  табылады: 

Онда z

0

 =  2  + i 2 . Одан кейін бірдің 4-дәрежелі алғашқы түбірі табылады: 

0

 = i. Осыдан кейін (–16)-

ның 4-дәрежелі түбірлері z

0

 =  2  + i 2 , z

1

 = z

0

i = ( 2  + i 2 )i = – 2  + i 2 , z

2

 = z

0

i

2

 =  ( 2  + i 2 ) i

2

 

= – 2  – i 2 , z

3

 = z

0

i

3

 =  ( 2  + i 2 )i

3

 =  2  – i 2 . 

Комплекс жазықтықта –16-ның 4-дәрежелі түбірлері төменгі суретте көрсетілген. 

 

2. 

6

3

1

i

i





 өрнегінің мәндерін есептейік. Ол үшін u = 1 + i, v =  3  – i, z = 

v

u

 деп алайық. Онда | u | = 

2

2

1

1 

 =  2 , cos 

1

  =  

2

2

, sin 



1

 = 

2

2

, 



1

 = 

4



, u =  2 (cos

4



 + isin

4



), | v | = 

 

2

2

)

1

(

3





 = 2, cos 



2

  =  

2

3

, sin



2

 = –

2

1

, 



2

 = 

6

11



, v = 2(cos

6

11



 + isin

6

11



), z = 

v

u

 = 

)

6

11

sin

6

11

(cos

2

)

4

sin

4

(cos

2









i

i





 = 

2

1

[cos(

4



–

6

11



) + isin(

4



–

6

11



)] = 

2

1

(cos

12

5



 + isin

12

5



). Осыдан z

0

 = 

12

2

1

(cos 

12

6

5





 + isin

12

6

5





) = 

12

2

1

(cos

72

5



 + 

isin

72

5



),  z

1

  = 

12

2

1

(cos

6

2

12

5







  +  isin

6

2

12

5







)  = 

12

2

1

(cos

72

29



  +  isin

72

29



),  z

2

  = 

12

2

1

(cos

6

4

12

5







  + 

isin

6

4

12

5







)  = 

12

2

1

(cos

72

53



  +  isin

72

53



),  z

3

  = 

12

2

1

(cos 

6

6

12

5







  +  isin

6

6

12

5







)  = 

12

2

1

  (cos

72

77



  + 

isin

72

77



),  z

4

  = 

12

2

1

(cos

6

8

12

5







  +  isin

6

8

12

5







)  = 

12

2

1

(cos

72

101



  +  isin

72

101



),  z

5 

= 

12

2

1

(cos

6

10

12

5







  + 

isin

6

10

12

5







) = 

12

2

1

(cos

72

125



 + isin

72

125



). 

3. 

3

8i



 түбірлерін есептейік. z = –8i болсын. Онда | z | = 8, cos 

  = 0, sin  = –1,  = 

2

3



, z = 8(cos

2

3



 + 

isin

2

3



).  Енді  үш  түбірді  табамыз:  z

0

  =  2 2 (cos

2

3

3





  +  isin

2

3

3





)  =  2 2 (cos

2



  +  isin

2



)  =  2 2 i,  z

0

  = 

2 2 (cos

3

2

2

3







  +  isin

3

2

2

3







)  =  2 2 (cos

6

7



  +  isin

6

7



)  =  2 2 (–

2

3

  –  i

2

1

)  =  – 6   –  i 2 ,  z

1

  = 

2 2 (cos

3

4

2

3







 + isin

3

4

2

3







) = 2 2 (cos

6

11



 + isin

6

11



) = 2 2 (

2

3

 – i

2

1

) =  6  – i 2 . 

4. cos

11



 + cos

11

3



+ cos

11

5



+ cos

11

7



+ cos

11

9



 қосындысын табайық. 

 = cos 

11



 + isin

11



 деп алайық. Онда 

 + 

3

 + 



5

 + 



7

 + 



9

 =  

 (1 + 

2

 + 



4

 + 



6

 + 



8

)  = 

2

10

1

)

1

(











. Ал 



k

 = cos

11



k

 + isin

11



k

. Сондықтан 

 + 

3

 + 



5

 + 



7

 + 



9

 = 

11

2

sin

11

2

cos

1

)

11

10

sin

11

10

cos

1

)(

11

sin

11

(cos













i

i

i











. Одан  

әрі  кез  келген 

  үшін  1  –  cos    –  isin    =  2sin

2

2



  –2isin

2



cos

2



  =  2sin

2



(sin

2



–  icos

2



)  = 

2sin

2



[cos















2

2

3





 + isin















2

2

3





] = 2sin

2



[cos

2

3







 + isin

2

3







]. Сондықтан 

 +  

3

 + 



5

 + 



7

 + 



9

 

= 









































2

11

2

3

sin

2

11

2

3

cos

11

sin

2

)

2

11

10

3

sin

2

11

10

3

(cos

11

5

sin

2

)

11

sin

11

(cos

























i

i

i

 

= 

11

sin

11

5

sin





 

22

35

sin

22

35

cos

)

22

43

sin

22

43

)(cos

11

sin

11

(cos













i

i

i







  = 

11

sin

11

5

sin





  [cos

















22

35

22

43

11







  +  isin

















22

35

22

43

11







]  =

11

sin

11

5

sin





 

(cos

11

5



 + isin

11

5



) =

11

sin

11

5

sin





cos

11

5



 + i

11

sin

11

5

sin





sin

11

5



. Ал cos

11



 + cos

11

3



+ cos

11

7



+ cos

11

9



 қосындысы 

 + 



3

  + 



5

  + 



7

  + 



9

  қосындының  нақты  бөлігі,  сондықтан  cos

11



  +  cos

11

3



+  cos

11

7



+  cos

11

9



  = 

11

sin

11

5

sin





•cos

11

5



. 

5. cos x + cos2x +… + cos nx және sin x + sin 2x +… + sin nx қосындыларын табайық. 

  = cos x + isin x деп алайық. Онда   +  

2

 +  … 



n

 = 











1

)

1

(

n

 = 

x

i

x

nx

i

nx

x

i

x

sin

cos

1

)

sin

cos

1

)(

sin

(cos











. 5-

мысалда  табылған  1  –  cos 

  –  isin    =  2sin

2



[cos

2

3







  +  isin

2

3







]  формуласы  бойынша, 

x

i

x

nx

i

nx

x

i

x

sin

cos

1

)

sin

cos

1

)(

sin

(cos











  = 





































2

3

sin

2

3

cos

2

sin

2

2

3

sin

2

3

cos

2

sin

2

x

i

x

x

nx

i

nx

nx









  = 

2

sin

2

sin

x

nx

(cos

2

)

1

(

x

n 

  + 

isin

2

)

1

(

x

n 

)  =

2

sin

2

sin

x

nx

•cos

2

)

1

(

x

n 

  +  i•

2

sin

2

)

1

(

sin

x

x

n 

•sin

2

)

1

(

x

n 

.  Осыдан  cos  x  +  cos2x  +…  +  cos  nx  = 

2

sin

2

sin

x

nx

•cos

2

)

1

(

x

n 

, sin x + sin2x +… + sin nx = 

2

sin

2

)

1

(

sin

x

x

n 

•sin

2

)

1

(

x

n 

. 

I-Тарау. Бірнеше айнымалды көпмүшелер 

жүктеу/скачать 1,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: