Тема: Теңдеуді шешудің сандық əдістері

X

0.282

0.359

0.513

















:=

D

5

5

5

8

4

2

1

2

3

















:=

Шығару нəтижесінде 3 мəнді сан ондық нүктеден кейін бейнеленеді.. 

Орнатуды мына мəзір арқылы өзгертуге болады: Format\Number ауыспалы 

Displayed Precision. 

2. Түбірді іздеу Given .........Find(...) блогы арқылы  

x

1

:=

 

y

1

:=

 

Мұнда теңдеу жүйесі бірнеше белгісіздермен шешіледі. 

Итерация тəсілі арқылы шешіледі 

Given

 

 

Зертханалық жұмыс 4  

Тақырыбы: Сомасы мен көбейтіндісін есептеу.Символдық есептеу. 

 

 

 

 

 

 

Сомасымен көбейтіндісін есептеу үшін есептеу палитрасын қолданайық. 

Мысалы: 

1

100

n

1

n

2

∑

=

1.635

=

 

0

20

n

1

−

(

)

n

2 n

⋅

(

)!

∑

=

0.54

=

 

1

1000

k

1

2 k

⋅

1

−

(

) 2 k

⋅

1

+

(

)

⋅

∑

=

0.5

=

 

Біз мұнда сомалаудың шегін көрсететін сома белгісін қолдандық. Жүйе 

жағдайды өңдеп жатқаны мысалдан көрінеді 

1

−

(

)

0

1

=

0

! 1

=

бірақ шексіз 

сомаларды есептей алмайды. Көрсеткіші бар сома белгісі матрицамен жəне 

индекске тəуелді функциямен жұмыс істейді, тек қана сол жағдайда, егерде 

шегі өзгермелі индекс ауыспалы интервал типі ретінде көрінсе.  

M

0

9

−

16

−

21

−

24

−

25

−

24

−

21

−

16

−

9

−

0

9

0

7

−

12

−

15

−

16

−

15

−

12

−

7

−

0

9

16

7

0

5

−

8

−

9

−

8

−

5

−

0

7

16

21

12

5

0

3

−

4

−

3

−

0

5

12

21

24

15

8

3

0

1

−

0

3

8

15

24

25

16

9

4

1

0

1

4

9

16

25

24

15

8

3

0

1

−

0

3

8

15

24

21

12

5

0

3

−

4

−

3

−

0

5

12

21

16

7

0

5

−

8

−

9

−

8

−

5

−

0

7

16

9

0

7

−

12

−

15

−

16

−

15

−

12

−

7

−

0

9

0

9

−

16

−

21

−

24

−

25

−

24

−

21

−

16

−

9

−

0





























































:=

 

Мысалы: 

i

0 2

..

:=

 

i

X

i

∑

1.154

=

 

 

 

 

№5 Зертханалық жұмыс. 

Тақырыбы: Интегралдарды дифференциалдау жəне есептеу. 

Мысалға алдыңғы дифференциалдау нəтижесі болатын

 

функция

 

интегралын табайық.

 

Біз дұрыс нəтиже алдық.  

Алдымен Mathcad-тың интеграл константасын шығармайтыны есіңізде 

болсын. 

x

sin x

2

( )

2 x

2

⋅

cos x

2

( )

⋅

+

(

)

⌠



⌡

d

sin x

2

( )

x

⋅

→

 

Енді қиынырақ функцияның интегралын есептейік : 

x

x

3

2 x

2

⋅

+

x

+

1

+

x

2

x

+

1

+

(

)

x

2

1

+

(

)

⋅

⌠







⌡

d

2

3

3

⋅

atan

1

3

2 x

⋅

1

+

(

)

⋅

3

⋅









⋅

1

2

ln x

2

1

+

(

)

⋅

+

→

 

Mathcad мұндай интегралдың аналитикалық түрін есептей алмайды, 

сондықтан оны бұрынғы күйінде береді. 

x

1

a

2

b

2

sin x

( )

2

⋅

+

⌠







⌡

d

x

1

a

2

b

2

sin x

( )

2

⋅

+

(

)

1

2









⌠









⌡

d

→

 

Символды математика амалдарын Symbolics  мəзірі арқылы орындауға 

болады. Ол үшін Symbolics\Evaluation Style қатарына Horizontally опциясын 

орнатамыз. Дифференциалдауды Symbolics\Variable\Differentiate менюі 

арқылы жүзеге асырамыз. Алдымен  дифференциалданатын айнымалыларды 

енгізу қажет.Мысалы: 

x

1

x

2

−

 

1

1

x

2

−

x

2

1

x

2

−

(

)

3

2









+

 

 

Лабораториялық жұмыс 6 

Тақырып: Дифференциалды теңдеудің сандық шешімдері.  

1. 1 ретті дифференциалдық теңдеулер. Коши есебін шешу. 

Дифференциалдық теңдеу берілсін. 

x

y

d

d

y

x

x

2

+

 

Бастапқы шарт. 

y 1

( )

0

 

Сандық есептеулер 4 ретті Рунге-Кутта əдісін пайдаланатын 

rkfixed(y,x1,x2,n,D), кіірстірілген функциясы көмегімен жүзеге асырылады.   

y – бастапқы шарт векторы, біздің жағдайымызда вектор 1 элементтен 

тұрады. 

x1,x2 – шешімдерді іздеу аралығының шеткі нүктелері. 

n – аралықтағы нүктелер саны. 

D(x,y) – 1 ретті туындыларды қамтитын вектор-функция , біздің 

жағдайымызда вектор 1 элементтен тұрады.  

y

0

0

:=

  теңдеуді шешейік 

 (1,5) аралығында теңдеу шеімдері.  

Z Матрица   2 баған жəне 40 жолдан тұрады. 

Бірінші баған  х айнымалыны қамтиды. 

 y - екінші. 

Бастапқы шарт 

D x y

,

(

)

y

0

x

x

2

+

:=

 

Теңдеудің бірінші бөлігі 

Теңдеудің дəл шешімі крестикпен белгіленген.  

теңдеу    

y

x

3

2

x

2

−

            x    y(x)                           

Z

rkfixed y 1

, 5

, 40

,

D

,

(

)

:=

 

n

0 40

..

:=

 

2

4

0

20

40

60

Z

n 1

,

Z

n 0

,

( )

3

2

Z

n 0

,

2

−

Z

n 0

,

          

 

U

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

0

1.1

0.115

1.2

0.264

1.3

0.448

1.4

0.672

1.5

0.937

1.6

1.248

1.7

1.606

1.8

2.016

1.9

2.479

2

3

2.1

3.58

2.2

4.224

2.3

4.933

2.4

5.712

2.5

6.562

=

Z

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

0

1.1

0.115

1.2

0.264

1.3

0.448

1.4

0.672

1.5

0.937

1.6

1.248

1.7

1.606

1.8

2.016

1.9

2.479

2

3

2.1

3.58

2.2

4.224

2.3

4.933

2.4

5.712

2.5

6.562

=

 

 

Лабораториялық жұмыс 7 

Тақырыбы: дифференциальды теңдеулердің сандық шешуі 

1. Жай ауысатын функцияар. 

Егер ізделінді шешім біршама тегіс болса,   

Шешімді айнымалы қадаммен іздейтін Rkadapt(y, x1, x2, npoints, D) 

функциясын қолдануға болады, ол шешімді іздеуді жылдамдату үшін шешім 

неғұрлым жай ауысатын облыста қадамын арттырады, ал функцияның 

жылдам ауысатын облыстарында қадамын кішірейтеді. Ал шешімнің кері 

жүрісі қалыпты қадаммен жүреді.Функцияның параметрлері  rkfixed(y, x1, x2, 

npoints, D) фунциясымен бірдей.  

Мысалы, алдыңғы есепті екі əдіспен шешейік. 

y

0

0

:=

 

n

0 40

..

:=

 

D x y

,

(

)

y

0

x

x

2

+

:=

 

Z

rkfixed y 1

, 5

, 40

,

D

,

(

)

:=

 

U

Rkadapt y 1

, 5

, 40

,

D

,

(

)

:=

 

2

4

0

50

Z

n 1

,

Z

n 0

,

 

Z

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

0

1.1

0.115

1.2

0.264

1.3

0.448

1.4

0.672

1.5

0.937

1.6

1.248

1.7

1.606

1.8

2.016

1.9

2.479

2

3

2.1

3.58

2.2

4.224

2.3

4.933

2.4

5.712

2.5

6.562

=

 

 

Өзіміз көріп тұрғандай, қалыпты жағдайда өзара толық үйлесімді шешім 

шығады. 

Зертханалық жұмыс 8 

Тақырыбы: Шектік есептер 

Көп жағдайларда функция мəндері тек шеткі нүктелерінде белгілі 

болатын есептер кездеседі, мысалға, шеттерінде бекітілген 

тартылған сым. 

Бұл- шектік есептер. Mathcad та бұндай есептерді шығаруды жүзеге 

асыратын екі функция бар. 

1. Екі нүктелік шектік есеп 

N ші реттідифференциалдық теңдеуді шешу керек болсын. 

Бастапқы нүктеде бастапқы шарттардың барлығы белгілі емес деп, 

бірақ басқа нүктесінде есептедің немесе кейбір туындылардың мəні 

белгілі деп жорамалдайық. Алайда берілген x1, x2 нүктелеріндегі 

шартттардың барлық саны n Ге тең. Бұл жағдайда x1 нүктесінде 

жетіспейтін бастапқы шарттарды іздестіру үшін sbval(v, x1, x2, D, 

load,score) функциясын қолдану керек. 

     V   -  x1нүктесіндегі ізделінетін бастапқы мəндерге бастапқы 

жуық мəндер вектор 

x1, x2  - аралықтың шеткі нүктелері 

D(x,y) -дифференциалдық теңдеулер жүйесінің оң жақ бөлігін 

қамтитын n элементтен тұратын вектор баған 

load(x1,v)    x1 нүктесіндегі бастапқы мəндерді қамтитын n 

элементтен тұратын вектор баған,кей мəндер тұрақты болады, ал 

қалғандары есептеу барысында табылады. 

score(x2,y) - x2 нүктесінің бастапқы мəндері мен осы нүктедегі 

ізделінді мəндер арасындағы айырманы қамтитын v векторының  

өлшемімен бірдей вектор баған 

Мысал ретінде .      y(0)=0  y'(0)=7,   y(1)=1  y'(1)=10  y"(1)=5 шеткі 

шарттары бар  

y

v

y

+

0

 дифференциалдық теңдеуін қарастырайық. 

іІздеуге қажетті бастапқы мəндер: y"(0);      y'"(0);        y""(0) 

v

1

1

1

















:=

 

<- белгілі мəн y(0)=0 

<- белгілі мəн y'(0)=7  

Теңдеулер жүйесінің оң жақ бөлігінің векторы:   

load x1 v

,

(

)

0

7

v

0

v

1

v

2





























:=

 

D x y

,

(

)

y

1

y

2

y

3

y

4

y

0

−

























:=

 

 

<- белгісіз бастапқы  

<- шарттар табылады 

<-  sbva функциясыменl. 

x2 нүктесіндегі берілген мəн мен табылған мəн айырмасы. 

score x2 y

,

(

)

y

0

1

−

y

1

10

−

y

2

5

−













:=

 

Жетіспеген бастапқы шарттар:      y"(0);    y'"(0);        y""(0) 

S

sbval v 0

, 1

, D

,

load

,

score

,

(

)

:=

 

S

85.014

−

348.107

516.257

−

















=

 

y

0

7

S

0

S

1

S

2





























:=

 

Енді есепті жай əдіспен есептейміз: 

Z

rkfixed y 0

, 1

, 50

,

D

,

(

)

:=

 

n

0 50

..

:=

 

0

0.5

1

2

1

0

1

2

Z

n 1

,

Z

n 0

,

 

Берілген  х

2

 нүктедегі функция мəндері мен туындысын есептеудегі 

қателіктерді табайық. 

score 1

Z

50 1

,

Z

50 2

,

Z

50 3

,













,













1.112

10

9

−

×

1.319

10

8

−

×

1.03

10

8

−

×





















=

 

. 

 

9 зертханалық жұмыс 

Тақырыбы: Кірістірілген функциялар. 

Mathcad кірістірілген функциялар жиынына бай. Олардың көпшілігі тек жай 

мəнді қайтарады, бірақ есептеуді басқаратын екі функция бар. 1. Функция   

if(шарт,оператор 1,оператор 2).  

Егер шарт ақиқат болса, 1-оператор, керсінше жағдайда 2-оператор 

орындалады.  

шарт: x=y  Ctrl= 

 

 x>y  > 

 

 x< 

 

 

x

y

≥

          Ctrl 0 

 

 

x

y

≤

          Ctrl 9 

 

 

x

y

≠

          Ctrl 3 

Егер шарт орындалмаса логикалық операцияның нəтижесі 0-ге тең, егер шарт 

ақиқат болса 1-ге тең. Бұл қасиетті күрделі логикалық конструкцияларды 

жасаған кезде қолдануға болады, мысалы, логикалық көбейту: 

x

1

−

>

(

)

x

1

<

(

)

⋅

 

1-ге тең, егер   

1

−

x

<

1

<

(

)

 жəне керісінше жағдайда 0-ге тең.