Тақырып: Физикалық шамалардың операторлары. Операторлардың сызықтылығы және эрмиттілігі

Оператор – бір толқындық функцияны басқа функцияға ауыстыратын математикалық символ, яғни кез келген әрекет. Операторды бүркеншігі бар әріппен белгілейді. Мысалы:

Кванттық механикада пайдаланылатын операторлардың тобы шектелген, себебі, кванттық механика суперпозиция принципіне

негізделген. Бұл принципті бұзбас үшін, операторлар сызықтық түрде болу керек. Сызықтық операторлардың математикалық анықтамасын келтіруге болады:

; . (5.2)

, (5.2ә)

Физикалық шамалардың операторлары сызықтық ғана емес, өзіне түйіндес болу керек. (5.1) қатысты мына түрде жазуға болады:

. (5.3)
Бұл операторлық қатыстағы F тұрақты шама, оның кейбір мәндері (5.3)-ті қанағаттандырады, олар оператордың өзіндік мәндері деп аталынады. Өзіндік мәндерге сәйкес келетін толқындық функциялар өзіндік функциялар деп аталынады. Кванттық механикада өзіндік мәндер әрқашан бақыланатын физикалық шамалар болып табылады. Ал, бақыланатын физикалық шамалар нақты сандар болу керек, яғни . Мұндағы шаманың түйіндес мәні. Өзіндік мәндердің нақты шамалар болу шарты, операторлардың өзіне түйіндес болуына келтіреді. Өзіндік функция және оның түйіндесі -ге арналған екі қатысты жазайық:

. (5.3а)
. (5.3ә)

.

Енді бастапқы операторға қатысты аударылған операторын анықтайық:

, (5.5б)
мұндағы ~ (тильда) белгісі және функцияларының орын ауыстырғанын көрсетеді. (5.5а) және (5.5б) теңдіктерді салыстыра отырып, мынадай қорытындыға келеміз:
. (5.5в)

Бұл теңдік комплекс шамаға арналып жазылған, жалпы айтқанда

өзінің түйіндес мәні оператормен тең болмайды. Егер нақты шама болса, онда (5.5ә) теңдік орындалады.

Тақырып: Операторлардың өзіндік функцияларының қасиеттері. Импульс және орбитальды момент операторларының өзіндік мәндері және өзіндік функциялары. Физикалық шамалардың орташа мәндері. Бақыланатын шамалардың бірлесіп өлшену шарты.Физикалық шамалардың анықталмағандықтарының қатынасы.

Кванттық механикада бөлшектердің қозғалыс заңдары-ықтималдық сипатта болады. Сондықтан да, кванттық механика физикалық шамалардың (бақыланатын шамалардың) орта мәндерін анықтауға мүмкіндік жасайды. Ол үшін ықтималдық теориясындағы математикалық үміт туралы теоремасын пайдаланамыз. Нәтижесінде мынадай анықтама беруге болады: сызықтық және өзіне түйіндес оператормен сипатталатын физикалық шаманың орта мәні, күйді сипаттайтын толқындық функция берілсе, мына формуламен анықталады.

. (6.1)

Бұл интегралды есептегенде (3.4) нормалау шарты орындалу керек. (6.1)-ге сәйкес бөлшектің координаты мен импульсінің орта мәндерін табуға болады:

,

,

Орта мәндер әрқашан да нақты сандар болу керек:

. (6.2)
Бұл пікірді дәлелдеу үшін, (6.1) формуланы операторлардың өзіне түйіндес шартын пайдалана отырып, басқаша түрде жазамыз:

. (6.3)

. (6.4)

Физикалық шама жөнінде толығырақ мәлімет алуға болады. Ол үшін шаманың орта мәннен орташа квадраттық ауытқуын (дисперсияны) қарастырайық. Ықтималдық теориясынан алынған мәліметтер бойынша, орташа квадраттық ауытқу мынаған тең:

,

мұндағы - орта мәннен ауытқу. Орташа квадраттық ауытқу теріс емес болу керек. Мұны дәлелдеу үшін (6.1) формуланы пайдаланып, орта мәннен орташа квадраттық ауытқуды есептейік:

Бұл есептеуде операторлардың өзіне түйіндестік шартын пайдаландық. Анықтама бойынша

(6.6)

сондықтан да, орташа квадраттық ауытқу әрқашан да, оң шама немесе нөлге тең.

.

Интеграл астындағы шама – елеулі оң шама, сондықтан ол интеграл мына жағдайда ғана нөлге тең болады:

Комплекс санның модулі нөлге тең болады, егер санның өзі нөлге тең болса. Сонымен

,

немесе функциямен сипатталатын күйде бір ғана мәнге ие болатынын және 6 - параграфтағы орта мәннен ауытқуды ескере отырып, мынадай теңдеу жаза аламыз:

Осыдан

Бұл теңдік белгісіз функцияға қатысты сызықтық теңдеу болып табылады, себебі анықтама бойынша - оператор. Көп жағдайда дифференциалдық оператор болады, сондықтан (7.1) теңдеу біртекті, сызықтық дифференциалдық теңдеу болады. Бұл теңдеудің мардымсыз емес шешімі болады, себебі нөлдік шешімнің физикалық мағынасы жоқ.

Үшінші параграфта қарастырылғандай, толқындық функция үзіліссіз, бірмәнді, ақырлы болу керек және белгілі бір шекаралық шарттарды қанағаттандыру керек. Бұл талаптарды орындау, (7.1) операторлық теңдеудің шешімі физикалық шаманың тек белгілі бір мәндерінде болатындығына келтіреді. Осы белгілі бір мәндерді оператордың өзіндік мәндері, ал оларға сәйкес келетін (7.1) теңдеудің шешімдерін оператордың өзіндік функциялары деп атайды.

Біз шамаға мынадай талап қоя аламыз: тәжірибелерде оператордың тек өзіндік мәндері бақыланады. Бұл постулат бойынша операторлардың өзіндік мәндері мен тәжірибенің арасындағы байланысты табуға болады.

тоғысудың еселігі деп аталынады. Егер болса, онда екіеселі тоғысу болады, яғни өзіндік мәннің әрбіреуіне екі толқындық функция сәйкес келеді.

.

(6.2) теңдік бойынша , сондықтан .

.

Бұл теңдеудің комплекс түйіндісі

Басқа толқындық функцияға арналған, екінші бір операторлық теңдеуді жазайық:

, (7.3)

мұндағы . Бесінші параграфтағы математикалық тәсілді пайдалана отырып, (7.2) теңдеуді сол жағынан , ал (7.3) теңдеуді - ге көбейтіп, содан соң бір-бірінен алып, алынған қатысты көлем бойынша интегралдайық:

.
Егер операторлардың өзіне түйіндес шартын еске түсірсек, бұл теңдеудің сол жағы нөлге тең, сондықтан:

. (7.4)

. (7.5)

(7.6)

, (7.7)

(7.7) теңдікті өзіндік функциялардың ортонормаланған шарты деп атайды.

Бірінші параграфта біз Гейзенбергтің анықталмағандықтар қатысының қарапайым қорытындысын қарастырдық. Енді операторлар теориясын пайдалана отырып, анықталмағандықтар қатысының қатаң қорытуын жасайық. Ол үшін бірмезетте мәндері анықталмаған екі А және В физикалық шамаларды қарастырайық. Бұл жағдайда А және В шамаларға сәйкес келетін және операторлар өзара коммутацияланбайды:

(9.1)

Біздің мақсатымыз, осы шамалардың флуктуацияларының көбейтіндісінің минимальды мүмкін мәнін табу. Орта мәннен ауытқудың өлшемі ретінде алтыншы параграфта қарастырған орташа квадраттық ауытқуды аламыз:

(9.2)

Бұл шамаларды (6.1) формуланың көмегімен есептейміз:

Мына қосымша интегралды қарастырайық:

(9.4)

мұндағы - комплекс сан, - кез келген заттық параметр. (9.4) интеграл теріс емес, Операторлардың өзіне түйіндестігін пайдалана отырып, бұл интегралды басқаша түрде жазайық:

(6.1) , (9.1) және (9.3) өрнектерді ескере отырып, мына қатысты аламыз:

. (9.5)
Егер , онда - ға қатысты жазылған (9.5) квадраттық теңдеудің анықтауышы теріс емес болады

,
немесе

(9.6)
(9.6) формула және қателіктерінің арасындағы қатысын береді. Оның көмегімен осы қателіктер көбейтіндісінің минимальды мүмкін мәнін табуға болады. Көп жағдайда, (9.6) теңсіздігін және шамаларға арналған анықталмағандықтар қатысы деп атайды.

Енді (9.6) формуланың дербес жағдайын қарастырайық. Ол үшін және деп қарастырамыз, онда (8.9) қатыс бойынша

. (9.7)
Сонымен (9.6) қатыстан бірінші параграфтағы анықталмағандықтар қатысы шығады.

Қорыта келе, мына тұжырымдауды ұсынуға болады. Барлық түйіндес квантмеханикалық шамаларды бірмезетте өлшеуге болмайды, осы өлшеудегі олардың мәндеріндегі минимальды қателік шамамен байланысты болады. Егер біз қарастыратын квантмеханикалық шамалар өзара коммутацияланса , олар бірмезетте кез келген дәлдікпен өлшене алады.