Тақырып: Бірөлшемді тікбұрышты потенциалдық шұңқырдағы бөлшек. Сызықты гармонияалық осциллятор. Туннельдік эффект

Бірөлшемді қозғалыстың ең қарапайым мысалы ретінде тікбұрышты потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің қозғалысын қарастырайық. Потенциалдық шұңқырдың өрісі мына суретпен кескінделеді:

(16.1)

(16.1) өрнекпен анықталатын потенциалдық өріс ақырсыз терең потенциалдық шұңқыр деп аталынады. Кез келген потенциалдық шұңқыр тереңдігімен (ақырсыздыққа тең) және енімен (- ге тең) анықталады. Бөлшек кеңістіктің аймағынын шыға алмайды деп есептейміз, себебі шығу үшін бөлшек ақырсыз үлкен жұмыс жасау керек. Сонымен, бөлшектің қозғалысы идеал шағылдырушы қабырғалардың арасында шектеледі. Осы мәселе металдағы электрондардың қозғалысын зерттеу үшін қолданылады.

Потенциалдық шұңқырдың ішіндегі Шредингер теңдеуінің шешімін іздестірейік. Бөлшек шұңқырдың сыртына шыға алмайды, сондықтанда оны бұл аймақта табу ықтималдығы нөлге тең. Басқаша айтқанда, аралықтан тыс жерде бөлшектің толқындық функциясы нөлге тең. Үзіліссіздік шарты бойынша толқындық функция және нүктелерінде де нөлге тең болады

. (16.2)

Шредингердің стационар теңдеуін жазайық

, (16.3)

мұндағы

.

(16.3) дифференциалдық теңдеудің шешімі

(16.2) шекаралық шартты ескере отырып және коэффициенттерін табамыз

, ,

, .

, (16.5)

теңдік орындалу керек. Сонымен, потенциалдық шұңқырдағы бөлшекке арналған Шредингер теңдеуінің шешімі былай жазылады

. (16.6)

(16.5) шарттың көмегімен потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясының мүмкін мәндерін табамыз

. (16.7)

Бұл өрнек бойынша, ақырсыз терең потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясы квантталады және оның қалыпты күйдегі энергиясы мынаған тең

.

Классикалық есепте потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясы үзіліссіз мәнге ие болады .

Шредингердің стационар теңдеуін, гармониялық осциллятордың потенциалдық энергиясын еске түсіре жазайық:

(17.1)

мұндағы осциллятордың массасы, -дөңгелектік жиілігі. Бұл теңдеуді шешу үшін өлшемсіз айнымалы шамаларға көшкен жөн болады

(17.2)

Нәтижесінде (17.1) теңдеу мына түрге келеді

, (17.3)

мұндағы

.

Дифференциалдық теңдеулер теориясындағы белгілі әдістер бойынша, екінші ретті теңдеуді шешу үшін толқындық функцияның ақырсыздықтағы беталысын зерттейміз :

Бұл теңдеудің шешімі

. (17.5)

Толқындық функция ақырлы болу керек, сондықтан экспонентті кемитін функцияға сәйкес келетін шешімді қалдырамыз

(17.3) теңдеудің жалпы шешімін мына түрде іздестіреміз

. (17.8)

Осы қатардың бірінші және екінші туындылары

, .

. (17.9)

(17.9) дәрежелік қатар нөлге тең болу үшін алдындағы барлық коэффициенттер нөлге тең болу керек, осыған сәйкес мынадай рекурренттік формула аламыз

. (17.10)

Рекурренттік формула және коэффициенттерін байланыстырады. Егер , онда (17.8) қатардың беталысы беталысы сияқты болады. Бұл жағдайда (17.6) толқындық функция ақырсыз өседі. Бірақ, мұндай шешім бізді қанағаттандырмайды.

Ендігі біздің барлық үмітіміз (17.10) рекурренттік формуладағы

коэффициентінде. Егер (17.8) ақырсыз қатар белгілі бір индексінде үзіліп, полиномға айналса, онда (17.6) функция ақырлы болады. Мысалы, , онда (17.8) қатардағы кейінгі коэффициенттердің барлығы нөлге айналып, функциясы дәрежедегі полиномға айналады. Рекурренттік формуладан мына қатысты табамыз:

, (17.11)

мұндағы ақырсыз қатар үзілетін мүшенің нөмірі .

(17.2) өрнекті (17.11) қатысқа ауыстыра отырып, гармониялық осциллятордың энергиясын табамыз:

. (17.12)

Индекс - нің әрбір мәніне мынадай толқындық функция сәйкес келеді:

, (17.13)

мұндағы - нормалау шартынан табылатын коэффициент, - Эрмит –Чебышев полиномы деп аталынады

. (17.14)

Эрмит – Чебышев полиномы мынадай дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады:

, (17.17)

мұндағы

, .

.

Алынған интегралды әрі қарай есептеу үшін, мына өрнектерді ескереміз:

Егер

- осциллятордың бірінші қозған күйі;

- осциллятордың екінші қозған күйі және т.т. деп аталады. Егер осциллятор энергиясы күйден энергиясы күйге көшсе, онда ол монохромат жарық квантын шығарады. Ол жарық квантының энергиясы мынаған тең:

.

Бұл өрнекке байланысты, осциллятордың энергетикалық деңгейлерінің бір-бірінен қашықтығы тұрақты болады және ол - ға тең. Оны мына түрде көрсетуге болады:

4- сурет

(17.13) , (17.16) және (17.18) пайдалана отырып, бірнеше толқындық функциялардың нақтылы түрін келтірейік:

, , (17.19а)

, , (17.19ә)

, (17.19б)
Бірінші функция басқа еш жерде нөлге айналмайды. Екіншісі нүктеде нөлге айналады. Үшінші функция нүктелерде нөлге тең болады. Функцияның нөлге айналатын нүктесін тораптық нүкте деп атаймыз. Функцияның торап саны функцияның нөмірі -ге тең немесе кванттық сан функцияның торап санына тең. Осы функциялардың түрін және осцилляторды табу ықтималдығы үлестірулерінің кванттық және классикалық есептеу нәтижелерін суретте кескіндейік:

5 – сурет

6 - сурет

Жоғарыда айтылғандарды қорыта келе, осциллятордың кванттық және классикалық теорияларының қандай айырмашылығы бар екеніне тоқталайық. Кванттық теория бойынша, гармониялық осциллятордың энергиясы үзілісті болса, классикалық теория бойынша үзіліссіз болады. Классикалық немесе Бор теориясы бойынша, осциллятор энергиясының минимум мәні нөлге тең болса, (17.12) өрнек бойынша ол тең болады, яғни нөлден өзгеше болады. Кванттық бөлшек 6 - сурет бойынша және классикалық бұрылу нүктелерінен ары кете алады, ал классикалық бөлшекке ол нүктелерден ары қозғалыс тыйым салынған.

Потенциалдық энергиясы, өзін қоршаған нүктелердің энергиясынан үлкен болатын кеңістіктің аймағын потенциалдық тосқауыл деп атайды. Ең қарапайым тосқауыл ретінде тікбұрышты бірөлшемді ақырсыз ұзын потенциалдық тосқауылды алуға болады:

.
7 – сурет

Кванттық көзқарас бойынша, осы екі жағдай да дұрыс болмайды: егер болса, онда нөлден өзгеше бөлшектердің шағылу ықтималдығы болады; егер болса, онда нөлден өзгеше бөлшектердің өту ықтималдығы болады. Кванттық механикада бірінші құбылысты тосқауылдан жоғары шашырау, ал екінші құбылысты туннелдік эффект деп атайды. Үстірт қарағанда, бұл екі құбылыс болмау керек. Бірақ, кванттық механика заңдары ол құбылыстардың болатынын тұжырымдайды. Не себепті болады? Осы сұраққа жауап берейік.

І. Тосқауылдан жоғары шашырау дегеніміз не?

Бұл сұраққа жауап беру үшін, 7 - суреттегі І және ІІ аймақтар үшін Шредингер теңдеуін жазайық:

, , ,
, , .

Біржолата Шредингер теңдеуі мына түрге келеді

, , (18.1)
, . (18.2)

Бұл екі теңдеудің шешімдерін табуға болады:

, (18.1а)
. (18.2а)

(18.1а) , (18.2а) формулалардағы және мүшелері өсімен оң бағытта таратылатын жазық толқындарды, ал және мүшелері қарама - қарсы бағытта таратылатын жазық толқындарды көрсетеді.

, , және амплитудалары тұрақты коэффиценттер болып табылады. Есептің шарты бойынша, ІІ аймақта шағылатын толқын болмайды, сондықтан . Тосқауылға түсетін бөлшектер ағынының тығыздығын (12.3) формуланың көмегімен табуға болады
. (18.3)
Егер тосқауылға түсетін бөлшектерді сипаттайтын толқындық функцияның мәні - ді (18.3) өрнекке ауыстырып қойсақ

табамыз. Бұл есепті жеңілдету үшін ағынды сондай түрде аламыз, ол үшін түсетін толқынның амплитудасын бірлікке теңестіреміз . Сонымен

. (18.4)
(18.1а) және (18.2а) теңдеулер жүйесіндегі қалған , коэффициенттерді табу қажет. Ол үшін нүктесіндегі шекаралық шартты пайдаланамыз. Толқындық функция қанағаттандыратын шарттар бойынша, толқындық функция және оның бірінші туындысы потенциалдық энергияның үзіліс нүктесінде де үзіліссіз болу керек
, .
Бұл теңдіктерге (18.1а) және (18.2а) формулаларды ауыстырып қояйық және , екенін ескерейік. Сонда

, .

Потенциалдық тосқауылдар тосқауылдан шағылу коэффициенті және тосқауылдан өту коэффицентімен сипатталады. Тосқауылдан шағылатын бөлшектердің үлесі мен тосқауылдан өтетін бөлшектердің үлесін анықтайық:

, . (18.6)

мұндағы тосқауылдан шағылу коэффициенті, тосқауылдан өту коэффициенті, тосқауылдан шағылатын бөлшектер ағынының тығыздығы, тосқауылдан өтетін бөлшектер ағынының тығыздығы. (12.3) өрнектің көмегімен және

. (18.7)

. (18.8)

(18.6) – (18.8) өрнектердің көмегімен шағылу және өту коэффициенттерін аламыз

, . (18.9)

. (18.10)

(18.10) қатыс бөлшектер санының сақталу заңын білдіреді.

ІІ. Туннелдік эффект дегеніміз не?

Бұл сұраққа жауап беру үшін тосқауылдан жоғары шашырауды қарастырғандағы әдісті пайдаланамыз, бірақ болатынын ескеру керек. 7- суреттегі І және ІІ аймақтарға арналған Шредингер теңдеуін жазайық

, , (18.11)

, . (18.12)

Бұл екі теңдеудің шешімдері келесі түрде болады:

, , (18.11а)

. (18.12а)

Толқындық функция ақырлы болу керек, яғни квадраттық интегралдану шартын қанағаттандыру керек, сондықтан болу керек. Енді (18.11а) және (18.12а) теңдеулер жүйесіндегі , коэффициенттерін үзіліссіздік шартынан табамыз

, .

, . (18.13)

(18.4) , (18.6) және (18.7) өрнектердің көмегімен шағылу коэффициентін табуға болады

.

Сонымен, толық шағылу құбылысын алдық. Бөлшектер санының сақталу заңы бойынша потенциалдық тосқауылдың мөлдірлік коэффициенті , яғни тосқауылдан өтетін бөлшектер болмайды. Бірақ, бұған қарамастан, толқындық функция (18.12а) және (18.13) өрнектерге байланысты ІІ аймақта нөлден өзгеше болады. Осыған сәйкес бұл аймақта бөлшектерді табу ықтималдығының тығыздығы

Бөлшектерді табу ықтималдығы ІІ аймақта нөлден өзгеше болғанмен,

ұлғайса ол өте тез өшеді.

Тосқауылдан жоғары шашырау және туннелді эффект не деген сұрақтарға жауап бере отыра мынадай қорытындыға келеміз:

қарастырған екі құбылыстың классикалық баламасы жоқ, олар тек таза кванттық құбылыс;

екі құбылыстың байқалу себебі, бөлшектердің әрқашан да корпускулалық қасиеттерімен қатар, толқындық қасиеттері бірге болады.