Бағдарламасының(syllabus) титулдық парағы Нысан ф со пгу 18. 4/19 Казақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі

Аналитикалық функцияның бұл қасиеті шексіз аз шеңберді сақтау қасиеті деп 

аталады. Осы қасиет бойынша, G облысын w=f(z) функциясы арқылы 

бейнелеуден туатын осы облыстың 

0

z

 нүктесіндегі «Керілу» коэффициенті

)

(

'

0

z

f

 санына тең болады.

Сонымен,   функцияның   туындысының   модулі  │f′(z

0

)│қисық   сызықтың

z

0

  нүктесіндегі созылу (сығылу) коэффициентін көрсетеді екен. 

Ал 

























z

w

z

f

z

arg

lim

)

(

arg

0

'



 

















z

w

z

z

arg

lim

arg

lim

0

0

    (6)

Сонымен, 

0





z

, z-жазықтығындағы z=z

0

+∆z нүкте қисық сызық С бойым

z

0

  нүктесіне жақындағанда сәйкес  w  жазықтығындағы нүкте  w=w

0

+∆w  қисық

сызық  Г  бойымен  w

0

  нүктесіне   жақындар   еді   де,   шектік   жағдайда  z

0

z

векторының   бағыты          z

0  

нүктесіндегі  С  сызығына   жүргізілген   жанамамен

беттесіп,  w

0

w  векторының   бағыты  Г  сызығына  w

0

  нүктесінде   жүргізілген

жанамамен беттесер еді. Сонда (6) қатынастан w=f(z) арқылы бейнеленгенде z

0

нүктесінде С сызығына жүргізілген жанаманы ω= β-α бұршқа бұру керек екені

шығады. Сондықтан да ω=β-α бұрышын бұру бұрышы деп атайды. Сөйтіп, argf′

(z

0

)-дің   геометриялық   мағынасы:  w=f(z)    функциясы   арқылы   бейнеленген  z

0

нүктесінде С қисық сызығын бұру бұрышын көрсетуінде екeн. 

Анықтама.  Егер  w=f(z)  пен   бейнеленгенде   қисықтардың   арaсындағы

бұрыштарының шамасы сақталып және созылу (сығылу) коэффициенті тұрақты

болса, онда w=f(z) бейнелеуін конформды бейнелеу деп атайды.

Мысал.

Мына функциялардың аналитикалық болатынын тексеріңдер.

.

)

(

z

e

z

f

W





Шешімі.  

iy

x

z





,  

)

,

(

)

,

(

)

(

y

x

iv

y

x

u

z

f





деп   алып   ,   Эйлер   формуласын

қолданып және туындыларын табамыз, сонда

)

sin

(cos

y

i

y

e

iv

u

x







, 

y

e

x

u

x

cos







, 

y

e

y

v

x

cos







, 

y

e

y

u

x

sin









,

y

e

x

v

x

sin







.

Ал,   мұнан   Коши-Риман   шартының   орындалатынын   көреміз.   Демек,

берілген функция аналитикалық функция болады.

Комплекс айнымалы функцияның интегралы.

       Бізге Г : z =

)

(t



, 

b

t

a





, сызығы берілсін. [a, b] кесіндісінің кез келген

}

...

{

2

1

0

b

t

t

t

a

t

T

n















бөлшектеуін құрайық. Осы бөлшектеуге сәйкес келетін

)

(

),...,

(

),

(

1

0

n

t

t

t







 нүктелері   Г  сызығын  бөлшектейді.

Егер 

0





M

кез келген T бөлшектеуі үшін 

















M

t

t

n

k

k

k

1

0

1

)

(

)

(





 болса, онда 

Г түзуленетін сызық деп аталады.

)

,

(

)

,

(

)

(

y

x

iv

y

x

u

z

f

w







функциясы  

iy

x

z





жазықтығының   D   облысында

анықталған үздіксіз фугкция болсын. Осы Г сызығын  z

1

 , z

2

 , ... , z

n-1 

(z

k 

=x

k 

+iy

k

)

нүктелерімен  n бөлікке бөлейік. Бұл жағдайда z=z

n 

деп есептейміз.

z

k

 - z

k-1

 =Δ z

k 

= Δ x

k 

+iΔ y

k

,        (k=1,2,…,n)

деп белгілейік, мұндағы 

Δ x

k 

= x

k -

 x

k-1

 ,   Δ y

k  

=y

k -

 y

k-1 

, 

 

Δ z

k   

- вектор (1-сурет)

Оның бастапқы нүктесі z

k-1

, ал соңғы нүктесі 

   

z

k

 ал 

k

z



 - вектордың 

ұзындығы, яғни k – ші элементар доғаны керіп тұрған хорданың ұзындығы. Әр 

элементар доға (z

k-1

,

 

z

k

) бойынан кез-келген 

k

k

k

i











 нүктесін алып, келесі 

интегралдық қосынды жасайық:





































n

k

n

k

n

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

y

u

x

i

y

x

u

z

f

1

1

1

]

)

,

(

)

,

(

[

)

,

(

)

,

(

)

(























(1)

k

n

k

z

тах







1



 – деп белгілейік. 

Анықтама. Егер





































n

k

n

k

n

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

y

u

x

i

y

x

u

z

f

1

1

1

]

)

,

(

)

,

(

[

)

,

(

)

,

(

)

(























интегралдық қосындының λ

0



 кезде, Г- сызығын бөлу әдісінен және әр 

элементар доғадан τ

k

 нүктесін таңдап алудан тәуелсіз шегі бар болса, онда осы 

шектің мәнін w=f(z) функциясының Г-сызығы бойымен алынған   интегралы 

деп атап, былай белгілейік:















д

Г

Г

udy

vdx

i

vdy

udx

dz

z

f

)

(

                       2. Интегралдардың қасиеттері

Комплекс айнымалы функция интегралының келесі қасиеттерін атап өтелік.

1. 







l

l

dz

z

f

a

dz

z

af

)

(

)

(

,  a -тұрақты

2. 





















l

l

n

l

n

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

z

f

)

(

...

)

(

)

(

...

)

(

1

1

3. 

















l

l

l

l

n

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

1

2

)

(

...

)

(

)

(

)

(

мұнда l=l

1 

 + l

2

 +… + l

n

. 

4. 













l

l

dz

z

f

dz

z

f

)

(

)

(

 

мұнда l

+

 , l

-

 - бір сызықтың қарама-қарсы бағыттарын білдіреді. 

Аналитикалық және гармониялық функциялар арасындағы байланыс.

Енді кез келген екі айнымалыдан х пен у-тен тәуелді функция 

аналитикалық функцияның нақты және жорамал бөліктері бола ала ма деген 

сұрақты қарастырайық.                                                                                                 

f(z)=u(x,y)+iv(x,y) функция D облысында аналитикалық болсын. Онда                  

D облысының барлық нүктелерінде и(х,у) мен ν(х,у) Коши – Риман шартын 

қанағаттандырады  



































x

v

y

u

y

v

x

u

Осы   теңдеудің   біріншісін  х,   ал   екіншісін  у  бойынша   дифференциалдап,

біріншісін екіншісімен мүшелеп қосып 

0

2

2

2

2

















y

u

x

u

u

 

Лаплас теңдеуі деп аталатын теңдеуді аламыз, ал осы теңдеуді 

қанағаттандыратын кез келген функция гармониялық деп аталады.    

Мысалы,  u=x

2

-y

2

+2x  нақты   бөлігі   болатын   аналитикалық   функцияны

анықтайық. Берілген функция ∆u=0 теңдеуін қанағаттандыратынын көру қиын

емес.

Коши – Риман шарты бойынша

∂v / ∂x=-∂u/ ∂y=2y, ∂v / ∂y=∂u / ∂x=2x+2    (7)

болады. Алғашқы теңдеуді х бойынша интегралдасақ, келесі теңдеуді аламыз:

v=∫2ydx=2xy+ φ(y)

Белгісіз  φ(y)  функциясын   анықтау   үшін  соңғы   теңдіктің   екі   жағын   да  у

бойынша дифференциалдап, (7) формуладағы екінші теңдікке қойсақ: 

∂v/∂y=2x+φ′(y)=2x+2

бұл теңдеуден

φ′(y)=2 және φ(y)=2y+C

С  -   кез   келген   тұрақты.   Берілген  и(х,у)  функциямен   түйіндес   гармониялық

функция

v=2xy+2y+C

Ізделінді аналитикалық функция төмендегідей болады:

w=u+iv=x

2

-y

2

+2x+(2xy+2y+C)i=(x

2

+2xyi-y

2

)+(2x+2yi)+Ci=z

2

+2z+Ci.

1.Түпнұсқа және бейне. Лаплас интегралы. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері. 

Дюамель формуласы. Берілген бейнесі бойынша түпнұсқаны табу. Түпнұсқа 

мен бейнелер кестесі. Операторлық есептеуді дифференциалдық теңдеуді және 

теңдеулер жүйесін шешуде қолдану. Операторлық есептеуді электр тізбегін 

зерттеуде қолдану.

Әдебиет: [2]. 4-64 бет.

Тақырып 5. Ықтималдық теория элементтері

Жоспар:

1.Тәжірибе және оқиға. Оқиғаның ықтималдығы. Ықтималдықтың классикалық

анықтамасы.   Жиілікті   ықтималдық.   Ықтималдықтарды   қосу,   көбейту

теоремалары.   Геометриялық   ықтималдық.   Толық   ықтималдық   формуласы.

Байес   формуласы.   Оқиғаларды   қайталау.   Бернулли   формуласы.   Лапластың

локалдық   және   интегралдық   формуласы.   Дискретті   және   үздіксіз   кездейсоқ

шамалар және олардың сандық сипаттамалары, сипаттамаларының қасиеттері.

Үздіксіз   кездейсоқ   шаманың   үлестру   функциясы,   тығыздығы.   Көрсеткіштік,

бірқалыпты және қалыпты үлестірім заңдары.

Тәжiрибе мүмкін болатын нәтижелерінен тұратын жиынды

элементар     оқиғалар   деп   атайды.   Элементар   оқиғалардан   тұратын   күрделі

оқиғаны   кездейсоқ   оқиға   деп   атайды.Оқиғалар   латын   алфавитінің   А,В,С…

сияқты бас әріптерімен белгіленеді.

Мысалдар:

1) тәжірибе тиынды бір рет лақтыру болсын. Бұл тәжірибенің нәтижесі

екі элементар оқиғадан тұрады:

а) А-гербінің түсуі (елтаңба жағының түсуі);

б) В-цифрдің түсуі (сан жағының түсуі);

2) тәжірибе ойын сүйегін бір рет лақтыру болсын. Элементар оқиғалар



6

2

1

,...,

,

А

А

А

ойын сүйегінің үстінгі бетінде ί=1,2,…6 цифрларының (сандары)

пайда болуы;

3)   тәжірибе   ойын   картасынан   бір   қарта   суыру   болса   ,онда   элементар

оқиғаның бірі А-қарға тұзын алу, т.с.с.

Ақиқат оқиға деп тәжірибе нәтижесінде әрқашан пайда болатын оқиғаны

айтады.Мүмкін емес оқиға деп тәжірибеде ешқашан пайда болмайтын оқиғаны

айтады.Бірікпейтін немесе үйлесімсіз оқиғалар дегеніміз біреуінің пайда болуы

басқа оқиғалардың пайда болмауына әсер ететін оқиғалар.Бір ғана мүмкіндікті

оқиғалар   дегеніміз   ең   болмағанда   біреуінің   пайда   болуы   ақиқат   болатын

оқиғалар жиынын айтады. оқиғалар толық группа-топ құрады)Тең мүмкіндікті

оқиғалар дегеніміз пайда болу мүмкіндіктері бірдей оқиғалар жиынын айтады.

Мысал  

А-герб пайда болу

В-цифр пайда болу

Осындай үш қасиеті (бірікпейтін, бірғана мүмкіндікті, тең мүмкіндікті)

бар оқиғалар жиынын жағдайлар(шанстар) дейміз.Мысал

Ойын сүйегін лақтырғанда алты жағдай болады. А жұп цифр болу 

оқиғасы болса, оған қолайлы үш жағдай 2,3,6 цифрларының пайда болулары. 

Қалған үш жағдай бұл А оқиғасына қолайлы емес.

Анықтама 

Белгілі   А   оқиғасының   ықтималдығы   дегеніміз   осы   оқиғаға   қолайлы

жағдайлар санының барлық жағдайлар санына қатынасы

                                               

n

m

A

P



)

(

                                           (1)

мұндағы n-барлық жағдайлар саны; m-А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны; P

-  дегеніміз   француз   тілінде   ықтималдықты   -  probability  деп   аударғандықтан

осы сөздің бірінші әріпін алған.

       Жиілікті ықтималдық(Статистиқалық ықтималдық)

Анықтама.Егер n рет тәжірибе жүргізгенде А оқиғасы k рет пайда болатын

болса, онда  

n

k

  санын А оқиғасының жиілікті ықтималдығы (жиілігі) немесе

статистиқалық ықтималдығы деп атайды да былай белгілейді  

.

)

(

n

k

A

W



Оқиғаның   ықтималдығы   тәжірибеге  дейін  анықталса,   жиіліктік   ықтималдық

тәжірибеден соң анықталады.

Оқиғаларға қарапайым амалдар қолдану.

Анықтама

А және В оқиғаларының қосындысы деп (бірлестігі) А оқиғасының немесе В

оқиғасының пайда болуынан тұратын  оқиғаны айтады да былай белгілейді:

                    A+B=C    немесе    AυB=C

n







,...,

,

2

1

  оқиғаларының   қосындысы  

1



  оқиғасының  немесе  

2



оқиғасының, т.с.с. немесе  

n



  оқиғасының  пайда болуынан тұратын оқиғаны

айтады да былай белгілейді:





















n

i

i

n

1

2

1

...

немесе  

i

n

i

U 



1

             Мысал

А –бірінші рет мылтық атқандағы нысанаға тигізу, В- екінші рет мылтық

атқанда нысанаға тигізу C=A+B бірінші немесе екінші рет атқандағы нысанаға

тигізу болып табылады.

 

жүктеу/скачать 350,31 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: