4.2.2 Гюйгенс-Штейнер теоремасы
Біреуі массалар центрі арқылы өтетін өзара параллель өстерге қатысты дененің инерция моменттерінің арасындағы тәуелділікті Гюйгенс-Штейнер теоремасы береді: дененің кез келген өске қатысты инерция моменті берілген өске параллель оның массалар центрі арқылы өтетін өске қатысты инерция моменті мен дене массасының өстер арасындағы қашықтық квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең (дәлелдеусіз).
Сонымен, Гюйгенс-Штейнер теоремасы былай жазылады:
, (4.2.6)
мұндағы - дененің кез келген Oz өсіне қатысты инерция моменті, - Oz өсіне параллель дененің массалар центрі арқылы өтетін Cz| өсіне қатысты инерция моменті, М – дененің массасы, ал d – Oz және Cz| өстері арасындағы қашықтық
(4.2.6) өрнегінен екенін көреміз. Демек, дененің ең кіші инерция моменті массалар центрі арқылы өтетін өске қатысты болады.
4.2.3 Кейбір біртекті денелердің өстік инерция моменттері
Кейбір біртекті денелердің инерция моменттерін есептеуге мүмкіндік беретін өрнектерді алайық.
Біртекті жіңішке сырық. Ұзындығы , массасы М біртекті жіңішке сырықты қарастырайық. Сырық бойымен Ах өсін бағыттап, сырықтың ұшы арқылы оған перпендикуляр өтетін Az өсіне қатысты осы сырықтың инерция моментін санайық (3.27 сурет).
A z өсінен h = x қашықтықта жататын ұзындығы сырық элементін бөлеміз. Az өсіне қатысты сырықтың инерция моменті үшін , ал біртекті дене үшін - тұрақты шама болғандықтан (4.2.3) өрнегіне сәйкес:
.
Интегралдасақ, мынаны аламыз: .
Біртекті сырық үшін екенін ескеріп, нәтижесінде біртекті сырықтың оның ұшы арқылы сырыққа перпендикуляр өтетін өске қатысты инерция моментінің өрнегін аламыз:
(4.2.7)
(4.2.6) Гюйгенс-Штейнер теоремасын қолданып, біртекті жіңішке сырықтың оның массалар центрі арқылы сырыққа перпендикуляр өтетін өсіне қатысты инерция моментін алуға болады (3.27 сурет):
,
мұндағы – Oz пен өстері арасындағы қашықтық, ал (4.2.7) өрнегіне сәйкес , демек:
Сонымен, біртекті жіңішке сырықтың оның массалар центрі арқылы сырыққа перпендикуляр өтетін өске қатысты инерция моменті:
. (4.2.8)
Достарыңызбен бөлісу: |
