Сұрақ жауап. 1. Қиюшы деп қандай түзуді айтады?
2. Екі түзуді үшінші түзу қиып өткенде неше бұрыш пайда болады?
3. Ек ітүзуді үшінші түзу қиғанда пайда болған бұрыштардың ішінен: айқыш бұрыштарды, тұстас бұрыштарды, сәйкес бұрыштардың суретін сызып көрсетіңдер.
4. Үшінші түзуге параллель болатын екі түзу туралы теореманы айтып беріңдер.
5. Екі түзуді үшінші түзу қиғанда қандай шарттар орындалса, берілген екі түзу өзара параллель болады?
6. Өзара параллель екі түзуді үшінші түзу қиғанда пайда болған айқыш бұрыштар туралы не айтуға болады?
7. Тұстас бұрыштар туралы не айтуға болады?
8. Сәйкес бұрыштар туралы не айтуға болады?
Теорема. Егер екі түзуді үшінші түзу қиып өткенде айқыш бұрыштар тең болса, онда берілген екі түзу өзара параллель болады.
Теорема. Егер екі түзуді үшінші түзу қиып өткенде сәйкес бұрыш тең болса, онда берілген екі түзу өзара параллель болады.
Теорема. Егер екі түзуді үшінші түзу қиып өткенде тұстас бұрыштардың қосындысы 1800 -қа тең болса, онда берілген екі түзу өзара параллель болады.
Анықтама. Параллель түзулердің біреуінің кез келген нүктесінен келесі түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығы параллель түзулердің ара қашықтығы деп аталады.
Есептер шығару
І нұсқа
ІІ нұсқа
1.
АВС теңбүйірлі үшбұрышының табаны –ВС, АД-медианасы. Егер АВС үшбұрышының периметрі 24см, ал АВД үшбұрышының периметрі 18см болса, онда АД-ны тап
1.
АВС теңбүйірлі үшбұрышының табаны –ВС, АД-медианасы. Егер АВС үшбұрышының периметрі 18см, ал АВД үшбұрышының периметрі 13см болса, онда АД-ны тап
2.
Тік бұрышты үшбұрыштың бір сүйір бұрышы 600-қа тең. Кіші катет пен гипотенузасының ұзындықтарының қосындысы 18метр. Гипотенузаның ұзындығын тап.
2.
Тік бұрышты үшбұрыштың бір сүйір бұрышы 600-қа тең. Кіші катет пен гипотенузасының ұзындықтарының қосындысы 15метр. Гипотенузаның ұзындығын тап.
3.
Үшбұрыштың бір бұрышы екіншісінен 200-қа артық. Екіншісі үшіншісінен 200 кіші. Үшбұрыштың бұрыштарын тап.
3.
Үшбұрыштың бір бұрышы екіншісінен 250-қа артық. Екіншісі үшіншісінен 250 кіші. Үшбұрыштың бұрыштарын тап.
4.
Параллель а,в түзулерін қиюшы түзумен қиғанда пайда болған бұрыштардың бірі екіншісінен 3есе артық болды. Бұрыштарды тап.
4.
Параллель а,в түзулерін қиюшы түзумен қиғанда пайда болған бұрыштардың бірі екіншісінен 2есе артық болды. Бұрыштарды тап.
5.
Сырттай жанасатын шеңберлер центрлерінің ара қашықтығы 50см, ал біріншісінің радиусы 30см.
Екіншісінің радиусын тап.
5.
Сырттай жанасатын шеңберлер центрлерінің ара қашықтығы 60см, ал біріншісінің радиусы 25см.
Екіншісінің радиусын тап.
Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің орталығы – үш орта перпендикулярдың қиылысу нүктесі және ол үшбұрыштың бірінші тамаша нүктесі болып табылады
орта перпендикулядың бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу үшін келесі теорема қолданылады.
Теорема:
Кесіндінің орта перпендикулярында жататын кез-келген нүкте берілген кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатады.
АВ кесіндісіне жүргізілген орта перпендикуляр, ал О нүктесі ─ осы кесіндінің ортасы болсын m түзуінің бойынан кез-келген бірақ О нүктесінен басқа бір Р нүктесі алынсын. Р нүктесі мен АВ кесіндісінің ұштары қосылды.
орта перпендикулядың бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу үшін келесі теорема қолданылады.
Теорема:
Кесіндінің орта перпендикулярында жататын кез-келген нүкте берілген кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатады.
Теорема:
m ─ АВ кесіндісіне жүргізілген орта перпендикуляр, ал О нүктесі ─ осы кесіндінің ортасы болсын m түзуінің бойынан кез-келген бірақ О нүктесінен басқа бір Р нүктесі алынсын. Р нүктесі мен АВ кесіндісінің ұштары қосылды.
Дәлелдеу керек: АР = ВР
Дәлелдеуі: АРВ үшбұрышын қарастырса, m түзуінде жатқан РО кесіндісі үшбұрыштың АВ табанына жүргізілген әрі медианасы, әрі биіктігі болып табылады. Осыдан, бұл үшбұрыш тең бүйірлі үшбұрыш және АВ ─ оның табаны. Демек, АР мен РВ үшбұрыштың бүйір қабырғалары, және олар тең, яғни АР = ВР. Дәлелденді. Теореманы тағы басқа жолмен де дәлелдеуге болады: ОАР және ОВР тікбұрыштары екі катеті бойынша тең (ОА = ОВ, ОР ─ ортақ катет). Сондықтан, АР = ВР. Дәлелденді.
Кері теорема:
АВ кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта жататын кез-келген N нүктесін қарастырып, оның m түзуінде жататынын дәлелдеу керек.
Дәлелдеу керек : N нүктесі m түзуінде жатады.
Дәлелдеуі: АNВ үшбұрышы қарастырылады: АN = NВ. Демек, АNВ үшбұрышы тең бүйірлі ұшбұрыш, сәйкесінше АВ ─ оның табаны. Демек үшбұрыштың N төбесінен табанына жүргізілген NО – оның әрі биіктігі, әрі медианасы. Осыдан, NО ─ АВ кесіндісінің орта перпендикуляры, яғни m түзуінде жатады. Дәлелденді.
Салдары:
Дәлелдеуі: АВС үшбұрышы, m және n ─ орта перпендикуляр, және олар О нүктесінде қиылысады. Жоғарыда дәлелденген теорема бойынша, АО = ОВ және ОВ = ОС. Бұдан, АО = ОС. Демек, О нүктесі АС-ның орта перпендикулярында жатады, яғни, m, n және р орта перпендикулярлары бір нүктеде қиылысады. Дәлелденді.
